隨機變量及其分布學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1隨機變量隨機變量(su j bin lin)及其分布及其分布第一頁，共67頁。2 從概率的定義我們知道，概率是自變量為集合從概率的定義我們知道，概率是自變量為集合的特殊函數(shù)；為了能用變量、函數(shù)及微積分等工具的特殊函數(shù)；為了能用變量、函數(shù)及微積分等工具來研究事件來研究事件(shjin)發(fā)生的概率，需要引入概率論中發(fā)生的概率，需要引入概率論中的重要概念的重要概念隨機變量。隨機變量。 2.1 隨機變量隨機變量(su j bin lin)第1頁/共67頁第二頁，共67頁。3定義：設(shè)定義：設(shè)E是一個隨機是一個隨機(su j)試驗，試驗，是其樣本空間，是其樣本空間，如果對每一個如果對每一個 ，有唯

2、一的實數(shù)，有唯一的實數(shù)X()與與之對應(yīng)，則稱之對應(yīng)，則稱X是是E的一個隨機的一個隨機(su j)變量。變量。3引進(jìn)隨機變量引進(jìn)隨機變量(su j bin lin)后，隨機事件可后，隨機事件可以用隨機變量以用隨機變量(su j bin lin)在實數(shù)軸上某一在實數(shù)軸上某一個集合中的取值來表示。個集合中的取值來表示。所以，研究隨機事件的概率就轉(zhuǎn)化為研究隨機變量所以，研究隨機事件的概率就轉(zhuǎn)化為研究隨機變量取值的概率。取值的概率。|( )AXI即：事件第2頁/共67頁第三頁，共67頁。4012則， ， ，例例2.觀察某網(wǎng)站在一段時間內(nèi)被點擊觀察某網(wǎng)站在一段時間內(nèi)被點擊(din j)次次數(shù)。數(shù)。例例3.

3、觀察觀察(gunch)燈泡的使用燈泡的使用壽命壽命t.|0t t則例例1.從含有從含有2個黑球個黑球(hi qi)，3個白球的盒子中個白球的盒子中任取任取3個球，觀察取出球的情況。個球，觀察取出球的情況。若令若令X表示取出的表示取出的3個球中黑球的個數(shù)個球中黑球的個數(shù)012 則， ，第3頁/共67頁第四頁，共67頁。5 2.2 隨機變量的分布隨機變量的分布(fnb)函數(shù)函數(shù) 對于隨機試驗而言，僅僅對于隨機試驗而言，僅僅(jnjn)知道可能出現(xiàn)知道可能出現(xiàn)的隨機事件并不重要，重要的是這些事件出現(xiàn)的可的隨機事件并不重要，重要的是這些事件出現(xiàn)的可能性有多大。能性有多大。 對于隨機變量對于隨機變量X來

4、說，就是來說，就是X取什么值不重要，取什么值不重要，重要的是重要的是X取這些值的概率有多大。取這些值的概率有多大。 第4頁/共67頁第五頁，共67頁。6Rx（1）分布函數(shù)的定義域為一切實數(shù)；）分布函數(shù)的定義域為一切實數(shù)；（2）分布函數(shù)在）分布函數(shù)在x處的取值表示的處的取值表示的是是隨機變量隨機變量X在在 上的概率。上的概率。,(x定義：定義：設(shè)設(shè)X是一個隨機變量，是一個隨機變量， 是一個實是一個實數(shù)，函數(shù)數(shù)，函數(shù) 就稱為隨機變量就稱為隨機變量X的概率累積分布函數(shù)的概率累積分布函數(shù)(cdf: cumulative distribution function)，簡稱分布函數(shù)。，簡稱分布函數(shù)。( )

