（整理版）高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之空間中的角和距離

1、高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之空間中的角和距離1解立幾題要有化平幾思想：所有求空間角與距離的問題最終都要轉(zhuǎn)化到平面上求解，有時還可以將要求的角或線段所在的平面別離出來，這樣清楚醒目，便于求解，不易出錯。qbcpadon圖1-12研究異面直線所成的角通常有兩種方法。通過平移使之成為一個平面角，然后解三角形求得；在空間直角坐標(biāo)系中利用向量的夾角公式。注意 異面直線所成角的范圍是：00，900， 如： cos <，>=-,那么異面直線 a, b所成的角為 arccos。舉例 如圖, 兩個正四棱錐的高分別為1和2, ，() 證明: ; () 求異面直線aq與pb所成的角;解析：()記ac、bd交于o，

2、連po、qo，那么po面abcd，qo面abcd，p、q、o共線，pq面abcd；()方法一：“平移：注意到ac、pq交于o，取oc的中點n，連結(jié)pn，bn，qbcpadon圖1-2xyz，故aqp. bp是異面直線aq與pb所成的角或其補角. 故異面直線aq與pb所成的角是方法二：“建系：由題設(shè)知，abcd是正方形，由i，平面，故可以分別以直線ca、db、qp為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖1-2，由題設(shè)，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是，,于是注：在“平移時常用到一些平面圖形的性質(zhì)，如：三角形的中位線、梯形中位線、平行四邊形、平行線分線段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。穩(wěn)固1異面直線 a, b所

3、成的角為600，那么過空間中一點p與a, b都成300的直線有幾條？與a, b都成500的直線有幾條？與a, b都成600的直線有幾條？與a, b都成700的直線有幾條？變形過大小為600的二面角外一點p作與它的兩個面都成600的直線有幾條？穩(wěn)固2 設(shè)m、n是直角梯形abcd兩腰的中點，deab于e(如圖)現(xiàn)將ade沿de折起，使二面角adeb為45°，此時點a在平面bcde內(nèi)的射影恰為點b，那么m、n的連線與ae所成角的大小等于_圖3-13直線與平面所成的角要“抓住直線在平面內(nèi)的射影，然后在直角三角形內(nèi)求得；直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意直線所成角的最小值。線面角的范圍：00

4、，900。舉例1 在如圖3-1所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點求與平面所成的角07高考浙江理16解析：方法一：“找射影。過m作mfed于f，連cf，由cmab，cmae得cm面abde，故cmed，ed面cmf，于是有面ced面cmf于cf，過m作mhcff于h，那么mh面ced，mch為與平面所成的角；設(shè)，在直角梯形中，是的中點，所以，得是直角三角形，其中，mf=在中，cm=mf， ，故與平面所成的角是注：“作垂面是求作點m在面內(nèi)的射影的最重要、最常用的方法，其過程是：過m點作平面于，那么m在面內(nèi)的射影m/。方法二：“建系。如圖，以點為坐標(biāo)原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直

5、線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，那么，設(shè)向量與平面垂直，那么，即n·=0 , n·=0,，得：，即，由向量夾角公式得：cos< n,>=,直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，故直線與平面所成的角是注：線與面的法向量所成的角與線面角互余；注意到線面角不為鈍角，故：ab與面所成的角為：arcsin為面的法向量。用法向量求線面角，以計算代替說理找射影，最大限度地實現(xiàn)了“去邏輯化，為疏于邏輯思維的同學(xué)求線面角提供了一條相對方便的路徑；但是，并非所有的空間形體都可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。bcadpnm圖3-3ebcadpnm圖3-2qbcadpnm圖3-1舉例2如圖3-1，在

6、四棱錐p-abcd中，底面為直角梯形,adbc,bad=90°,pa底面abcd，且paad=ab=2bc,m、n分別為pc、pb的中點. 求cd與平面admn所成的角。解析：確定c點在面admn上的射影q的位置很困難。方法一：“射影懸空。先不管q點的位置，cdq為cd與平面admn所成的角，入圖3-2；記bc=a,在rtcqd中，cd=a,只需求出cqc到面admn的距離即可，記為h；注意到，不難知道amd中ad邊上的高為an，an=a,=a2；=2a2，m到面acd的距離為a，h=a,故在rtcqd中，cdq= arcsin。注：射影“懸空求線面角的“革命性意義在于繞開了求線面角

7、中最困難的一步確定射影的位置，把問題化歸為求點到面的距離；而求點到面的距離可以通過“等積轉(zhuǎn)換實現(xiàn)，并不需要知道射影確實切位置。方法二：“平移線段。取ad中點e，連be，如圖3-3，易見：becd，cd與平面admn所成的角即be 與平面admn所成的角；不難證明：bnan，bnac，bn面admn，即點b在面admn上的射影為n，ben為be 與平面admn所成的角；記bc=a，bn=a，be=a，在rtbne中，ben=arcsin。此題也可以“建系求，略。穩(wěn)固1太陽光線斜照地面，地面上與太陽光線成600角的直線有_條？假設(shè)太陽光線與地面成60°角時，要使一根長2米的竹竿影子最長，

8、那么竹竿與地面所成的角為 。穩(wěn)固2 在三棱錐pabc中，abbc，abbc，pa=2bc，點o是ac的中點，op底面abc求直線pa與平面pbc所成角的大小4求二面角的方法很多，概括起來有兩類，一類是作平面角，一類是不作平面角。作平面角又有直接作和間接作兩種，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos=其中s表示平面內(nèi)的封閉圖形c的面積，s/表示c在平面內(nèi)的射影c/的面積，表示與所成的銳二面角的大小。二面角的范圍00，1800)。如cos=-，那么= arccos-=- arccos。abedcpfo舉例如圖在四棱錐p-abcd中，底面

