2.6克萊姆法則ppt課件

1、2.6 克萊姆法那么授課標題授課標題 2.6 克萊姆法那么克萊姆法那么授課時數(shù)授課時數(shù) 2課時課時教學(xué)目的教學(xué)目的 掌握克萊姆法那么，并能運用克萊掌握克萊姆法那么，并能運用克萊 姆法那么來求方程組的解姆法那么來求方程組的解教學(xué)重點教學(xué)重點 : 1 法那么的含意法那么的含意; 2 法那么的運用法那么的運用教學(xué)難點教學(xué)難點: 對法那么局限性的了解與運用對法那么局限性的了解與運用如今來討論普通線性方程組如今來討論普通線性方程組.所謂普通線性所謂普通線性方程組是指方式為方程組是指方式為) 1 (,22112222212111212111snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的方

2、程組，其中的方程組，其中 x1, x2 , , xn 代表代表 n 個未知量，個未知量，s 是方程的個數(shù)，是方程的個數(shù)，aij (i = 1, 2, , s, j = 1, 2, , n) 稱稱為方程組的系數(shù)，為方程組的系數(shù)，bi (i = 1, 2, , s) 稱為常數(shù)項稱為常數(shù)項.方程中未知量的個數(shù)方程中未知量的個數(shù) n 與方程的個數(shù)與方程的個數(shù) s 不一定相等不一定相等.系數(shù)系數(shù) aij 的第一個目的的第一個目的 i 表示它在第表示它在第 i 個方程，第二個方程，第二個目的個目的 j 表示它是表示它是 xj 系數(shù)系數(shù).由于由于(1)含有含有n個未知量，所以稱為個未知量，所以稱為n元線性方

3、程組。元線性方程組。所謂方程組所謂方程組c1, c2 , , cn 組成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 ( c1, c2 , , cn )，當(dāng)，當(dāng)x1, x2 , , xn 分別用分別用 c1, c2, , cn 代入后，代入后，(1) 中每中每個等式都變成恒等式個等式都變成恒等式.方程組方程組 (1) 的解的全體稱為的解的全體稱為的一個解就是指由的一個解就是指由 n 個數(shù)個數(shù)它的解集合它的解集合.解方程組實踐上就是找出它全部的解方程組實踐上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合解，或者說，求出它的解集合.假設(shè)兩個方程組有假設(shè)兩個方程組有一樣的解集合，它們就稱為同解的一樣的解集合，它們就稱為同解

4、的. 關(guān)于線性方程組需求處理的問題有關(guān)于線性方程組需求處理的問題有: 線性方程組能否有解線性方程組能否有解?假設(shè)有解假設(shè)有解, 它有多少個它有多少個解解? 如何求出這些解如何求出這些解? 本節(jié)只討論方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等即本節(jié)只討論方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等即s=n的情形的情形假設(shè)線性方程組假設(shè)線性方程組11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb (1)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式二、克萊姆法那么二、克萊姆法那么0D212222111211nnnnnnaaaaaaaaa那么這個方程組有解，并且解是獨一，的可表示為那么這

5、個方程組有解，并且解是獨一，的可表示為 1212,nnDDDxxxDDD 的元素用方程組的元素用方程組1的常數(shù)項代換的常數(shù)項代換 12,nb bb所得的一個所得的一個 n 階行列式，即階行列式，即其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列D), 2, 1(niiiD用常數(shù)項列交換用常數(shù)項列交換 D 的第的第 i 列，其他列不變。列，其他列不變。., 2 , 11,1,121, 221, 22111, 111, 111niaabaaaabaaaabaaDnninninnniiniiininiiiAbAbAbD2211), 2, 1(ni證明思緒：證明思緒：1 驗證驗證DDi滿足各方程存在性；滿足

6、各方程存在性；2 1的的 解定能表成方式解定能表成方式DDxii獨一性。獨一性。所用結(jié)果：所用結(jié)果： )(, 0)(, 2211sisiDAaAaAasninsisi )(, 0)(, 2211tjtjDAaAaAantnjtjtj證證1 將將 Di 按第按第 i列展開列展開), 2 , 1(2211niAbAbAbDniniiiDDi代入第代入第1個方程的左端個方程的左端將將4左左DDaDDaDDann1212111 證證b1)(11212111nnDaDaDaD ( )niniiiAbAbAbD2211代入代入將將jD)(1121211111nnAbAbAbaD )(222212112nn