5、()F xP Xx第5頁/共67頁第六頁，共67頁。7分布分布(fnb)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)增，即若）單調(diào)增，即若 ，則有，則有)()(21xFxF21xx （2）1)(0 xF且且1)(, 0)(FF（3）右連續(xù)，即）右連續(xù)，即)()0(xFxF具有上述具有上述3條性質(zhì)的函數(shù)條性質(zhì)的函數(shù) 一定是某個隨一定是某個隨機變量的分布函數(shù)機變量的分布函數(shù) 。)(xF第6頁/共67頁第七頁，共67頁。80,01,013( )1,1221,2xxF xxx例例1、判斷以下、判斷以下(yxi)函數(shù)是否為分布函數(shù)：函數(shù)是否為分布函數(shù)：第7頁/共67頁第八頁，共67頁。9 關(guān)于分布函數(shù)還有一些常用

6、關(guān)于分布函數(shù)還有一些常用(chn yn)公式：公式： （1）()( )( )P aXbF bF a)()(bFbXP（2）)(1)(bFbXP（3）)0()(bFbXP（4）第8頁/共67頁第九頁，共67頁。102.3 離散離散(lsn)型隨機變型隨機變量量離散離散(lsn)型隨機變量：型隨機變量： 如果隨機變量的取值個數(shù)有限，或者可數(shù)，如果隨機變量的取值個數(shù)有限，或者可數(shù)，則其取值能按一定的次序一一列舉出來，這樣則其取值能按一定的次序一一列舉出來，這樣的隨機變量稱為離散的隨機變量稱為離散(lsn)型隨機變量。型隨機變量。第9頁/共67頁第十頁，共67頁。11定義：定義：如果離散型隨機變量如果

7、離散型隨機變量X的一切可能取值的一切可能取值為為 ，則稱，則稱P(X=xk)pk為隨機為隨機變量變量X的分布律的分布律(列列),也稱概率質(zhì)量函數(shù)也稱概率質(zhì)量函數(shù)pmf: probability mass function。), 2, 1( ,kxk分布律常常用表格的形式表示：分布律常常用表格的形式表示：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 2.3.1離散離散(lsn)型隨機變量的分布列型隨機變量的分布列第10頁/共67頁第十一頁，共67頁。12分布分布(fnb)律的性質(zhì)律的性質(zhì) ：反之，若數(shù)列反之，若數(shù)列 滿足這兩條性質(zhì)，滿足這兩條性質(zhì)，則一定是某一離散型隨機變量的分布律。則一定是某一離

8、散型隨機變量的分布律。 kp（1）0kp（2）1kkp第11頁/共67頁第十二頁，共67頁。13例例1.設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的分布列為的分布列為 (), 0 1 3kknnaP XkCkn, ,求正數(shù)求正數(shù) a 的值。的值。例例2. 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的分布列的分布列(),1,2,!kpP XkCkk10 p其中，其中， 為已知，求常數(shù)為已知，求常數(shù)C。第12頁/共67頁第十三頁，共67頁。14離散型隨機變量離散型隨機變量X的的分布函數(shù)為分布函數(shù)為 ( )()kkxxF xP Xxp例例3. 求隨機變量求隨機變量(su j bin lin)X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)

9、。 X的分布列為的分布列為 X 0 1 2 3111141226kp第13頁/共67頁第十四頁，共67頁。15定義：把試驗定義：把試驗E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行(jnxng)n次，各次試驗的結(jié)果有限且互不影次，各次試驗的結(jié)果有限且互不影響，則稱這響，則稱這n次試驗為次試驗為n次獨立試驗。次獨立試驗。 如 果 試 驗 只 有如 果 試 驗 只 有 ( z h y u ) 兩 個 結(jié) 果兩 個 結(jié) 果（ ），則稱為貝努里試驗。），則稱為貝努里試驗。n次獨立次獨立(dl)的貝努里試驗又稱為的貝努里試驗又稱為n重貝努里試重貝努里試驗。驗。:AA成功，失敗第14頁/共67頁第十五頁，

10、共67頁。16 2.3.2 常見常見(chn jin)的離散型隨機變的離散型隨機變量量 （1）(0-1)分布分布(fnb)(兩點分布兩點分布(fnb)(two-point distribution)1()(1),0,1xxP Xxppx 其中其中 ，則稱，則稱 X 服從（服從（0-1）分布。）分布。 10 p（0-1）分布(fnb)的隨機變量X對應(yīng)貝努里試驗里成功（A事件）的次數(shù)。P(A)=p 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X只可能取只可能取0和和1兩個數(shù)值，它的分兩個數(shù)值，它的分布律為布律為 第15頁/共67頁第十六頁，共67頁。17（2）二項分布）二項分布(Binomial distribution

