[理學(xué)]高等數(shù)學(xué)課件——71amp72定積分的概念性質(zhì)

1、7.1&.7.2定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)第一部分第一部分 定積分的概念定積分的概念實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）一、問(wèn)題的提出abxyoy=f(x)如圖：設(shè) y = f (x)在區(qū)間a, b 上非負(fù)、連續(xù), 由直線(xiàn) x = a, x = b, y = 0, 及曲線(xiàn) y = f (x) 所圍成的圖形,稱(chēng)為曲邊梯形, 其中曲線(xiàn)弧稱(chēng)為曲邊.baxyobaxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九

2、個(gè)小矩形）觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分

3、割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀

4、察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩

5、形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系(1) 已知已知 矩形面積高矩形面積高底底將將a, b分成分成 n 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間, 稱(chēng)為稱(chēng)為子區(qū)間子區(qū)間.bxxxxxann121011,iiiiixxxxx令是的過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作平行于過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸軸的直線(xiàn)段的直線(xiàn)段, 把曲邊梯形分把曲邊梯形分成成n個(gè)個(gè)小小曲邊梯形曲邊梯形, 0 xyaby = f (x)記分點(diǎn)為記分點(diǎn)為0 x1xiixx 11nxnx(2)在每個(gè)小區(qū)在每個(gè)小區(qū)xi-1 , x

6、i上任上任取一點(diǎn)取一點(diǎn) i12iniiixfA)(小曲邊梯形面積小曲邊梯形面積長(zhǎng)度長(zhǎng)度(3) 曲邊梯形面積曲邊梯形面積niiinnxfxfxfxfA12211)()()()(將將a, b分得越細(xì)分得越細(xì), 近似公式越精確近似公式越精確.于是于是:niiixfA10)(lim1max,(4)0ii nx 令 思路思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值程求得路程的精確值實(shí)例實(shí)例2

7、 2. 變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程.設(shè)某物體作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng). 已知速度已知速度V = V(t)是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔T1, T2上上 t 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù). 計(jì)算在這段時(shí)間計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程 S.(1) 區(qū)間分劃區(qū)間分劃在在T1, T2內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)212101TtttttTnn將將T1, T2分成分成 n 個(gè)小段個(gè)小段t0, t1 , t1, t2 , , tn-1, tn 1 iiittt每每小小段段時(shí)時(shí)間間長(zhǎng)長(zhǎng)(2)求近似求近似:在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間ti-1, ti 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) i由

8、時(shí)刻由時(shí)刻ti-1 到時(shí)刻到時(shí)刻 ti 走過(guò)的路程為走過(guò)的路程為 Si iiitVS)(3)作和作和:總路程總路程niiinntVtVtVtVS12211)()()()(將時(shí)間間隔將時(shí)間間隔ti-1, ti 分得越細(xì)分得越細(xì), 近似公式越精確近似公式越精確.于是于是:01lim()niiiSVt1(4)max,0ii nx 令上述兩個(gè)問(wèn)題上述兩個(gè)問(wèn)題,盡管背景不同盡管背景不同,意義不同意義不同,但其實(shí)質(zhì)但其實(shí)質(zhì)都是都是計(jì)算一種和式的極限計(jì)算一種和式的極限,事實(shí)上事實(shí)上,就是求給就是求給定函數(shù)的定積分定函數(shù)的定積分.總之總之:二、定積分定義二、定積分定義1. 定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在

9、在a, b上有界上有界, 將將a, b任意分成任意分成 n個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間, 分點(diǎn)為分點(diǎn)為bxxxxxann1210在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi-1, xi 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) i, i xi-1, xi , 01lim(),niiifx如如果果極極限限存存在在11(,max)iiiiinxxxx 其其中中函數(shù)函數(shù) f (x)在a, b上的上的定積分定積分.記成記成niiibaxfdxxf10)(lim)(則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) f (x)在在a,b上上可積可積, 這個(gè)極限值就稱(chēng)為這個(gè)極限值就稱(chēng)為被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分

