[高等教育]4-1-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)-振動(dòng)能量

1、第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)4.1 4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)4.2 4.2 諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的能量4.3 4.3 諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法4.4 4.4 諧振動(dòng)的合成諧振動(dòng)的合成4.5 4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)kl0 xmoAA一、一、 模型模型00Fx 1.1.彈簧振子彈簧振子第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)makxF0dd222 xtx mk2令令積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(

2、tAxxxFmo平衡位置平衡位置 0外外F動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程振動(dòng)方程振動(dòng)方程特特 征征 方方 程程第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)2. 2. 單擺單擺 mgsinmgF 0dd222 t)cos(m tsin,5時(shí)時(shí)動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程tmamgF 22dtdmlml 振動(dòng)方程振動(dòng)方程條件：條件：lmoAPnptplg2令令第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)3. 3. 復(fù)擺復(fù)擺 mglM 22ddtImgl 0dd222 tImgl 2 )cos( tm)5(oC*lP（ 點(diǎn)為質(zhì)心）點(diǎn)為質(zhì)心）C

3、平衡位置平衡位置 0外外M動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程振動(dòng)方程振動(dòng)方程繞不過(guò)質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。繞不過(guò)質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))cos()sin(2dd tAtAtx1.v)cos()cos(. tAtAtxa2222dd2)cos(tAxxxFmo二、二、 速度和加速度速度和加速度 Avm 2 Aam 第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos

4、(2tAa第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))cos(tAx1.1.振幅振幅maxxA 2.2.周期、頻率周期、頻率kmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2T 周期周期21T 頻率頻率T22 圓頻率圓頻率)(cosTtA周期和頻率僅與振動(dòng)系周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān)注意注意tx圖圖AAxT2Tto三、描述諧振動(dòng)的物理量三、描述諧振動(dòng)的物理量第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)201 1）相位在相位在 內(nèi)變化，內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)無(wú)相同無(wú)相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 2 2）初）初相位相位 描述質(zhì)點(diǎn)描述質(zhì)點(diǎn)初始初始時(shí)刻

5、的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). . ) 0( t) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同全同. .（周期性）（周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx圖圖AAxT2Ttovvv 初相位初相位 3. 3. 相位相位 t第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)xxFmo sin Av cosAx X v B O C O B 0BCX第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) X V B 0 A O O 0 -vm C -A 0 O 0 vm B A 0 0BC2 23 2例：例： 一小球初始時(shí)用手托著，手一松，小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一小球初

6、始時(shí)用手托著，手一松，小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在最低處時(shí)，在最低處時(shí)， 再次到達(dá)平衡位置時(shí)，再次到達(dá)平衡位置時(shí)，? ? x最低處時(shí)：最低處時(shí)：X=A, V=0; 0 再次到達(dá)平衡位置再次到達(dá)平衡位置X=0, V=-Vm; 21 第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) X V B 0 A O O 0 -vm C -A 0 O 0 vm B A 0 0BC2000 ;:VXOB2 23 2 200;:VXCO 2300 ;:VXOC 22300 ;:VXBO0 2 2123或或2/ 或或第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)22020vxA00tanxv 3

7、) 3) 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期( (或者角頻率或者角頻率) )由系統(tǒng)本身由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定. .三要素三要素)sin(tAv)cos(tAx第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)四、振動(dòng)圖像四、振動(dòng)圖像 同一質(zhì)點(diǎn)在

8、不同時(shí)刻的位移同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移 xt圖圖TTA 2 ,t0時(shí)：時(shí)：x0， v0的方向看下時(shí)刻的的方向看下時(shí)刻的x， x向位移的正方向，向位移的正方向，v00; x向位移的負(fù)方向，向位移的負(fù)方向， v00.tx圖圖AAxT2Ttovv第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) cosAAx 20 求求020 0v,AxtO已知已知例例1 1：3321 或或cos000 sinv又又3 故故第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)例例2; 2; 將一彈簧振子豎直懸掛，已知彈簧的勁度系數(shù)為將一彈簧振子豎直懸掛，已知彈簧的勁度系數(shù)為k1.6Nm1,彈簧

9、下端掛一質(zhì)量為彈簧下端掛一質(zhì)量為M0.025kg的物體，的物體，物體處于平衡狀態(tài)物體處于平衡狀態(tài)，(1)若將物體下拉到若將物體下拉到x00.10m處，處，然后自由釋放；然后自由釋放；(2)若將物體下拉到若將物體下拉到x00.10m處處, ,再給它再給它向下運(yùn)動(dòng)的初速度向下運(yùn)動(dòng)的初速度v0=0.8ms-1, 寫(xiě)出振動(dòng)方程寫(xiě)出振動(dòng)方程x第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)已知：已知： k1.6Nm1 m0.025kg 處于平衡狀態(tài)處于平衡狀態(tài)（1）x00.10m處，自由釋放處，自由釋放（2）x00.10m處，處， v0=0.8ms-1x解：平衡位置：解：平衡位置：0 kb

