（整理版）求三角函數(shù)最值的方法

1、求三角函數(shù)最值的方法三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中的根本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問題。這局部內(nèi)容是一個難點，不易讓學(xué)生掌握，它對三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。求函數(shù)的最值是歷屆高考數(shù)學(xué)考查的熱點之一，以三角函數(shù)為載體的問題已成為高考中的熱點問題。1、 一角一次一函數(shù)形式在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的內(nèi)容以后可以知道，要求關(guān)于三角函數(shù)最值只能轉(zhuǎn)化到或者這種形式才可以求其最值，我把這種形式稱為“一角一次一函數(shù)形式。例1：求的最值。解： 當(dāng)即 時，當(dāng)即時，變式1：再加上是，結(jié)果如何？ 在化到y(tǒng)時，.變式2: 求函數(shù)，的最值. 解：， 當(dāng)時，；當(dāng)時，.變式3：，求的最大值與最小值.解：先觀察角之間

2、的關(guān)系，最好能轉(zhuǎn)化為同角，然后看同角是三角函數(shù)的次數(shù)，在化為同一個函數(shù)名當(dāng)時， 當(dāng)時，在這個解題過程中，運用到了轉(zhuǎn)化思想，化歸到我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中去，通過一些倍角公式，與同角合并公式, 的轉(zhuǎn)化，把它轉(zhuǎn)化到“一角一次一函數(shù)形式，此時對于同一個角度是同次的。所以說把化成的形式是解決問題普遍方法2、 一角二次一函數(shù)形式當(dāng)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為“一角一次一函數(shù)形式有困難的時候，該如何呢？ 例2 求函數(shù)的最值. 分析：先觀察這個解析式可知，對于同一個角而言，不是同次時轉(zhuǎn)化不到“一角一次一函數(shù)形式時，肯定對同角而言是一次與二次的，所以有可能化歸到二次函數(shù)去。 解： 變式1：求的最值. 解： 當(dāng)即時， 當(dāng)即

3、時，.此題這樣做在思考上有一定的困難，但是我們可以思考到與是有關(guān)聯(lián)的，由此可設(shè) ，由此化歸到了一元二次函數(shù)，比上面的思維應(yīng)該簡單一點。所以以后見到與同時出現(xiàn)時，借助它們之間的聯(lián)系用換元法。利用一些三角公式進(jìn)行變量替換，是求三角最值的一種常用技巧。 對同一個角，有一次，兩次出現(xiàn)，一般都可以轉(zhuǎn)化到“一角二次一函數(shù)形式。3、 利用有界性， 三角函數(shù)中還有很多最值問題并不可以有上面兩種方法解決，就有下面的例題來展示：例3 求函數(shù)的值域.分析：不能轉(zhuǎn)化到“一角一次一函數(shù)與“一角二次一函數(shù)這兩種形式，但與我們以前所學(xué)的求的最值，聯(lián)系比擬密切，借助別離變量或者說是反表示解決這一題目。 解：， 因為 ,所以.

4、 由此可得，函數(shù)的值域為. 解二：， 用變量別離的方法更簡便變式1：求函數(shù)的值域.解：由題意得，所以 ， 所以函數(shù)的值域為.解二：此題還可以與幾何圖形相聯(lián)系 由題意得xqop2p1y 設(shè)點，那么可以看成是圓上的動點p與點q 連線的斜率，有圖象可得， 這個代數(shù)問題通過解析幾何解決了，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 這些過程中主要是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，要會與以前所學(xué)知識的聯(lián)系，把新的問題化歸或轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)過的知識中去。這就要求要把知識的傳授和能力的培養(yǎng)相結(jié)合，注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，而學(xué)生們一旦掌握了一種新的數(shù)學(xué)思想和方法，思維就提高到一個新的層次，解答數(shù)學(xué)問題的能力就有較大的提高，因為“數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法。在這個求三角函數(shù)最值根本的過程中，讓學(xué)生深刻的了解其中的數(shù)學(xué)思想方法，掌握“通性通法，也就掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“萬能鑰匙。數(shù)學(xué)思想方法