二章波函數(shù)與薛定諤方程學習教案

1、會計學1二章波函數(shù)與薛定諤方程二章波函數(shù)與薛定諤方程(fngchng)第一頁，共63頁。AeEtrpi)(t), r(2、一般F0,在外力場中，勢能(shnng) , 滿足薛定諤方程和邊界條件稱為波函數(shù)),(tr),(trV2.1波函數(shù)的統(tǒng)計波函數(shù)的統(tǒng)計(tngj)解釋解釋自由粒子運動。不變的作用，因而它描寫當粒子不受外力PEtrF,),(第1頁/共62頁第二頁，共63頁。),(),(),(trPtrEtxy2、量子力學(lin z l xu)的波函數(shù) 不表示任何具體物理量),(tr3、 表示在時刻t位置 附近單位體積內發(fā)現(xiàn)粒子的幾率（probalitily),及t時刻在 附近發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密

2、度 2),(trrr4、波函數(shù)表示微觀體系的量子態(tài)（狀態(tài)、態(tài)）， 不僅可以告訴我們在 位置測量出粒子的幾率，還可以描寫體系的各種性質，測量其他物理量的可能值，及取這些值的幾率),(tr),(tr第2頁/共62頁第三頁，共63頁。),(tzyx2),(),(),(tzyxcdtzyxdwtzyxwT時刻在(x,y,z)點附近(fjn)單位體積內找到粒子的幾率密度由波函數(shù)的統(tǒng)計(tngj)解釋：dtzyxctzyxdw2),(),(第3頁/共62頁第四頁，共63頁。dcdtzyxc2211),(c：成為：成為(chngwi)歸一化常數(shù)，歸一化常數(shù)，2cw則令axx2cos21)(例：給定), 0(

3、ax將其歸一化第4頁/共62頁第五頁，共63頁。)()(),(xcxx設aaaxacacdxcdxaxcdxx822042022212412cos1412cos41)(解得：ac22第5頁/共62頁第六頁，共63頁。描寫與為復函數(shù)，一般ietzyx),(稱為相因子化，同一狀態(tài)，不影響歸一ie4，自由粒子(lz)波函數(shù)不可歸一化 例：dAetrpEtrppi2)(),(而第6頁/共62頁第七頁，共63頁。波函數(shù)的統(tǒng)計解釋(jish)態(tài)迭加原理一、量子力學(lin z l xu)的基本原理之一 態(tài)迭加原理1、實驗規(guī)律：由于測量時會擾動，微觀態(tài)各種可能值以一定幾率出現(xiàn)，如 x 2-2.5 3-3.5

4、 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%波粒二象性2、測量物理量x及其幾率可以由波函數(shù)求出如 Wxt找到粒子的幾率時刻，)5 . 3 , 3(第7頁/共62頁第八頁，共63頁。dxdydztzyxW25 . 33),( 源于波的迭加性。回顧經典波的惠更斯原理：在空間某點p處，t時刻的波的振幅有前一時刻波上各點傳出的光波的相干迭加決定。經典波的干涉(gnsh)，若 為一列波， 為一列波，則 也是一個可能的波動狀態(tài)1y2y21yyy4、態(tài)迭加原理(yunl)如果 和 是體系的可能狀態(tài)，則它們的線性迭加 也是這個體系的一個可能狀態(tài)，而且當粒子處于 和 的線性迭加態(tài)時，粒子是既處于

5、 態(tài)，也處于 態(tài) 12211221第8頁/共62頁第九頁，共63頁。21202101,iiee為復函數(shù)，如一般，21212121222211222211222211111122112211222112cccccccccccccccccccc6、態(tài)迭加原理(yunl)的一般形式 nnnnncccc2211當 為體系的可能狀態(tài)(zhungti)時，他們的線性迭加 也是體系的一個可能狀態(tài)(zhungti)。當體系處于 態(tài)時，體系部分的處于 態(tài)之中 n,21 n,21第9頁/共62頁第十頁，共63頁。 經典力學：已知力經典力學：已知力 F F 及及 x0 x0、v0v0，質點，質點(zhdi(zhdi