10、mgkmgb 位移位移x處：處：kxbxkmgF )( dd022 xmktx18 smk dd0222 xtx )cos( tAx第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（1）t0 時(shí)，時(shí)， x00.10m， vo =0mx100. 0 tx810 cos. （2）t0 時(shí)，時(shí)， x00.10m， vo =0.8ms-122020 vxA mvxA14022020. cosAx 022 cos44 或或 000 sin,v又又4 故故）（48140 txcos. 第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)例例3 3：已知：已知k，m；定滑輪定滑輪I，

11、R初始位置時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，靜止釋放初始位置時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，靜止釋放求（求（1 1）m m的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng) （2 2）振動(dòng)周期（）振動(dòng)周期（3 3）振動(dòng)方程）振動(dòng)方程平衡位置處：平衡位置處：0 kbmg位移位移x x處：處：maTmg 1 IRTRT 21)(bxkT 2 Ra T2T2T1T1mg證明證明: : （1 1）取物體、彈簧和圓盤(pán)為研究對(duì)象，取物體、彈簧和圓盤(pán)為研究對(duì)象，分析它們受力分析它們受力注：研究簡(jiǎn)諧運(yùn)注：研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)時(shí), ,坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)建立在平衡位置建立在平衡位置第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) dd0222 xRImktx

12、dd0222 xtx 2RImk/ 令令2222RImkT/)( 第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)二）用能量方法研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)二）用能量方法研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則有該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則有0212121222 mgxkxImv 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)0 dtdxkxdtdIdtdvmv T2T2T1T1mgmgbmgxbxkImv 222)(212121 第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與上結(jié)果相同與上結(jié)果相同注：從能量守恒導(dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的思路，對(duì)研究非機(jī)械注：從能量守恒導(dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的思路，對(duì)研究非機(jī)械運(yùn)動(dòng)十分重要，因?yàn)?/p>

13、此時(shí)已不宜用受力分析的方法了！運(yùn)動(dòng)十分重要，因?yàn)榇藭r(shí)已不宜用受力分析的方法了！022222 kxvdtxdvRIdtxdmv0)(222 kxmRIdtxd0)(222 xmRIkdtxd式中式中RvdtxdRdtdvdtdxdtxddtdv ,1,2222第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))cos()( tAx3初始位置時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，靜止釋放，求振動(dòng)方程初始位置時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，靜止釋放，求振動(dòng)方程T=0時(shí)，時(shí)，x0=b, v0=022020 vxA kmgb cosAx 0 cosbb 1 cos )cos( tkmgx第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1

14、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)例例4 4、已知物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，試根據(jù)圖、已知物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，試根據(jù)圖線寫(xiě)出其振動(dòng)方程。線寫(xiě)出其振動(dòng)方程。 st mx04. 002. 0002. 004. 02解：解：設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為 tAxcos由圖知由圖知mA04. 0 0,2, 000 vAxt32又由圖知又由圖知第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 1 4 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) st mx04. 002. 0002. 004. 02 tAxcosmA04. 0 320,222 vAx22cos2 Axt時(shí)時(shí)， k232 351k2，取取 353222 2 322040 txcos.第四章第四章 機(jī)械振

15、動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 4 2 2 諧運(yùn)動(dòng)的能量諧運(yùn)動(dòng)的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxv22pk21AkAEEEmk /2一、動(dòng)能和勢(shì)能一、動(dòng)能和勢(shì)能二、總能量二、總能量振幅不變振幅不變第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 4 2 2 諧運(yùn)動(dòng)的能量諧運(yùn)動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE

16、222ksin21第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 4 2 2 諧運(yùn)動(dòng)的能量諧運(yùn)動(dòng)的能量能量守恒能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)推導(dǎo)常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 4 2 2 諧運(yùn)動(dòng)的能量諧運(yùn)動(dòng)的能量三、平均能量三、平均能量2411220總總EAmdtETETkk 241120總總EkAdtETETpp 四、二個(gè)特殊位置的能量四、二個(gè)特殊位置的能量時(shí)時(shí)21Ax .總總EAkkxE414212122 p總總總總EAkkAEEEk434212122 p2. 求求Ep=Ek的位置的位置22221212121)()(pAkkAEEEk 總總Ax22 第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)4 4 2 2 諧運(yùn)動(dòng)的能量諧運(yùn)動(dòng)的能量 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振