11、)若隨機變量若隨機變量X的分布律為的分布律為 其中其中 ，則稱，則稱X服從參數(shù)服從參數(shù)(cnsh)為為n,p的二項分布，的二項分布，記為記為 ，當(dāng)，當(dāng) 時，就是時，就是(0-1)分布。分布。()(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn10 p1n ( , )XB n p 二項分布隨機變量(su j bin lin)X對應(yīng)n重貝努里試驗中成功的次數(shù)。P(A)=p第16頁/共67頁第十七頁，共67頁。18定理：設(shè)定理：設(shè)X是是n重貝努里試驗中成功（重貝努里試驗中成功（A發(fā)生）發(fā)生） 的次數(shù)的次數(shù)(csh)，則，則XB(n,p)，其中，其中p=P(A),0,1,2),(1),(kkn k

12、nP XkC ppkn即第17頁/共67頁第十八頁，共67頁。19定理定理(dngl)：設(shè)：設(shè)XB(n, p)，m=(n+1)p,則則,-1,m mmNkmmN當(dāng) 當(dāng)設(shè)設(shè)k為事件為事件A最可能成功最可能成功(chnggng)的次數(shù)的次數(shù)，稱，稱P(X=k)為二項分布的中心項。為二項分布的中心項。第18頁/共67頁第十九頁，共67頁。200lim,lim(1)!nnkkknknnnnnnpkCppek 設(shè)是一常數(shù)， 是任意正整數(shù)，設(shè)，則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)有泊松定理泊松定理(dngl)lim(1)11lim1!11lim1!kkn knnnnkn knn kkknkC ppn nnkknnn

13、nnkknnek 可用泊松分布近似計算二項分布的概率，通常要求05.0,20pn第19頁/共67頁第二十頁，共67頁。21例例4.把把3個球任意個球任意(rny)地放到地放到4個盒子中，令個盒子中，令X表表示示 落到第落到第 1個盒中球的個數(shù)，求個盒中球的個數(shù)，求X的分布列。的分布列。 第20頁/共67頁第二十一頁，共67頁。例例5. 5. 甲乙兩種名酒各甲乙兩種名酒各4 4杯，從中任取杯，從中任取4 4杯，若取杯，若取 出的都是甲種酒稱試驗成功（出的都是甲種酒稱試驗成功（A A），），求：求：1.1.試驗一次獲得成功的概率；試驗一次獲得成功的概率； 2. 2.某人稱能區(qū)分這兩種酒，讓他做了某

14、人稱能區(qū)分這兩種酒，讓他做了1010次次 試驗，結(jié)果成功了試驗，結(jié)果成功了3 3次，試判斷此人是否次，試判斷此人是否 真的真的(zhn de)(zhn de)有區(qū)分這兩種酒的能力。有區(qū)分這兩種酒的能力。第21頁/共67頁第二十二頁，共67頁。23（3）泊松分布）泊松分布(fnb)（Poisson distribution）設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X可能取的值為一切非負(fù)整數(shù)，而取可能取的值為一切非負(fù)整數(shù)，而取值值k的概率為的概率為 ，其中，其中是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布(fnb)，記為記為 XP( )。(),0,1,2,!kP Xkekk0設(shè)設(shè)k為最可能成功的

15、次數(shù)為最可能成功的次數(shù)(csh)，則則稱稱P(X=k)為泊松分布的中心項。為泊松分布的中心項。1 , ,ZkZ 第22頁/共67頁第二十三頁，共67頁。第23頁/共67頁第二十四頁，共67頁。tn在長度為t的時間段內(nèi)，事件(shjin)發(fā)生的次數(shù)XP( ) 。t則在單位時間段內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)XP( ) 。第24頁/共67頁第二十五頁，共67頁。260lim,lim(1)!nnkkknknnnnnnpkCppek 設(shè)是一常數(shù)， 是任意正整數(shù)，設(shè)，則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)有泊松定理泊松定理(dngl)結(jié)論：1.泊松分布可以看做二項分布當(dāng)n很大，p很小時的極限分布, ；2.可用泊松分布近似計算二項