6、n)n)的狀態(tài)變化由牛頓運動方程求出的狀態(tài)變化由牛頓運動方程求出 當微觀粒子在某一時刻(shk)的狀態(tài)為已知時，以后時刻(shk)粒子所處的狀態(tài)也要薛定諤方程來決定。 所要建立(jinl)的是描寫波函數(shù)隨時間變化的方程，它必須是波函數(shù)應滿足的含有對時間微商的微分方程。 量子力學量子力學：微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，狀 態(tài)隨時間的變化遵循著一定的規(guī)律1926年，薛定諤在德布羅意關系和態(tài)疊加原理的基礎上，提出了薛定諤方程做為量子力學的又一個基本假設來描述微觀粒子的運動規(guī)律。2.3 薛定諤方程薛定諤方程第10頁/共62頁第十一頁，共63頁。一、薛定諤方程一、薛定諤方程(fngchng)的引入的

7、引入下面用一個簡單的辦法來引進這個方程。應強調的是：薛定諤方程是量子力學(lin z l xu)最基本的方程，其地位與牛頓方程在經典力學中的地位相當。實際上應該認為它是量子力學的一個基本假定，并不能從什么更根本的假定來證明它。它的正確(zhngqu)性，歸根結底，只能靠實驗來檢驗下面，首先討論自由粒子，其能量與動量的關系是 (1)和波矢 （ ），由下式給出 是粒子質量，按照德布羅意關系，與粒子運動相聯(lián)系的波的角頻率 第11頁/共62頁第十二頁，共63頁。 ， (2) 或者說，與具有(jyu)一定能量E和動量 的粒子相聯(lián)系的是平面單色波。 (3) 由(3)式可得第12頁/共62頁第十三頁，共63

8、頁。利用(1)式，可以(ky)得出即： (4) ),(tr是一個(y )單色平面波 。注意(zh y)：方程(4)中 而描述自由粒子的一般狀態(tài)的波函數(shù)，具有波包的形式，即為許多單色平面波的疊加。),(tr (5) 式中： ，不難證明 第13頁/共62頁第十四頁，共63頁。 0可見(kjin)，如果 ),(tr是波包，仍滿足方程(fngchng)(4)，所以方程(4)是自由(zyu)粒子波函數(shù)滿足的方程。值得注意的是：如果在經典的能量動量關系(1)中，作如下替換：第14頁/共62頁第十五頁，共63頁。 ， (6)然后(rnhu)作用于波函數(shù)上，就可得到方程(4). 其次(qc)，我們進一步考慮在

9、勢場 中運動的粒子(lz)，按照經典粒子的能量關系式 (7) 對于上式作替換(6)，然后作用于波函數(shù)上，即得：(8) 這就是薛定諤波動方程。它揭示了微觀世界中物質運動的基本規(guī)律，是量子力學的基本假設之一。二二、薛定諤方程的討論薛定諤方程的討論 1、要求第15頁/共62頁第十六頁，共63頁。、對粒子的所有狀態(tài)成立(chngl)，波動方程系數(shù)不能含有狀態(tài)參量，如 x, p, L 也是其解各為其解，則，性的，當而言是線即方程對于其解、必須滿足迭加原理，2121ba)2(2、定域的幾率、定域的幾率(j l)守恒守恒薛定諤方程是非(shfi)相對論量子力學的基本方程。在非相對論（低能）情況下，實物粒子（

10、 ）沒有產生和湮 湮滅的現(xiàn)象，所以在隨時間演化的過程中，粒子數(shù)目保持不變（即粒子數(shù)守恒）。 對于一個粒子來說，在全空間中找到它的幾率之總和應 不隨時間改變，即 (9) 第16頁/共62頁第十七頁，共63頁。下面(xi mian)我們就利用薛定諤方程來證明這個結論。對(8)式取復共軛，（注意(zh y)到 ）得 (10) 式，得式由)10(-)8(*(11) 積分可化為面積分定理，等式右邊中將上式積分，按高斯在空間閉區(qū)域第17頁/共62頁第十八頁，共63頁。(12) 的表面，如下圖是其中s令： (13) (14) 第18頁/共62頁第十九頁，共63頁?？蓪憺槭?，的物理意義見下，于是表示幾率密度，