10、下限積分和積分和 ( )d( )( )d .bbbaaaf xxf t dtf uu(1) 定積分定積分 是積分和式的極限，是一個(gè)數(shù)值是積分和式的極限，是一個(gè)數(shù)值，xxfbad )(注意：注意：(2) 注意在定積分的定義中的兩個(gè)任意性，函數(shù)可積注意在定積分的定義中的兩個(gè)任意性，函數(shù)可積即意味著極限值與對(duì)區(qū)間的分割方式及在區(qū)間即意味著極限值與對(duì)區(qū)間的分割方式及在區(qū)間 1,iix x上點(diǎn) i的取法無(wú)關(guān)的取法無(wú)關(guān)； 定積分值只與被積函數(shù)定積分值只與被積函數(shù) f (x)及積分區(qū)間及積分區(qū)間a,b有關(guān)，有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)而與積分變量的記法無(wú)關(guān).即有即有定理定理1 1定理定理2 2( ) , ,

11、( ) , .f xa bf xa b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) 則則在在上上可可積積( ) , ,( ) , .f xa bf xa b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上有有界界 且且只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 則則在在上上可可積積定理定理3 3( ) , ,( ) , .f xa bf xa b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上單單調(diào)調(diào)有有界界 則則在在上上可可積積問(wèn)題問(wèn)題: :( ) , ?f xa b滿(mǎn)滿(mǎn)足足什什么么條條件件時(shí)時(shí), ,函函數(shù)數(shù)在在上上可可積積三、積分存在定理（可積的充分條件）三、積分存在定理（可積的充分條件）boxya(1) 若當(dāng)若當(dāng) x a, b時(shí)時(shí),

12、 Adxxfba曲邊梯形面積)(Ay=f (x)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f (x) 0四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義(2) 若當(dāng)若當(dāng)x a, b時(shí)時(shí), 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)Adxxfba)(oxyaby=f (x)Af (x) 0, oxy 一般，曲邊梯形的面積一般，曲邊梯形的面積 |( )|baf xdx；而而 ( )baf x dx的幾何意義則是曲邊梯形面積的代數(shù)和的幾何意義則是曲邊梯形面積的代數(shù)和。abA1A2A3A4( )yf x(3) 若當(dāng)若當(dāng)x a, b時(shí)時(shí), 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f (x) 既取得正值既取得正值, 又取得又取得負(fù)值時(shí)負(fù)值時(shí)1234( )baf x dxAAAA 其中Ai

13、表示第部分圖形的面積.22aaax dx例例1 由定積分的幾何意義可得：由定積分的幾何意義可得： 0axdx sin xdx xyOyxa212a121x dx120 x dxxyO22aaax dx例例1 由定積分的幾何意義，指出下列積分的值。由定積分的幾何意義，指出下列積分的值。 0axdx sin xdx121x dx120 x dx 22yaxa212a212a-axyO22aaax dx例例1 由定積分的幾何意義可得：由定積分的幾何意義可得： 0axdx sin xdx sinyx 212a 0212a121x dx120 x dxxOy22aaax dx例例1 由定積分的幾何意義可

14、得：由定積分的幾何意義可得： 0axdx sin xdx121x dx120 x dx 212a0212a1122yx0 xy=x2yn1n2nn 11解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)閥=x2 在在0, 1上連續(xù)上連續(xù), 定積分存在定積分存在,將區(qū)間將區(qū)間0, 1等分成等分成 n等份等份, 11210nnnn), 2, 1( ,1nininxii取分點(diǎn)為分點(diǎn)為例例2120 x dx利利用用定定義義計(jì)計(jì)算算定定積積分分于是于是iniixfdxx 10102)(limninnni121)(limninin1231lim) 12)(1(611lim3nnnnn3) 12)(1(lim61nnnnn311iixn

15、in 例3. 用定積分表示下列極限用定積分表示下列極限:1111( ) limnniinn1122( ) limppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd11001( )lim()nbiiaif x dxfx 1()iif121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix01( )lim()nbiiaif x dxfx ()()piif例例4 將和式極限將和式極限12(1)limsinsinsinnnnnnn表示成定積分表示成定積分.解解： 原式原式12(1)limsinsinsinsinnnnnnnnn11limsinn