16、分布的概率，通常要求05. 0,20pnnp第25頁/共67頁第二十六頁，共67頁。（4）超幾何分布（）超幾何分布（Hypergeometric distribution） 若若X的分布律為的分布律為nNknMNkMCCCkXP )(,012min ,kn M, ,(, )XH N M n記為實例(shl)：不放回摸球問題注：當(dāng)N很大，n很小時(xiosh)，不放回摸球問題可近似當(dāng)成有放回摸球問題處理，令p=M/N,1kn kn kkkMN MnnNC CC ppC第26頁/共67頁第二十七頁，共67頁。28（5）幾何）幾何(j h)分布（分布（Geometric distribution）定

17、義：若隨機變量定義：若隨機變量X的分布律為的分布律為1)(kpqkXP123k , , ，則稱，則稱X服從幾何分布。服從幾何分布。X含義：含義： 貝努里試驗中首次貝努里試驗中首次(shu c)成功事件出現(xiàn)成功事件出現(xiàn)所要進(jìn)行試驗的次數(shù)。所要進(jìn)行試驗的次數(shù)。( )XG p記為第27頁/共67頁第二十八頁，共67頁。29例例1。一射手對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊。一射手對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊(shj)，每一次，每一次 擊中的概率為擊中的概率為0.8（1） 求一次射擊求一次射擊(shj)的分布列；的分布列；（2） 求到擊中目標(biāo)為止所需的射擊求到擊中目標(biāo)為止所需的射擊(shj)次數(shù)的次數(shù)的 分布列。分布列。第28頁

18、/共67頁第二十九頁，共67頁。30（6）負(fù)二項分布）負(fù)二項分布(fnb)（帕斯卡分布（帕斯卡分布(fnb)） (negative binomial/Pascal distribution)11()(1),1,rrk rkXP XkCppkr rX 定義：若 的分布律為其中，則 服從負(fù)二項分布。特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)r=1時即為幾何時即為幾何(j h)分布。分布。X含義：含義： 貝努里試驗中第貝努里試驗中第r次成功事件出現(xiàn)次成功事件出現(xiàn)(chxin)所要進(jìn)行試驗的次數(shù)。所要進(jìn)行試驗的次數(shù)。( , )XNB r p記為第29頁/共67頁第三十頁，共67頁。312.4.1 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變

19、量(su j bin lin)的概念的概念 如果隨機變量的取值能充滿如果隨機變量的取值能充滿(chngmn)實數(shù)軸實數(shù)軸上的某個上的某個區(qū)間，甚至于整個實數(shù)軸。這樣的隨機變量區(qū)間，甚至于整個實數(shù)軸。這樣的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量。稱為連續(xù)型隨機變量。 2-4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)第30頁/共67頁第三十一頁，共67頁。32定義：定義：設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 。若。若存在非負(fù)可積函數(shù)存在非負(fù)可積函數(shù) ，使得對于任一實數(shù)，使得對于任一實數(shù) x 有有 則稱則稱 X 是連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)是連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù) 稱稱為為 X 的

20、概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)Probability Density Function，簡稱為概率密度，簡稱為概率密度pdf。)(xF)(xfxdttfxF)()()(xf第31頁/共67頁第三十二頁，共67頁。33概率密度的性質(zhì)：概率密度的性質(zhì)：（1）（2）Rxxf 0)(1)(dxxf反之，對于任何一個滿足這兩條性質(zhì)的函數(shù)反之，對于任何一個滿足這兩條性質(zhì)的函數(shù)(hnsh) 則由定義的則由定義的 也一定是某個連續(xù)型隨機變量的也一定是某個連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)(hnsh)。)(xf)(xF)()(xfxF（4）若若 在在x處連續(xù)，則處連續(xù)，則)(xf（3） 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xF第

