數(shù)學思想、活動經(jīng)驗、十大核心概念

1、一、數(shù)學基本思想一、數(shù)學基本思想數(shù)學思想方法數(shù)學思想方法數(shù)學基本思想數(shù)學基本思想 數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學課程數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學課程教學的精髓。數(shù)學思想的內(nèi)涵十分豐富，也有學者通俗地把教學的精髓。數(shù)學思想的內(nèi)涵十分豐富，也有學者通俗地把“數(shù)學思想數(shù)學思想”說成說成“將具體的數(shù)將具體的數(shù)學知識都忘掉以后剩下的東西學知識都忘掉以后剩下的東西”，是對數(shù)學本質(zhì)的認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性思考。往往是，是對數(shù)學本質(zhì)的認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性思考。往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的

2、。觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的。 “思想方法思想方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的，更往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的，更多地讓人聯(lián)想到：如換元法、代入法、配方法等具體的多地讓人聯(lián)想到：如換元法、代入法、配方法等具體的“方法方法”。數(shù)學基本思想數(shù)學基本思想抽象抽象把日常生活和生產(chǎn)實踐中與數(shù)學有關(guān)的東西抽取出來，作為把日常生活和生產(chǎn)實踐中與數(shù)學有關(guān)的東西抽取出來，作為數(shù)學的研究對象。數(shù)學的研究對象。推理推理數(shù)學自身的發(fā)展依靠的是推理，按照一定的邏輯規(guī)律進行推理，數(shù)學自身的發(fā)展依靠的是推理，按照一定的邏輯規(guī)律進行

3、推理，可以得到定理與命題。可以得到定理與命題。模型模型模型是溝通數(shù)學與外部世界的橋梁，可通過模型將數(shù)學應(yīng)用到模型是溝通數(shù)學與外部世界的橋梁，可通過模型將數(shù)學應(yīng)用到客觀世界中去。客觀世界中去。 人類通過數(shù)學人類通過數(shù)學抽象抽象，從客觀世界中得到數(shù)學的概念和法則，建立了數(shù)學學科；通過，從客觀世界中得到數(shù)學的概念和法則，建立了數(shù)學學科；通過數(shù)學數(shù)學推理推理，進一步得到大量結(jié)論，數(shù)學科學得以發(fā)展；通過數(shù)學，進一步得到大量結(jié)論，數(shù)學科學得以發(fā)展；通過數(shù)學建模建模，把數(shù)學應(yīng)用到客，把數(shù)學應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的效益，又反過來促進數(shù)學科學的發(fā)展。觀世界中，產(chǎn)生了巨大的效益，又反過來促進數(shù)學科學的發(fā)展。

4、數(shù)學數(shù)學基本基本思想思想抽象抽象分類思想分類思想集合思想集合思想對應(yīng)思想對應(yīng)思想變中有不變思想變中有不變思想符號化思想符號化思想有限無限思想有限無限思想推理推理歸納思想歸納思想類比思想類比思想數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想逐步逼近思想逐步逼近思想演繹思想演繹思想化歸思想化歸思想運籌思想運籌思想公理化思想公理化思想模型模型簡化思想簡化思想量化思想量化思想函數(shù)思想函數(shù)思想方程思想方程思想優(yōu)化思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想統(tǒng)計思想二、基本活動經(jīng)驗二、基本活動經(jīng)驗 數(shù)學活動經(jīng)驗數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，需要在的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，需要在“做做”的過程和的過程和“思考思考”的過程中積

5、淀，是數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。的過程中積淀，是數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。數(shù)學基本活動經(jīng)驗數(shù)學基本活動經(jīng)驗是是學生學生從數(shù)學的角度從數(shù)學的角度進行思考，通過親身經(jīng)歷數(shù)學活動過程所獲得的具有個性特征的經(jīng)驗。應(yīng)進行思考，通過親身經(jīng)歷數(shù)學活動過程所獲得的具有個性特征的經(jīng)驗。應(yīng)具具有主體性、實踐有主體性、實踐性、發(fā)展性、多樣性性、發(fā)展性、多樣性等特征等特征。 學生只有積極參與數(shù)學課程的教學過程，經(jīng)過獨立思考，探學生只有積極參與數(shù)學課程的教學過程，經(jīng)過獨立思考，探索實踐，合作交流索實踐，合作交流等等，才有可能積累數(shù)學活動經(jīng)驗。，才有可能積累數(shù)學活動經(jīng)驗。 標準中標準中設(shè)置設(shè)置 “綜合與實踐綜合與