7、AbAbAba )(22111nnnnnnAbAbAba )(111121211111nnAaAaAabD )(21221221112nnAaAaAab )(1212111nnnnnnAaAaAab DbD11 D按第按第1行展開行展開00滿足第滿足第1個方程個方程1b 類似驗證第類似驗證第2，n個方程也滿足。個方程也滿足。DDi是方程組是方程組1的解。的解。2 由由1知，知，1有解，有解，）的的解解，則則是是（設(shè)設(shè)1,21nxxxa11x1+a12x2a1nxn+=b1a21x1+a22x2a2nxn+=b2an1x1+an2x2annxn+=bn用用D的的第第i列列元素的元素的代數(shù)余代數(shù)余

8、子式乘子式乘兩邊兩邊AniA2iA1iA1i這證明了這證明了1有解。有解。A1iA1iA2iA2iA2iAniAniAni對應(yīng)對應(yīng)相加相加整理整理)(12211111niniiAaAaAaxniniiAbAbAb2211 )(2211ninnininnAaAaAax)(22221122niniiAaAaAax), 2 , 1(2211niAbAbAbDniniii)(12211111niniiAaAaAaxniniiAbAbAb2211 )(2211ninnininnAaAaAax)(22221122niniiAaAaAax111DDxi ：222DDxi ：nnDDxni ：niDDxii,

9、 2 , 1由定理由定理4和定理和定理5證畢證畢2.2.克萊姆法那么的三條結(jié)論克萊姆法那么的三條結(jié)論1. 克萊姆法那么的三個條件克萊姆法那么的三個條件1待解的方程組是線性方程組；待解的方程組是線性方程組；2待解方程組未知數(shù)的個數(shù)與方程組的個數(shù)相等；待解方程組未知數(shù)的個數(shù)與方程組的個數(shù)相等；3待解的方程組的系數(shù)行列式不等于零待解的方程組的系數(shù)行列式不等于零.1 有解有解2 獨一解獨一解3 解的公式解的公式niDDxii, 2 , 11法則的局限性較大.即必須方程的個數(shù)等于變元注：的個數(shù).2 必須系數(shù)行列式不等于零.假設(shè)線性方程組假設(shè)線性方程組1無解或有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式一定為零無解

10、或有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式一定為零.克萊姆法那么的等價命題是：克萊姆法那么的等價命題是：思索：假設(shè)思索：假設(shè)D=0 呢？呢？ 第三章給出答案：能夠無解，能夠有無窮多個解！第三章給出答案：能夠無解，能夠有無窮多個解！例例2：解線性方程組：解線性方程組點評：點評： (1) 一共要計算一共要計算n+1個個n階行列式，計算量大；階行列式，計算量大； 不如用初等變換簡單第三章引見。不如用初等變換簡單第三章引見。(2) 實際價值高于計算價值。實際價值高于計算價值。44637232232432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方常數(shù)項全為零的

11、線性方程組稱為齊次線性方顯然，齊次線性方程組總是有解的，由于顯然，齊次線性方程組總是有解的，由于(0, 0, , 0) 就是一個解，它稱為零解就是一個解，它稱為零解.對于齊次對于齊次線性方程組，我們關(guān)懷的問題是，它除去零解以外線性方程組，我們關(guān)懷的問題是，它除去零解以外還有沒有其他解，或者說，它有沒有非零解還有沒有其他解，或者說，它有沒有非零解.對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)一樣的齊次線性方對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)一樣的齊次線性方程組，運用克拉默法那么就有程組，運用克拉默法那么就有000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa如今只能得出有無非零解這

12、種定性結(jié)果，如今只能得出有無非零解這種定性結(jié)果，求非零解的方法在第三章引見。求非零解的方法在第三章引見。點評：點評： 03204)2(020432142142141kxxxxxxxkxxxxkx 補例補例 假設(shè)以下齊次線性方程組有非零解，假設(shè)以下齊次線性方程組有非零解，k為何值？為何值？解解思緒：由定理知，方程組有非零解，那么思緒：由定理知，方程組有非零解，那么D=0。計算計算D令其為零令其為零解解kkkkD31240121021100 按按第第三三列列展展開開41212110)1(334 kk)55(3 k由方程組有非零解，那么由方程組有非零解，那么即即k=1.0)55(3 kD練習(xí)：練習(xí)：