11、)12(j(15) 上式左邊代表(dibio)：在閉區(qū)域 中找到粒子(lz)的總幾率（或粒 子數(shù)）在單位(dnwi)時間內的增量。 而右邊（注意負號）表示：單位時間內通過 的封閉表 量密度的意義，是一個矢粒子數(shù)具有幾率流所以：。粒子數(shù)內的幾率而流入面)(j)(S公式(12)或(15)是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。而由(11)式可得其微分表達式： (16) 第19頁/共62頁第二十頁，共63頁。這種形式與流體力學(li t l xu)中的連續(xù)性方程相同。 應該強調：這里的幾率守恒具有定域的性質。當粒子在空間某地的幾率減小了，必然在另外一些地方的幾率增加了（使總幾率不變），并且伴隨著有什么東西

12、在流動來實現(xiàn)這種變化(binhu)。連續(xù)性就意味著某種流的存在。3、波函數(shù)必須是薛定諤方程的解，但并非所有解都有、波函數(shù)必須是薛定諤方程的解，但并非所有解都有物理物理(wl)意義意義，連續(xù)的。必須是單值得，有限的由于幾率密度) t , r (2第20頁/共62頁第二十一頁，共63頁。2.4 2.4 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程(fngchng) (fngchng) 一、不含時間(shjin)的薛定諤方程易的。是不容去求解末態(tài)一般情況下，從初態(tài))0 ,()0 ,(rr以下討論一個極為重要的特殊(tsh)情況：假設勢能U不顯含時間t（經典力學中，在這種勢場中的粒子的機械能是守恒量）此時，薛定諤方程

13、(8)可以用分離變量法求其解，令特解為 (17) 代入薛定諤方程中，可得：第21頁/共62頁第二十二頁，共63頁。(18) 上式右邊(yu bian)E是即不依賴與t，也不依賴與 的常數(shù)(chngsh)，于是 (19) /)(iEtetf(20) 可表為：因此，特解) t , r (21)滿足下列方程：其中) r (E(22)第22頁/共62頁第二十三頁，共63頁。形式如(21)式的波函數(shù)所描述(mio sh)的態(tài)，稱為定態(tài)。方程(22)稱為不含時間的薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程。 為能量(nngling)本征函數(shù)。薛定諤方程(fngchng)更普遍的表達式為(23)其中 是體系的哈密頓算符。當

14、不顯含t時，薛定諤方程為(24)第23頁/共62頁第二十四頁，共63頁。(1).粒子(lz)的幾率密度 及幾率(j l)流 ，顯然不隨時間(shjin)改變。 (2).任何力學量（不顯含t）的平均值，不隨時間變化。 (3).任何力學量（不顯含t）取各種可能測量值（本征值）的幾率分別也不隨時間改變。 二、定態(tài)薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程/) r ()() r () t , r (EiEtetf確定當能量變化不隨幾率流密度tj,) r () t , r (221、定態(tài)的特征：第24頁/共62頁第二十五頁，共63頁。2.5 2.5 一維無限一維無限(wxin)(wxin)深勢阱深勢阱 設勢能(shn

15、ng)一、一維定態(tài)問題中粒子感受沿一個(y )方向(x)變化的勢場U(x),它也是由三維問題分離變量出來的問題。0)(xUaxaxa0axy第25頁/共62頁第二十六頁，共63頁。由于勢能U(x)不顯含時間t，于是(ysh)可得系統(tǒng)的定態(tài)薛定諤方程： )()()(2222xExxUdxd(1)對本(dubn)問題有：)()()(2)()(2,0,22xExuxxEx ax 0,uax(2)(3)根據(jù)波函數(shù)應滿足(mnz)連續(xù)性和有限性的條件0)()(xx既有0)( ax(4)第26頁/共62頁第二十七頁，共63頁。0)()(aa的邊界條件：當ax 0)(E2)(2 xx22E2令xBxAxco