16、niinn11limsinnniinn01sin.xdxix i ()siniif第二部分第二部分 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)， abbadxxfdxxf)()(. （3）定積分與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，而與）定積分與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，而與 積分積分 變量無(wú)關(guān)。即變量無(wú)關(guān)。即( )( )( ).aaabbbxxtfdfdftuud性質(zhì)性質(zhì)1:1: 設(shè)設(shè) f (x)、g(x)在在a, b上可積上可積, 則則 f (x) g(x)bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(在在

17、a, b可積可積, 且且證證: :( )( )baf xg x dx0011lim()lim()nniiiiiifxgx01lim ()()niiiifgx( )( )bbaaf x dxg x dx推論推論 有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的積有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的積12d ( )( )( )bnaf xfxfxx定分的代數(shù)和，即定分的代數(shù)和，即12ddd( )( )( ).bbbnaaaf xxfxxfxx性質(zhì)性質(zhì)1可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形性質(zhì)性質(zhì)2:2: 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上可積上可積, 則則k f (x)在在a, b可積可積,

18、且且 ( )( )()bbaakf x dxkf x dxk為為常常數(shù)數(shù)證證: :01( )lim()nbiiaikf x dxkfx 01lim()niiikfx ( )bakf x dx性質(zhì)性質(zhì)3 3: 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上可積上可積, a c b, 則則f (x)分別分別( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx此時(shí)此時(shí), c 稱(chēng)為內(nèi)分點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)分點(diǎn).在在a, c, c, b上可積上可積, 且且xyO( )yf xbac性質(zhì)性質(zhì)3表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性可加性，這個(gè)性質(zhì)可，這個(gè)性質(zhì)可用于求分段函數(shù)的定積分。用于求分段函數(shù)的定積分

19、。推論推論: 設(shè)設(shè)f (x)在在a, c上可積上可積, a b c, 則則:( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx此時(shí)此時(shí), c 稱(chēng)為稱(chēng)為a, b的外分點(diǎn)的外分點(diǎn).或或 f (x)在在c, b 上可積上可積, c a b, 總之總之：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 性質(zhì)性質(zhì)3總成立總成立.cba,性質(zhì)性質(zhì)4:4: 設(shè)在設(shè)在a, b上上, f (x) 1. 則則1bbaadxdxba性質(zhì)性質(zhì)5:5: 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上可積上可積, 且且 f (x) 0. 則則0( )baf x dx 推論推論1:1: 如果在如果在a, b上可積上可積, 且且 f

20、 (x) g(x). 則則( )( )bbaaf x dxg x dx例例5 在下列兩個(gè)定積分之間添加適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)在下列兩個(gè)定積分之間添加適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)221x dx21xdx 21xe dx221xe dx（2）（1）例例6比較積分的大?。罕容^積分的大小： 10,xdx10ln(1)x dx解解：設(shè)設(shè) ln 1,f xxx 0,1x f x111 x1xx0表明表明， f x單調(diào)增加，且單調(diào)增加，且 00f從而從而 0f x 即即 ln 1xx證得證得 11001ln()xdxx dx(0,1)x 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小. 解：解： 顯然顯然,xex 0

21、, 2 xdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 練習(xí)練習(xí)推論推論2:2: babadxxfdxxf| )(|)(證證: :| )(| )(| )(| xfxfxfbababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(| babadxxfdxxf| )(|)(即即:性質(zhì)性質(zhì)6:6: 設(shè)設(shè)M 和和m分別是分別是 f (x)在在a, b上的最大值上的最大值()( )()bam baf x dxM ba證證: : ( )mf xM ( )bbbaaamdxf x dxMdx()( )()bam baf x dxM ba即即:及最小值及最小值, 則則（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值