13、有無非零解？有無非零解？組組是各不相同的數(shù)，方程是各不相同的數(shù)，方程設(shè)設(shè) 0000,4343242414333232314323222214313212114321xaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxaaaa解解0)(11114134244332333222231211 ijjiaaaaaaaaaaaaaaD各不相同，各不相同，4321,aaaa故方程組只需零解。故方程組只需零解。例例3：證明以下方程組：證明以下方程組 p95 第第13題題12341234123412340000axbxcxdxbxaxdxcxcxdxaxbxdxcxbxax 只需零解其中只需零解其中 不全

14、為不全為0, , ,a b c d證：證：abcdbadcDcdabdcba 系數(shù)行列式系數(shù)行列式 2abcd abcdbadc badcDDDcdab cdabdcba dcba 2222222222222222000000000000abcdabcdabcdabcd 2222 4()abcd , , ,a b c d2222 4()0abcd由由 不全為不全為0，有，有即即 ，故方程組只需零解，故方程組只需零解0D 1. 1. 用克拉默法那么解方程組的三個條件用克拉默法那么解方程組的三個條件(2)(2)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)方程個數(shù)等于未知量個數(shù); ;(3)(3)系數(shù)行列式不等于零系數(shù)行列

15、式不等于零. .2. 2. 克拉默法那么建立了線性方程組的解和知的系克拉默法那么建立了線性方程組的解和知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系. .它主要適用于實際推導(dǎo)它主要適用于實際推導(dǎo). .作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題2.6 P64 1(2)、21待解的方程組是線性方程組；待解的方程組是線性方程組；評論：評論： cramer cramer法那么給出一類線性方程組的公式解，明確了解與系數(shù)的關(guān)系，這在以后的法那么給出一類線性方程組的公式解，明確了解與系數(shù)的關(guān)系，這在以后的許多問題的討論中是重要的，同時便于編成程序上計算機進展計算許多問題的討論中是重要的，同時便于編成程序上計算機進展計算. . 但

16、作為一種計算方但作為一種計算方法而言要解一個法而言要解一個n n個未知量、個未知量、n n個方程的線性方程組，要計算個方程的線性方程組，要計算n+1n+1個階行列式，計算量較大個階行列式，計算量較大. .另一方面該公式解對另一方面該公式解對n n個未知量，個未知量，m m個方程的普通線性方程組的求解無能為力個方程的普通線性方程組的求解無能為力. .促使人們對線性方程組解法作更深化的研討。促使人們對線性方程組解法作更深化的研討。Cramer Cramer 法那么的運用法那么的運用資料：資料： 克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，17041704年年7 7月月3131日生于日內(nèi)瓦，日生于日內(nèi)瓦

17、，17521752年年1 1月月4 4日去世于法國塞茲日去世于法國塞茲河畔的巴尼奧勒河畔的巴尼奧勒. .早年在日內(nèi)瓦讀書，早年在日內(nèi)瓦讀書，17241724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，17341734年成為年成為幾何學(xué)教授，幾何學(xué)教授，17501750年任哲學(xué)教授年任哲學(xué)教授. . 1750 1750年，他在專著年，他在專著 中初次提出了由線性方程組的系數(shù)確定方程中初次提出了由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達式，即著名的組解的表達式，即著名的“克萊姆法那么克萊姆法那么.(.(其實萊布尼茲其實萊布尼茲16931693年和馬克勞林年和馬克勞林17481748年也給出了該法那么，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來年也給出了該法那么，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來) )。他終身未婚，。他終身未婚，專心治學(xué)，平易近人，德高望重，先后中選為倫敦皇家學(xué)會、柏林研討院和法國、意專心治學(xué)，平易近人，德高望重，先后中選為倫敦皇家學(xué)會、柏林研討院和法國、意大利等學(xué)會成員大利等學(xué)會成員. . 他為數(shù)學(xué)寶庫留下大量的有價值的文獻，其嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)