橢圓與雙曲線的許多美妙配對性質(zhì)大放送

1、2013年高考數(shù)學(xué)專題橢圓與雙曲線的許多美妙配對性質(zhì)大放送(經(jīng)典結(jié)論)高三數(shù)學(xué)備課組點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1 F2在點(diǎn)P處的外角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線長軸的兩個端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相離.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓X2 若P°(x0,y0)在橢圓a2x 若P°(x0,y0)在橢圓a河 1眉1.線方程是2X橢圓一2aX°X-2a2y_b2PT上的射影H內(nèi)切.點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去2每 1上，則過P。的橢圓的切線方程是 b2告 1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為bX°X2_

2、aP1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直1 (a> b> 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)的焦點(diǎn)角形的面積為 SF1PF2b2 tan22 2x y、橢圓一22 1 (a>b>0)的焦半徑公式：a bIMF, a ex0,| MF21 a egF, c,0) , F2(c,0) M(x°,y0).設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.過橢圓一個焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn),A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.22

3、x ya2 b2b2 X0-2 。a y。AB是橢圓即Kab若Po(xo, yo)在橢圓F1PF2，則橢圓AP和AQ分別交相A1P和A2Q交于點(diǎn)M ,1的不平行于對稱軸的弦，M(x°,y°)為AB的中點(diǎn)，則kOM2x_2b 1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是X0Xy°y2ab22x2a2 y0 b21.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.若xPo(xo,yo)在橢圓ab 1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2yb2x°xyoya2b21.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.雙曲線點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處

4、的內(nèi)角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓, 除去長軸的兩個端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.2x若Po(xo,y。)在雙曲線 a2x 若Po( x0, y0)在雙曲線一2a2 y b22 y以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)1(a> 0,b > 0)上，則過Po的雙曲線的切線方程是竽智 1.a b1 (a> 0,b> 0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 竽，里 1.a b2 2雙曲線一2(a>0,

5、b>0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1,F 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)FFF2a b則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S FPF2 b2cot?.22雙曲線1 (a> 0,b > 0)的焦半徑公式：(F, c,0) , F2(c,0)a b當(dāng) M(Xo,y°)在右支上時，IMFj exo a ,| MF2 |a .當(dāng) M(Xo,y°)在左支上時，IMF1I exo a , | MF2 | exo a設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.過雙曲線一個焦點(diǎn) F

6、的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)， A1P和A2Q交于點(diǎn)M , A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.2 2m (xo, yo)為AB的中點(diǎn)，則x yAB是雙曲線 21 (a> 0,b>0)的不平行于對稱軸的弦，a bKoM K ABb2Xoa2yob2Xoa2yo即Kab若Po(xo, yo)在雙曲線1 ( a > 0,b > 0 )內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是x°x y°ya2b2xo2yob213.若Po(x°, y°)在雙曲線y21 ( a > 0,b > 0)內(nèi)，則過

7、Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b2 y b2x°x2"ay°y橢圓與雙曲線的配對性質(zhì)(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)高三數(shù)學(xué)備課組1.2x 橢圓一2 a2y21 ( a> b> 0)的兩個頂點(diǎn)為b2A( a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于Pi、2 x P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 a2.2x過橢圓一2a2y2 1 (a > 0, b2b> 0)上任一點(diǎn)A(滄，y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C3.4.5.6.兩點(diǎn)，則直線若P為橢圓PF2F12x設(shè)橢圓飛aBC有定向且，則2y PF1F2 中，記22若橢圓*占

8、可在橢圓上求一點(diǎn)2xP為橢圓一2akac(常數(shù)).a y。(a> b> 0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，tan cot2 2PF1F21 (a> b > 0)的兩個焦點(diǎn)為 F1、F2,P (異于長軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在F1PF2PF1F2,F1F2P ，則有 一Sin一sin since.a1 ( a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).0 v ew、21 時，芯 1 ( a > b > 0 )上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則b2a