9、abcd是直角梯形，adc=，abcd，pc面abcd，pc=ad=dc=ab，e為線段ab的中點。1求證：平面pac平面pde；2求二面角a-pe-d的大小。解析：1在直角梯形abcd中，容易知道四邊形aecf是正方形，deac，又depcde面pac，面pde面pac；2記pc=a，abedcpf方法一：用三垂線定理作二面角的平面角。記ac、de交于o，連po，po是相互垂直的平面pde和pac的交線，過a作po的垂線交po的延長線于f，那么af面pde，即f是a在面pde內(nèi)的射影，又容易證明ae面pec，那么aepe，于是fepe，aef是二面角a-pe-d的平面角；在pao中有面積相等

10、不難算出af=a，而ae=a，在rtafe中，aef=arcsin。注：用三垂線定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其過程概括為：找一垂找作一個面內(nèi)一點p在另一個面內(nèi)的射影p/，作二垂過p或p/作二面角棱l的垂線，垂足為q，連三垂連p/q，那么lp/q，于是pq p/為二面角的平面角；計算該角在直角三角形內(nèi)進行；在上述過程中，“找一垂是關(guān)鍵。方法二：射影“懸空作二面角的平面角注意到aepe，記點a在面pde內(nèi)的射影為f無須知道點f確實切位置，連ef，那么pefe，于是aef是二面角a-pe-d的平面角；以下問題化歸到求af的長度即a點到面pde的距離上。以下用“等積

11、轉(zhuǎn)換求af，計算略。abedcpmn方法三：利用平面圖形的有關(guān)性質(zhì)作二面角的平面角注意到dp=de=a，取pe的中點m，那么pedm，又容易知道aepe，取pa的中點n，連nm，那么nmae，pemn，于是nmd為二面角a-pe-d的平面角；以下在dmn中，用余弦定理求nmd，計算略。abedcpm方法四：用割補法求。視二面角a-pe-d為二面角a-pe-c與二面角d-pe-c的差。對二面角a-pe-c， ae面pec，面aep面pec，即二面角a-pe-c為；對二面角d-pe-c，點c是點d在面pec內(nèi)的射影，取be的中點m，cp=ce=a，pemc，于是有：pemd，那么dmc為二面角d-

12、pe-c的平面角，abedpxycz在rtdcm中，dmc=arctan,二面角a-pe-d的大小為- arctan。注：在求鈍二面角時“割補法往往很有效。方法五：用平面的“法向量求cpce, cpcd, cecd,故可以c為原點，、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。aa,a,0、d(a,0,0)、e(0,a,0)、p(0,0,a)，那么=(a,0,0),=(a,-a,0),=(0,-a,a)由此不難求出平面pae的法向量=0，1，1， 平面pae的法向量=1，1，1cabde那么有：cos<,>=,二面角a-pe-d的大小為arccos。注：用“法向量求二面角有一處嚴(yán)重的缺乏

13、：二面角兩個面的法向量的夾角未必等于二面角，也可能與二面角互補，這取決于法向量穩(wěn)固 如圖，在多面體abcde中，ae面abc，bdae，且ac=ab=bc=bd=2，ae=1，求面cde與面cab所成的銳二面角 5求點到面的距離一般有三種方法：直接法過“點作“面的垂線盡可能找到過這一點的一個與“面垂直的平面，然后過“點作它們交線的垂線；等積轉(zhuǎn)換；法向量: 假設(shè)平面的法向量為，直線ab與平面交于點a，那么點b到平面的距離=。舉例1 線段ad平面，且與平面的距離為4，點b是平面內(nèi)的動點，且滿足ab=5，ad=10，那么b、d兩點之間的距離 a有最大值，無最小值； b有最小值，無最大值；c有最大值，

14、最小值； d有最大值，最小值；解析：記a、d在面內(nèi)的射影分別為a1、d1，ab=5，aa1=4，a1b=3，即b在面內(nèi)以a1為圓心、3為半徑的圓周上，又a1d1=10，故d1b最大為13，最小為7，而dd1=4，于是：由勾股定理得bd最大，最小，選d。z舉例2 在棱長為4的正方體abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，點p在棱cc1上，且cc11的距離；·b1pacda1c1d1boh·圖5-2·b1pacda1c1d1boh·圖5-1e圖5-3·b1pacda1c1d1boh·xyq解析：方法一：“等積轉(zhuǎn)換。

15、如果直接研究三棱錐p-abd1的體積，無論怎樣“轉(zhuǎn)換都不易求；在dd1上取一點q，使dd1=4dq，那么pq面abd1，如圖5-1；故=，記p到面abd1的距離為h，那么q到面abd1的距離為h， 由=得：h=；方法二：以d為原點建系，如圖5-2，a4，0，0，b4，4，0，d10，0，4，p0，4，1，不難求出面abd1的法向量=(1,0,1),=(4,0,-1), h=；方法3：“補齊截面abd1即正方體的對角面abc1d1，過p作pebc1于e，如圖5-3，peab，pe面abd1，pe的長度即為點p到平面abd1的距離，易求pe=。穩(wěn)固1平面平面，直線，點，平面、之間的距離為8，那么在內(nèi)到p點的距離為9的點的軌跡是： a一個圓 b兩條直線 c四個點 d兩個點穩(wěn)固21 正三棱錐的高為，側(cè)棱與底面成角，那么點到側(cè)面的距離為_07高考江蘇卷14。2正三棱柱的所有棱長都為，為中點，那么點到平面的距離為 07高考福建理1