16、ssin)(可得通解：(6)0)()() 6 (2 xx式可寫為：(7)(5)(8)得帶入邊界條件將式)5()8(0cossin)(aBaAa0cossin)(aBaAa(9)(10)由上兩式得0cos0sinaBaA注意(zh y)：A，B不能同時為零第27頁/共62頁第二十八頁，共63頁。定義：代入nE2anEn 8222(11)量子化的能量(nngling)公式2na 即： 2 , 1n子化的。取分立值，即能量是量量可能值。能維無限深勢阱中粒子的即為能量本征值，是一nnEE(a)解可得波函數(shù)有兩組解：02sinxanA axax)( 為偶數(shù)n(12)第28頁/共62頁第二十九頁，共63頁

17、。(b)解02cosxanB axax)( 為奇數(shù)n(13)()()12(xx具有奇宇稱，即式)()()13(xx具有偶宇稱，即式二式，得合并)13)(12(n0)(2sinaxanAaxax(14)可由歸一化條件定出系數(shù)AaA1第29頁/共62頁第三十頁，共63頁。函數(shù)是：深勢阱中粒子的定態(tài)波由上可以得出一維無限tEniextx)(),(08exp)(2sin1222taniaxanaaxax(15)二、束縛態(tài)二、束縛態(tài)為實函數(shù)且束縛態(tài)中波函數(shù)可以能級一般是分立的，而稱為束縛態(tài)。束縛態(tài)的的粒子狀態(tài)通常把之內子被束縛在在一維無限深勢阱中粒0)(0,)(,rxax第30頁/共62頁第三十一頁，共

18、63頁。三、一維無限(wxin)深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度1n2n3n4n0a1234a2|0aa0pE1E14E19E116E對于不同的量子數(shù)，在阱內某一特定的點，粒子(lz)出現(xiàn)的幾率是不同的。第31頁/共62頁第三十二頁，共63頁。1n2n3n4n2|0aa 經典理論中，處于無限深方勢阱中粒子的能量為連續(xù)(linx)值，粒子在阱內運動不受限制，各處概率相等。 隨著能級的升高，幾率密度的峰值增多，當 時，粒子在勢阱內各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學的結果過濾到經典力學的情況。n 從以上分析(fnx)可知：對于無限深勢阱來說，粒子只能在勢阱U=0的區(qū)域能運動。第32頁/共62頁第三十

19、三頁，共63頁。四、討論(toln)：anEan8).(222由能量本征值aE8221基態(tài)：anEnaEn212222222激發(fā)態(tài)：第第一激發(fā)態(tài)：1n2n最小能量是由測不準關系規(guī)定的另外，即零，所以粒子的能量不能為因為靜止的波無意義，10En 第33頁/共62頁第三十四頁，共63頁。) 1().(knkkaxb個節(jié)點激發(fā)態(tài)有態(tài)，第點，其他以外，基態(tài)波函數(shù)無節(jié)除端點也連續(xù)處有限時，在邊界當處不連續(xù)。因為在連續(xù)，而處波函數(shù)在邊界)()(,)()()().(axuxuaxaaaxc補充(bchng)：解題技巧不適用界條件。但對邊界處邊可在邊界處應用連續(xù)性而不求定態(tài)波函數(shù)時，如束縛態(tài)能級能級當問題只須