9、 IAF2I |PA| | PF1 | 2a | AR |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線時，等號成立7.2 2(x X0)(y y°)8.2a2 2B b2 x 已知橢圓飛 a1"2 2A a(Ax°2y9.12 2IOPI IOQI2 2 過橢圓At a b10.11.12.13.14.15.分線交x軸于2x已知橢圓aP,2 y_ b2交于點(diǎn)P(Xo,O)，則2x設(shè)P點(diǎn)是橢圓a則(1)| PF1 HPF2I是橢圓PBAtan tan2x已知橢圓一2a圓相交于A、b22By。 C).1與直線Ax By(a> b>0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、1-2(2)

10、|op2+|oq|2的最大值為b(a> b > 0)的右焦點(diǎn)I PF I eI MN |2(a>b>0)a2 b2Xo,A、C 0有公共點(diǎn)的充要條件是Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且 OP OQ . (1)彈；(3)Sopq的最小值是仝.a ba bF作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與 x軸相b22b2 1 (a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2,BPA S pf, f2cos 21 e .(3)b2 tan22y2 1 ( a> b> 0)的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn),

11、bS PABPAB分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)| PA |2a22ab I cos Ic2cos2.(2)2 a2b222 cotaa> b> 0)B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線,與切線垂直.的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)l上，且BC x軸，則直線與以長軸為直徑的圓相交，E，過橢圓右焦點(diǎn)AC經(jīng)過線段EFF的直線與橢的中點(diǎn).則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.e（離心率）.16. 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、

12、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17. 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)橢圓與雙曲線的配對性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組雙曲線1.2x雙曲線a2y21 (a> 0,b>0)的兩個頂點(diǎn)為b2A(a,0） ,A2（a,0），與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是2x2a21.2.22xy過雙曲線 21 (a> 0,b> o)上任一點(diǎn)abA（xo,yo）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲3.4.線于B,C兩點(diǎn)，則直線 BC有定向且 屆。若P為雙

13、曲線2 2xy2,2ab(a> 0,b> 0)PF1F2PF2F1c a，則c設(shè)雙曲線2 y b21 (a> 0,b> 0)意一點(diǎn)PF1F2中，記警（常數(shù)）.a y（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)tan co t 2的兩個焦點(diǎn)為F1、F1PF2,F1, F 2是焦點(diǎn)，(或 Ja tan cot ).c a 22F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任PF1F2F1F2Psin(sin sin )1 (a> 0,b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1 v ew6.7.8.2 1時，可在雙曲線上求一點(diǎn) P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的

14、比例中項(xiàng)2 2x yP為雙曲線 二 2 1 (a>0,b>0) 上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則a b雙曲線2a|PA| |PFi |，當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線且P和代F2在y軸同側(cè)時，等號成2x2aJ, 2B b21 b21C2.2y2(a > 0,b > 0)與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是2x已知雙曲線 a b1QF1 (b >a > 0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn),且 OP OQ .(1) |OP|2a2b2 .a2 21 2； (2) |OP2+|OQ|2 的最小值為 :a b2 ； (3)a bb

15、 aOPQ的最小值是b29.過雙曲線2X2a2 y b21 (a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦10.11.12.13.MN的垂直平分線交X軸于P,則Q| MN |軸相交于點(diǎn)P(x0,0),2x設(shè)P點(diǎn)是雙曲線2aF1PF2(a>0,b>0) ,A、X)2 y b2B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB2 ,2a b亠或x0a1 ( a> 0,b > 0)2b2a2 b2的垂直平分線與x上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1)|PF1|PF2| 匕. f22設(shè)A、B是雙曲線2基a2 b2,BPA22ab |cos |1( a> 0,b >0)的長軸兩端點(diǎn),PBA(1)|PA|tane分別是雙曲|a2tan2x已知雙曲線-ac2co s2|21 e .(3)S PAB222a b 丄 cot b ab2c%.P是雙曲線上的一點(diǎn)，PAB線的半焦距離心率，則有2七 1 (a>0,b>0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E，過雙曲線右焦點(diǎn)F的b直線與雙曲線相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線|上，且BC X軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn) .14. 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線， 與以