21、32頁/共67頁第三十三頁，共67頁。34 對連續(xù)型隨機變量對連續(xù)型隨機變量X而言，概率為而言，概率為0的事件的事件未必未必(wib)是不可能事件；概率為是不可能事件；概率為1的事件也的事件也未必未必(wib)是必然事件。是必然事件。 （5）連續(xù)型隨機變量）連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)X在在一個點上取值的概率恒為一個點上取值的概率恒為0。()( )( , )IP XIf x dxIa b其中或者(a,b或者a,b)或者（6）a,b第33頁/共67頁第三十四頁，共67頁。35例例1.設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布的分布(fnb)函數(shù)為函數(shù)為 111000)(2xxAxxx

22、F求常數(shù)求常數(shù)(chngsh)A及其概及其概率密度函數(shù)率密度函數(shù) 。 )(xf例例2. 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)X的的概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為 , x 3.12所以至少要進(jìn)行所以至少要進(jìn)行 4 4 次獨立次獨立(dl)(dl)測量才能滿足要求測量才能滿足要求. .第53頁/共67頁第五十四頁，共67頁。552-5 隨機變量函數(shù)隨機變量函數(shù)(hnsh)的分布的分布已知隨機變量已知隨機變量 X 的分布的分布(fnb)， 是連續(xù)函是連續(xù)函數(shù)，數(shù)，求求 的分布的分布(fnb)律、分布律、分布(fnb)函函數(shù)或密度函數(shù)。數(shù)或密度函數(shù)。)(xg)(XgY 第54頁/

23、共67頁第五十五頁，共67頁。56則則 的分布的分布(fnb)列為：列為：)(XgY g(x1) g(x2) g(xk ) P p1 p2 pk )(XgY 1. X 是離散是離散(lsn)型隨機變型隨機變量：量：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 必要必要(byo)時合并時合并Y取值相同的取值相同的項！項！第55頁/共67頁第五十六頁，共67頁。57例例1：設(shè)隨機變量：設(shè)隨機變量(su j bin lin) X 的分布列為：的分布列為： X 2 1 0 1 3013516151kp求求 的分布的分布(fnb)列。列。22 XY第56頁/共67頁第五十七頁，共67頁。582. X 是連

24、續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)：已知已知 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 或分布或分布(fnb)函函數(shù)數(shù) ,求隨機變量求隨機變量 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) 或或概率分布概率分布(fnb)函數(shù)函數(shù) 。)(xfX)(XgY ( )Yfx( )XFx( )YFx第57頁/共67頁第五十八頁，共67頁。592. X 是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)：)()()(yXgPyYPyFYxdxxfyxgX,)()(1)(1)分布分布(fnb)(fnb)函數(shù)法函數(shù)法 1)YYFy先求 的分布函數(shù) 2)YYFyfy對求導(dǎo)得到密度函數(shù)關(guān)鍵的一步是設(shè)法關(guān)鍵的一

25、步是設(shè)法從從 g(X) y 中解出中解出X，從而得到與，從而得到與g(X) y 等價的等價的X的有效密度范圍的有效密度范圍xXI第58頁/共67頁第五十九頁，共67頁。60例例2.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(su j bin lin) X 的概率密度為的概率密度為1,0()0,xfx其 它XYsin，求，求 的的 分布分布(fnb)函數(shù)與概率函數(shù)與概率 密度函數(shù)。密度函數(shù)。()sin()0,1,0(), ( )=01()0, ( )=1.XYXYYg XXyg XyIF yyg XyIF y 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 01 0, arcsinarcsin , ( )(sin() (0arcsin+ (arcsin)2arcsin XYyIyyF yP YXyPXyPyXy當(dāng) 時，）第59頁/共67頁第六十頁，共67頁。0,02arcsin( ),0111YyyF yyy 22,( )10,1100YYdfyF yydyyyy或第60頁/共67頁第六十一頁，共67頁。(2)(2)公式公式(gngsh)(gngsh)法法 ( )( ) ,( )0,XyYfh yh yyIfy其它其中其中(qzhng)，2)