20、求定態(tài)能量0)(nnEEaxaxlnlnax 第34頁/共62頁第三十五頁，共63頁。2.6 線性諧振子線性諧振子221)(kxxUr)(rU0a線性諧振子是許多實際問題的一級近似，簡諧振動是許多復雜運動(yndng)的成分，可以分解為一系列簡諧振動的合成一、求解(qi ji)一維線性諧振子的薛定諤方程第35頁/共62頁第三十六頁，共63頁。)()(21)(22222xExkxxdxd1、其薛定諤方程、其薛定諤方程(fngchng)為：為：(1)整理(zhngl)得：0)()2()(22 xkEx(2)k令(2)式變?yōu)椋?3)0)()2()(2222 xEx作變量(binling)代換，使自變

21、量(binling)無量綱化第36頁/共62頁第三十七頁，共63頁。，則有：，令,2xE0)()21()(2222 xxEx2/1兩邊同乘(5)(4)0)()2()(2 xxEx0)()()(222dd(6)(6)為一復系數(shù)(xsh)常微分方程2、方程、方程(fngchng)(6)的漸的漸進解進解第37頁/共62頁第三十八頁，共63頁。變?yōu)椋海藭r由于使的行為，即為解方程，先考察他在)6(220)()(222dd(9)(8)(7)漸進(jinjn)解2/2)(e可設一般(ybn)解2/2)()(eH號所以余去應有限，時，當根據(jù)波函數(shù)標準條件，2/2)(e)(為待求函數(shù)H第38頁/共62頁第三十

22、九頁，共63頁。將(9)代入(6)得 )()(2/2/22 eHeHdd 2/2/2/222 eHeHeH2/22/22)()(eHeH 2/22) 1(2 eHHH相減得將上式與0)()()(2 0) 1(22 HHH厄密方程(fngchng)(9)第39頁/共62頁第四十頁，共63頁。3、解厄密方程、解厄密方程(fngchng)關系中，求各級系數(shù)之間的級數(shù)，再代入展開為上將域為方程的常點，在其鄰)9(0H 則令,0nnnaH nnnnnnnnannaH) 1)(2() 1(0222 nnnnaH022:n對任一0) 1(2) 1)(2(02nnnnnananna(11)(10)(12)第4

23、0頁/共62頁第四十一頁，共63頁。nnannna) 1)(2(122遞推關系(gun x)(13)nnanaanaH的已知，可得奇數(shù)，當?shù)臄?shù)已知，由之可得所有偶的級數(shù)解，當式為10)()12(之比：很大，高次項系數(shù)，當如果級數(shù)含有無限多項nnnnaannn2) 1)(2(122 的級數(shù)解比較：與2e(14)第41頁/共62頁第四十二頁，共63頁。nbbennnnnnnnnn211)!1()!()!1()!(! 2! 112222222422 不符合波函數(shù)標準條件，相同，即時的行為與級數(shù)解在 )(2e向無窮不再趨相乘后在某一處中斷，使之與件限制使應有限，必須用物理條、實際問題中)()()(42

24、/2eH012)13(0, 02naannn式看就是要求：由。而處即在第42頁/共62頁第四十三頁，共63頁。代入得：將E20212En)(21 nEn線性諧振子能級(nngj)公式(15) )(2/2nnnHeN厄密函數(shù)(hnsh)(16)有遞推關系導出、)(5H1)(0H2)(1H24)(22H1, 00n3, 11n5, 22n為歸一化常數(shù)nN第43頁/共62頁第四十四頁，共63頁。nnnH2)(階多項式，最高項系數(shù)為的宇稱：)(nH為偶數(shù)時為偶宇稱當為奇數(shù)時為奇宇稱當nn的導數(shù)：)(nH!2)()(2)(1nHddnHHddnnnnnn(17)的幾個關系式、)(6H128)(33H 7

25、, 33n第44頁/共62頁第四十五頁，共63頁。0)(2)(2)(11nnnnHHH(19)(20)() 1()(22eddeHnnnn0)(2)(2)(22nnnnHHddHdd(18) 歸一化、對xn7 dHeNdxxxnn)(222deddHNnnnnn)()() 1(22第45頁/共62頁第四十六頁，共63頁。1!2!2)() 1()()()() 1(22)(2112222nNdenNdeHNdeddHddHNnnnnnnnnnnnnnnnn!2 nNnn(21)第46頁/共62頁第四十七頁，共63頁。 的正交歸一化、xn8 mnnmdxxxnmnm, 0, 1二、物理二、物理(wl