22、的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）()ab例如例如: 41 12( ),f xxx對(duì)對(duì)1116( )f x1412x dx141211: 322x dx即即11(1)21 16 得得1(1)2解解31( ),3inf xsx0,x30sin1,x3111,43sin3x3013sindxx301.43sin3dxx01,3dx014dx例例73013.sindxx估估計(jì)計(jì)積積分分值值的的大大小小 解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 例例824sin.xdxx估估計(jì)計(jì)積積分分的的值值42( ),f x從從而而，在在

23、單單調(diào)調(diào)下下降降42,xx故故最最大大值值點(diǎn)點(diǎn)為為最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)于于是是，,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx 估計(jì)積分估計(jì)積分dxxx 24sin的值的值. 例例9 9 證明證明 證證224133xedxe22( )xfxxe224133xedxe設(shè)設(shè)2( )xf xe令令0( ),fx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) x=0，又，又01( )Mf ，11()fe，42( ),fe001( )fe ，最小值為最小值為-4me即即241,xee12()x 211dx241e dx221xedx( )f x 在在-1,2-1,2上上的的最最

24、大大值值為為性質(zhì)性質(zhì)7:7: (定積分中值定理定積分中值定理) 設(shè)設(shè) f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 則則 ( )( )()baf x dxfba 證證: 由于由于 f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 所以所以 f (x)在在a, b上存在上存在最大值最大值M, 最小值最小值m,得得)()()(abMdxxfabmbaMabdxxfmba)()( 所以由介值定理由介值定理 a , b. 使使 )()()(fabdxxfba即即:( )( )()baf x dxfba ()ab 在在a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn) , 使得使得性質(zhì)性質(zhì)7 7 的幾何意義的幾何意義： . )(的矩

25、形的面積的矩形的面積為f,為底邊，以曲線(xiàn)為底邊，以曲線(xiàn)，使得以，使得以上至少有一上至少有一在在baba)(的面積等于同一底邊的面積等于同一底邊而高而高為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形xfy xyoab )( f解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx2)(3sin)(3sinfdttfttxxx2)(3sinlim)(3sinlim2f)(3lim2 f . 6 例例10),2(xx213( ),lim( ),limsin( ) .xxxxf xf xtf t dtt設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且求求 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，我們稱(chēng)上連

26、續(xù)，我們稱(chēng) 為函數(shù)為函數(shù)f(x)在在a,b上的平均值上的平均值.1d( )baf xxba 如已知某地某時(shí)自如已知某地某時(shí)自0至至24時(shí)天氣溫度曲線(xiàn)為時(shí)天氣溫度曲線(xiàn)為 f(t), t為時(shí)間，則為時(shí)間，則 表示該地、該日的平均氣溫表示該地、該日的平均氣溫.240d)(241ttf 如已知某河流在某處截面上各點(diǎn)的水深為如已知某河流在某處截面上各點(diǎn)的水深為h(x), (a為河流在該截面處水面之寬度為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流，則該河流 在該截面處的平均水深為在該截面處的平均水深為 .ax 0axxha0d)(1小結(jié)小結(jié)定積分的實(shí)質(zhì)定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方

27、法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似求近似以直（不變）代曲（變）以直（不變）代曲（變）取極限取極限3定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4典型問(wèn)題典型問(wèn)題（）估計(jì)積分值；（）估計(jì)積分值；（）不計(jì)算定積分比較積分大?。ǎ┎挥?jì)算定積分比較積分大小10( )(1)( )f xxf t dtx練習(xí)練習(xí) 求連續(xù)函數(shù)求連續(xù)函數(shù),使它滿(mǎn)足使它滿(mǎn)足( )f x解：等式等式10( )(1)( )f xxf t dtx兩邊在兩邊在0，1上積分得上積分得10( )f x dx11

28、00(1)( )xf t dt dx10 xdx10( )f x dx10(1)xdx10 xdx10( )f t dt10( )f x dx10( )f x dx0 xy111100001( )( )()f x dxf x dxxdxxdx1110112()xdx 所所以以11100012( )( )()f x dxf x dxxdx0 xy1111100001( )( )()f x dxf x dxxdxxdx1012xdx 所所以以11001122( )( )()f x dxf x dx即即101( )f x dx 代代入入101( )()( )f xxf t dtx得得( )f xx觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