6、實踐”的課程內(nèi)容，強調(diào)以問題為載體，讓學生在解決問題的的課程內(nèi)容，強調(diào)以問題為載體，讓學生在解決問題的實踐中獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。實踐中獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。 操作性經(jīng)驗操作性經(jīng)驗通過眼、耳、口、手等對現(xiàn)實素材操作獲得的直接經(jīng)驗為操通過眼、耳、口、手等對現(xiàn)實素材操作獲得的直接經(jīng)驗為操作性經(jīng)驗，如堆積積木、折紙等獲得的經(jīng)驗。作性經(jīng)驗，如堆積積木、折紙等獲得的經(jīng)驗。 反思性經(jīng)驗反思性經(jīng)驗通過對思維材料的內(nèi)隱思考而獲得的經(jīng)驗為思考型經(jīng)驗，如通過對思維材料的內(nèi)隱思考而獲得的經(jīng)驗為思考型經(jīng)驗，如推理的經(jīng)驗、抽象的經(jīng)驗等。推理的經(jīng)驗、抽象的經(jīng)驗等。 直接的活動經(jīng)驗直接的活動經(jīng)驗直接的活動經(jīng)驗是與學生日常生活直接聯(lián)

7、系的數(shù)學活動中直接的活動經(jīng)驗是與學生日常生活直接聯(lián)系的數(shù)學活動中所獲得的經(jīng)驗，如購買物品、校園設(shè)計等。所獲得的經(jīng)驗，如購買物品、校園設(shè)計等。間接的活動經(jīng)驗間接的活動經(jīng)驗間接的活動經(jīng)驗是學生在教師創(chuàng)設(shè)的情景、構(gòu)建的模型中間接的活動經(jīng)驗是學生在教師創(chuàng)設(shè)的情景、構(gòu)建的模型中所獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如雞兔同籠、順水行舟等。所獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如雞兔同籠、順水行舟等。設(shè)計的活動經(jīng)驗設(shè)計的活動經(jīng)驗設(shè)計的活動經(jīng)驗是學生從教師特意設(shè)計的數(shù)學活動中所獲設(shè)計的活動經(jīng)驗是學生從教師特意設(shè)計的數(shù)學活動中所獲得的經(jīng)驗，如隨機摸球、地面拼圖等。得的經(jīng)驗，如隨機摸球、地面拼圖等。思考的活動經(jīng)驗思考的活動經(jīng)驗思考的活動經(jīng)驗是通過分析

8、、歸納等思考獲得的數(shù)學經(jīng)驗，思考的活動經(jīng)驗是通過分析、歸納等思考獲得的數(shù)學經(jīng)驗，如預(yù)測結(jié)果、探究成因等。如預(yù)測結(jié)果、探究成因等。 “數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟?！睂?shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計。對數(shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計。數(shù)感數(shù)感三、核心概念三、核心概念 1. 1.它們是學生在義務(wù)教育階段數(shù)學課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)，它們是學生在義務(wù)教育階段數(shù)學課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)，是促進學生發(fā)展的重要方面；是促進學生發(fā)展的重要方面； 2. 2.它們它

9、們是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點，有利于我們把握課程內(nèi)是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點，有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學中的關(guān)鍵；容的線索和層次，抓住教學中的關(guān)鍵； 3. 3.它們本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學的基本思想，核心概念的教學要更關(guān)它們本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學的基本思想，核心概念的教學要更關(guān)注其數(shù)學思想本質(zhì)；注其數(shù)學思想本質(zhì)； 4. 4.它們都是數(shù)學課程的目標點，也應(yīng)該成為數(shù)學課堂教學的目標，它們都是數(shù)學課程的目標點，也應(yīng)該成為數(shù)學課堂教學的目標，并通過教師的教學予以落實。并通過教師的教學予以落實。1. 數(shù)感數(shù)感 “數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生

10、理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！?數(shù)感：感悟數(shù)感：感悟數(shù)、數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計。數(shù)、數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計。2. 符號意識符號意識 “符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性?；?guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。重要形式?！?從一般意義上說，所謂符號就是針對具體事物對

11、象而抽象概括出來從一般意義上說，所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。圖形、數(shù)字、字母、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學的一種簡略的記號或代號。圖形、數(shù)字、字母、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學的符號系統(tǒng)。符號意識是學習者在感知、認識、運用數(shù)學符號方面所作的符號系統(tǒng)。符號意識是學習者在感知、認識、運用數(shù)學符號方面所作出的一種主動性反應(yīng)，它也是一種積極的心理傾向。出的一種主動性反應(yīng)，它也是一種積極的心理傾向。 數(shù)學符號最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學抽象的結(jié)果。數(shù)學符號最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學抽象的結(jié)果。3.空間觀念空間觀念 空間觀念主要是指空間觀念主要是指根據(jù)物體特征根據(jù)物體特征抽象抽象出幾何