26、)意義意義 xn、定態(tài)波函數(shù)1 )(2/2nnnHeN)(x 稱為厄密多項式。稱為厄密函數(shù)，而)(Hn 值處迅速衰減。個根，在大有次，軸相交在有限范圍內與nnnn0第47頁/共62頁第四十八頁，共63頁。2、幾率(j l)密度 ，微觀趨向宏觀很大時，量子趨向經典在量子數(shù)。除外點個零個極大幾率點，有，nnnnn)(123、能級(nngj)(21 nEn討論(toln)：nE能量等間距：) 1 (為基態(tài)，稱零點能210, 0)2(EEn第48頁/共62頁第四十九頁，共63頁。也不停止振動。，固體中原子使在所要求的最小能量，即，這是測不準關系諧振子的零點振動能KT0) 3(214、基態(tài)(j ti)波

27、函數(shù) )(002221xHexx.1,1,)(,/21110101為經典禁區(qū)區(qū)域運動。，在經典：基態(tài)諧振子只能此處在，諧振子特征長度xxExVxEx第49頁/共62頁第五十頁，共63頁。2.7 勢壘貫穿（隧道勢壘貫穿（隧道(sudo)效效應）應）一、方勢壘的穿透(chun tu) 粒子從無限遠處來，受勢壘散射后又到無限遠處去，粒子能量事先知道(zh do)。波函數(shù)在不遠處不為零，體系能量可取任意值，構成連續(xù)譜（散射態(tài)，不是束縛態(tài)）。)(xUaxxaxU, 0, 00 ,0(1)（方勢壘）E0axy0U1、方勢壘第50頁/共62頁第五十一頁，共63頁。.)0(率過勢壘在右邊出現(xiàn)的幾向右運動。求越

28、的粒子由勢壘左方設能量為xE右邊。，粒子才能運動到勢壘經典力學：只有當0UE 。，反射回來的幾率不為不為出現(xiàn)的幾率，粒子越過勢壘在右方量子力學：010UE 02UE 、，薛定諤方程為：在勢壘外), 0(axx(2)02222Edxd第51頁/共62頁第五十二頁，共63頁。ikxikxBeAexEk)()2(,222式得解：則設)0( x即：反射波。取例。而勢壘右邊，則無粒子數(shù)的比則為反射粒子數(shù)占入射。，取面方便，反射波都有，為了后波。在勢壘左邊，入射方向（左）的為向方向（右）的波，為向, 0,RB1A2BSARxexeikxikx,0,ReikxikxikxSexe)(xax (3)這是入射粒

29、子流密度(md)為：)(21ppJ第52頁/共62頁第五十三頁，共63頁。入射波：22)(2)(2hikxikxikxikxikikikiedxdeedxdeiJ2t2RSJRJ透射波幾率流密度：反射波幾率流密度：TJJrRJJitiR22S透射幾率：反射幾率：)(透射系數(shù))(反射系數(shù)(4)(5)(6)第53頁/共62頁第五十四頁，共63頁。，薛定諤方程為：在勢壘中)0(ax (7)EUdxd02222變換(binhun)為：0)(22022EUdxd(8)寫為：則令,)(2202EU kxkxBeAex)(9)都連續(xù)得：和處由在 0 x第54頁/共62頁第五十五頁，共63頁。BARikBAR)1 (1:得上兩式相加、相減分別(11)(10)1 ()1(21)1 ()1(21ikRikBikRikA都連續(xù)得：和處由在 ax(12)eeeeeeikaaaikaaaSikBASBA第55頁/共62頁第五十六頁，共63頁。:得上兩式相加、相減分別(13)eeaikaaikaikSBikSA)1 (2)1 (2:,)13()11(得式消去式與再利用BA(14)eeaikaaikaikSikRikikSikRik)