【龍門(mén)亮劍】2011高三數(shù)學(xué)一輪理數(shù) 第九章 第七節(jié) 多面體、球(課時(shí)提能精練) 全國(guó)版

1、(本欄目?jī)?nèi)容，學(xué)生用書(shū)中以活頁(yè)形式單獨(dú)裝訂成冊(cè)！)一、選擇題(每小題6分，共36分)1(2010年南充模擬)已知球面上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，且AB6，BC8，AC10，球半徑R15，則球心到平面ABC的距離是()A10 B10C15 D15【解析】由題意截面圓的半徑為5，球心到截面距離d10.【答案】B2(2008年江西)連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱(chēng)為球的弦半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2、4，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M弦AB、CD可能相交于點(diǎn)NMN的最大值為5MN的最小值為1其中真命題的個(gè)數(shù)為()A1個(gè) B2個(gè)C

2、3個(gè) D4個(gè)【解析】當(dāng)AB，CD相交時(shí)，是一個(gè)球的一個(gè)截面圓的兩條弦，由AB<CD得，是真命題，是假命題；當(dāng)以AB，CD為直徑的兩個(gè)小圓所在平面互相平行且在球心O的兩側(cè)時(shí)，MN最大，此時(shí)M，O，N三點(diǎn)共線，OM3，ON2，故MN的最大值為5；當(dāng)以AB，CD為直徑的兩個(gè)小圓所在平面互相平行且在球心O的同側(cè)時(shí)，MN最小，故MN的最小值為1，是真命題，故選C.【答案】C3(2008年湖北)用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為()A. B.C8 D.【解析】S圓r21r1，而截面圓圓心與球心的距離d1，球的半徑為R，VR3，故選B.【答案】B4(2008年湖南)長(zhǎng)方體AB

3、CDA1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB2，AD，AA11，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是()A2 B.C. D.【解析】記長(zhǎng)方體的外接球球心為O，半徑為R，連結(jié)OA、OB，則有(2R)222()2128，R22，OA2OB22，在AOB中，OA2OB2AB24，AOB.因此，頂點(diǎn)A、B間的球面距離等于×，選C.【答案】C5已知三棱錐SABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，ACr，則球的體積與三棱錐體積之比是()A B2C3 D4【解析】SO底面ABC，SO為三棱錐的高線，SOr，又O在AB上，AB2r，ACr，ACB90°，BCr

4、，VSABC××r×r×rr3.又球的體積Vr3， 4.【答案】D6球的直徑為d，體積為V球，一正方體的棱長(zhǎng)為a，體積為V正，若它們的表面積相同，則有()Ada，V球V正 Bda，V球V正Cda，V球V正 Dda，V球V正【解析】由于球的體積為R3V球，表面積為4R2，因直徑為d，故表面積為d2，而正方體的表面積為6a2d2，da，從而正方體的體積為a3d3·，而V球3d3.1，V球V正【答案】A二、填空題(每小題6分，共18分)7在半徑為R的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在同一個(gè)大圓上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，

5、經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回，則經(jīng)過(guò)的最短路程是_【解析】沿球面距離運(yùn)動(dòng)其路程最短，2()2R.【答案】R8(2008年浙江)如圖所示，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則球O的體積等于_【解析】將四面體補(bǔ)成一個(gè)球的內(nèi)接正方體，由題意可得DC為正方體的體對(duì)角線，即球O的直徑則4R23339，可得R2，R，故V·3.【答案】9球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4，那么這個(gè)球的半徑為_(kāi)【解析】如圖所示，O為球心，設(shè)球面上A、B、C三點(diǎn)任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，則AOBBOCCOA，四面體OABC是正四面體

6、經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4，小圓的圓心為O1，小圓半徑O1A2，又O1AAB，AB，球的半徑為.【答案】三、解答題(10,11每題15分，12題16分，共46分)10球面上三點(diǎn)A，B，C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形AB18，BC24，AC30，且球心到該截面的距離為球半徑的一半(1)求球的體積；(2)求A，C兩點(diǎn)的球面距離【解析】(1)AB2BC2AC2，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的截面圓的半徑為15.設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意R22152，R2152，R2300，R10，V球R3(10)34 000.(2)由(1)可知AOC120°，A、C兩點(diǎn)的球面距離為：·2R×

7、;10.11如圖所示，球O的截面BCD把球的直徑分成13的兩部分，BC是截面圓的直徑，D為圓周上的一點(diǎn)，CA是球O的直徑，若D分為12，求AC與BD所成角的余弦值【解析】在BCD內(nèi)作CEBD交圓面于E點(diǎn)，連結(jié)BE、AE，則AC與CE所成角為AC與BD所成角BC為小圓的直徑，CEBD，設(shè)小圓面圓心為O1，球半徑為R.面BCD將球O的直徑分成13，OO1R，BCR.又D分成為12，BDR.又AB2OO1R，在RtACE中，AE2R，CER，cosACE，即AC與BD所成角的余弦值為.12正三棱錐ABCD的高為1，底面邊長(zhǎng)為2，內(nèi)有一個(gè)球O與四個(gè)面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積【解析】方法一：過(guò)側(cè)棱AB與球心O作截面(如圖)，在正三棱錐中，BE是底面正三角形的高，O1是底面正三角形的中心，且AE為斜高因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，O1E，且AE.S棱錐全3××2××(2)296.作OFAE于F，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則OFr，AO1r.RtAFORtAO1E，.，r2，S球8(52).方法二：在RtAO1E中，設(shè)E，則sin ，cos ，tan .連結(jié)OE.在RtOO1E中，OO1O1E