基本不等式的性質(zhì)以及初步應(yīng)用

1、2021/8/61基本不等式的應(yīng)用基本不等式的應(yīng)用2021/8/62一、復習引入：一、復習引入：1.重要不等式：重要不等式：22,R,2( )a bababab 如果那么當且僅當時取號2.定理：定理： +,R ,( ).2a ba babab 如果那么當且僅當時取號3.公式的等價變形：公式的等價變形： 222,R,()22ababa babab 如果那么4.0,2( )baababab 如果那么當且僅當時取號2225.2()()abab結(jié)論2021/8/63例例1.已知已知x、y都是正數(shù)，求證：都是正數(shù)，求證：(1)如果積如果積xy是定值是定值P,那么當那么當x=y時，和時，和x+y有最小值有

2、最小值;2 P(2)如果和如果和x+y是定值是定值S,那么當那么當x=y時，積時，積xy有最大值有最大值.412S證明：因為證明：因為x,y都是正數(shù)，所以都是正數(shù)，所以 xyyx 2(1)積積xy為定值為定值P時，有時，有Pyx 2Pyx2 上式當上式當 x=y 時，取時，取“=”號，號，因此，當因此，當 x=y時，和時，和 x+y有最小值有最小值P2(2)和和x+y為定值為定值S時，有時，有,2Sxy 上式當上式當x=y時取時取“=”號，因此，當號，因此，當x=y時，積時，積xy有最大值有最大值241S241Sxy 二、講解范例：二、講解范例：2021/8/64(1)兩個正數(shù)的和為定值，其積

3、有最大值兩個正數(shù)的和為定值，其積有最大值.(2)兩個正數(shù)的積為定值，其和有最小值兩個正數(shù)的積為定值，其和有最小值.但應(yīng)注意三個方面：但應(yīng)注意三個方面：)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；)等號成立條件必須存在等號成立條件必須存在. 一正，二定，三相等一正，二定，三相等 結(jié)論結(jié)論:利用均值定理求最值利用均值定理求最值2021/8/651y=x+x 0 x求函數(shù)（ ， ，且，求的最小值，12x 0y 0+=1x+xyy變式：已知 ， ，且，求的最大值，2222a +b1,1,ax+byxy已知：求的最

4、大值2222a +b1,2,ax+byxy變式：已知求的最大值2021/8/67例例2.若若x0，y0，且，且x+y=2，求，求x2+y2的最小值的最小值解：解：x2+y2 2xy， 2(x2+y2) (x+y)22)(222yxyx x+y=2，x2+y2 2即即x2+y2的最小值為的最小值為2當且僅當當且僅當x=y=1時取得最小值時取得最小值 2021/8/68 1求函數(shù)求函數(shù)y=(1 3x)x (0 x0)的最小值，并求相應(yīng)的的最小值，并求相應(yīng)的x的值的值 解：解：111) 1(11 xxxxy x 0， x+10，011 x由由x+1=11 x得得x=011 xx (x 0)有最小值，

5、最小值是有最小值，最小值是y=1當當x=0時時y=112111)1( xxy2021/8/610例例4.求函數(shù)求函數(shù)41622 xxy的最大值的最大值3)1(164162222 xxxxy解解：131622 xx3213122 xx3326 y22,131222 xxxx即即當且僅當當且僅當 時取得最大值時取得最大值 2021/8/611(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解：解：x，y都是正數(shù) xy2 0 xy x20， y20，x30，y30 x2y22 022x y x3y32 033x y(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.

6、 xy22x y33x y2 2 2（當且僅當x=y時，式中取等號）（當且僅當x=y時，式中取等號）2021/8/612隨堂練習隨堂練習 1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證(ab)(bc)(ca)abc 分析分析：對于此類題目，選擇定理： 2abab（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果. 解解：a，b，c都是正數(shù) bc2 0bcca2 0 ac(ab)(bc)(ca)即(ab)(bc)(ca)abc. =8abcab2 0abab2 2 2bcac(當且僅當a=b=c時，上式取等號）2021/8/613例例.0,0(1)10,_(2)10,_xyxyxyxyxy如果那么如果那么252 10最值定理

7、：最值定理：(1)和定和定 - -積最大積最大.(2)積定積定 - -和最小和最小.( )xyf d是減函數(shù)( )xyf d是增函數(shù)一一正；正；二二定；定；三三相等相等.2021/8/614例例5.有一根長有一根長4a的鐵絲的鐵絲,如果圍成一個矩形如果圍成一個矩形; 求求:圍成圖形面積最大值：圍成圖形面積最大值： 解解:(1)設(shè)矩形的長為設(shè)矩形的長為x,那么寬為那么寬為2a-x(2)面積面積S=x(2a-x)2222xaxa(3)當當x=a時，矩形面積時，矩形面積S最大最大=a2你還有什么你還有什么不同的方法嗎？不同的方法嗎？2021/8/615方法方法(二二):(1)設(shè)矩形的長為設(shè)矩形的長為

8、x.寬為寬為y那么：那么：x+y=2a(2)矩形面積矩形面積S=xy222xya(3)當當x=y=a時，矩形面積最大值為時，矩形面積最大值為a2.基本步驟：基本步驟：(1)設(shè)某線段長為設(shè)某線段長為x(求出其它線段長求出其它線段長)(2)建立目標函數(shù)建立目標函數(shù)w=f(x)(用基本不等式求出最值用基本不等式求出最值)(3)當當x=?時，時，w最大最大(小小)=？(1)設(shè)某兩線段長為設(shè)某兩線段長為x,y(求出求出f(x,y)=0)(2)建立函數(shù)建立函數(shù)w=g(x,y)(用基本不等式求出最值用基本不等式求出最值)(3)當當x=?,y=?時時.w最大最大=？2021/8/6161.ABCDEFGH長方

9、體，體積是長方體，體積是4800m3,高為高為3m.2.ABCDEFG兩個矩形兩個矩形(如圖所示如圖所示)AB=5,AD=33.ABCDMN矩形矩形ABCD中中(如圖所示如圖所示)AB=10,AD=6,M為為CD的中點，的中點，MNAD.常用方法：常用方法：(1)設(shè)設(shè)MN=x(2)設(shè)設(shè)AB=x,CD=y(3)設(shè)設(shè)ABC=x2021/8/617變式：變式：如果：圍成一個直角三角形如果：圍成一個直角三角形 求：面積的最大值求：面積的最大值解解:(1)設(shè)兩條直角邊長為設(shè)兩條直角邊長為x,y那么：那么：224xyxya(2)所以面積所以面積12Sxy22422axyxyxyxy2 22xya24(32 2)Sa(3)當當x=y=_時，面積最大時，面積最大=24(32 2)a2(22)a2021/8/618例例6.已知一條直線過點已知一條直線過點M(3,2),它于它于x軸，軸，y軸軸 的正方向分別交于的正方向分別交于A,B,O為原點為原點. 求：求： OAB面積的最小值面積的最小值.(3,2)MxyOAB如何設(shè)未知數(shù)？如何設(shè)未知數(shù)？設(shè)