12、圖形，根據(jù)幾何圖出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形形想象想象出所描述的實際物體；出所描述的實際物體；想象想象出物體的方位和相互之間的位置出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；關(guān)系；描述描述圖形的運動和變化；圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述依據(jù)語言的描述畫出畫出圖形等。圖形等。4.4.幾何直觀幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。 1.“ 1.“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”（如分數(shù)概念、路（如分數(shù)概念、路程問題等畫示意圖、程問題等畫示意圖、線段圖線段圖) ) 2. 2.圖形的圖形的“運運動或變換動或變換”（平移、（平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱）旋轉(zhuǎn)和軸對稱） 圖形圖形有助于發(fā)現(xiàn)、

13、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果?？傊瑘D形可以幫助我們把困難的數(shù)學問題變于我們理解和記憶得到的結(jié)果。總之，圖形可以幫助我們把困難的數(shù)學問題變?nèi)菀祝殉橄蟮臄?shù)學問題變簡單，對于數(shù)學研究是這樣，對于學習數(shù)學也是如容易，把抽象的數(shù)學問題變簡單，對于數(shù)學研究是這樣，對于學習數(shù)學也是如此。學會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學，也是學習數(shù)學的基本能力。此。學會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學，也是學習數(shù)學的基本能力。5.5.數(shù)據(jù)分析觀念數(shù)據(jù)分析觀念 數(shù)據(jù)分析觀念數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)

14、當先做調(diào)查包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的根據(jù)問題的背景選擇合適的方法方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。分析是統(tǒng)計的核心。6.運算能力運算

15、能力 運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生運算能力有助于學生理解運算的算理理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。 算理是四則運算的算理是四則運算的理論依據(jù)，理論依據(jù)，它是由數(shù)學概念、運算定律、運算性質(zhì)等構(gòu)它是由數(shù)學概念、運算定律、運算性質(zhì)等構(gòu)成；成；運算法則是四則運算的運算法則是四則運算的基本程序和方法?；境绦蚝头椒?。運算是基于法則進行的，而法則運算是基于法則進行的，而法則又要滿足運算定律等。所以，算理為法則提供了理論依據(jù)，法則又使算理可操又要

16、滿足運算定律等。所以，算理為法則提供了理論依據(jù)，法則又使算理可操作化。在教學中要根據(jù)教材的編排意圖，既要重視算法的教學，還要使學生理作化。在教學中要根據(jù)教材的編排意圖，既要重視算法的教學，還要使學生理解算法背后的道理，要通過多種形式讓學生弄清算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌解算法背后的道理，要通過多種形式讓學生弄清算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握運算方法。握運算方法。 運算的正確、靈活、合理和簡運算的正確、靈活、合理和簡捷是運算能力的主要特征。捷是運算能力的主要特征。7.推理能力推理能力 推理在數(shù)學中具有重要的地位。推理在數(shù)學中具有重要的地位。 學習數(shù)學就是要學習推理。學習數(shù)學就是要學習推理。 具有一定

17、的推理能力是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學具有一定的推理能力是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學課程和課堂教學的重要目標。課程和課堂教學的重要目標。 合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。則證明和計算。推理能力推理能力合情推理合情推理演繹推

18、理演繹推理類比推理類比推理歸納推理歸納推理8.模型思想模型思想 所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的學符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形圖表、圖形等都是數(shù)學模型。等都是數(shù)學模型。“模型思想的建立是學生體會和

19、理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑本途徑”。 建立模型思想的本質(zhì)就是使學生體會和理解數(shù)學與外部世界建立模型思想的本質(zhì)就是使學生體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，而且它也是實現(xiàn)上述目的的基本途徑。的聯(lián)系，而且它也是實現(xiàn)上述目的的基本途徑。觀察實際情境觀察實際情境發(fā)現(xiàn)提出問題發(fā)現(xiàn)提出問題抽象成數(shù)學模型抽象成數(shù)學模型 得到數(shù)學結(jié)果得到數(shù)學結(jié)果可用結(jié)果可用結(jié)果檢驗檢驗合乎實際合乎實際不合乎實際不合乎實際修改修改數(shù)學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過數(shù)學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過程。這一過程的步驟框圖：程。這一過程的步驟框圖：9.應(yīng)用意識應(yīng)用意識 應(yīng)用意識有兩個方面的含義，應(yīng)用意識有兩個方面的含義，一方面有意識一方面有意識利用數(shù)學的概念、利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題（原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題（數(shù)學數(shù)學知識現(xiàn)實化知識現(xiàn)實化）；）；另一方面，認識到另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予圖形有關(guān)的問