（整理版）高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之六

1、- -高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之六高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之六第六章第六章 三角函數(shù)三角函數(shù)一、根底知識(shí)一、根底知識(shí)定義 1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。假設(shè)旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，那么角為正角，假設(shè)旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，那么角為負(fù)角，假設(shè)不旋轉(zhuǎn)那么為零角。角的大小是任意的。定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。假設(shè)圓心角的弧長(zhǎng)為l，那么其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=,其中 r 是圓的半徑。rl定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角

2、的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)p，設(shè)它的坐標(biāo)為x,y ，到原點(diǎn)的距離為 r,那么正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù)cos=,正切函數(shù)tan=，余切函數(shù)cot=，正ryrxxyyx割函數(shù) sec=,余割函數(shù)csc=xr.yr定理 1 同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=cot1csc1；商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：sec1sincoscot,cossintancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理 2 誘導(dǎo)公式sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan

3、, cot(+)=cot;sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; sin=cos, cos=sin, 22tan=cot奇變偶不變，符號(hào)看象限 。2定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinxxr的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周22 ,22kk232 ,22kk期為 2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時(shí)，y取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-2時(shí), y取最小值-1。對(duì)稱性：直線x=k+均

4、為其對(duì)稱軸，點(diǎn)k, 0均為其對(duì)稱22中心，值域?yàn)?1，1。這里kz.定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xr r)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性：直線x=k 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。有界性：0 ,2k當(dāng)且僅當(dāng)x=2k 時(shí)，y取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k- 時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里kz z.定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+)上222為增函數(shù), 最小正周期為 ，值域?yàn)?，+ ，點(diǎn)k，0 ， k+，0均為其對(duì)2稱中心

5、。定理 6 兩角和與差的根本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan定理 7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,2222sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),2121coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).2121定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-

6、sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22定理 9 半角公式:sin=,cos=,22)cos1 (22)cos1 (tan=2)cos1 ()cos1 (.sin)cos1 ()cos1 (sin定理 10 萬能公式: , ,2tan12tan2sin22tan12tan1cos22.2tan12tan2tan2定理 11 輔助角公式：如果a, b是實(shí)數(shù)且a2+b20，那么取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為 ，那么 sin=,cos=，對(duì)任意的角 .22bab22baaasin+bcos=sin(+).)(22ba 定理 12 正弦定理

7、：在任意abc中有，其中a, b, c分別rccbbaa2sinsinsin是角a，b，c的對(duì)邊，r 為abc外接圓半徑。定理 13 余弦定理：在任意abc中有a2=b2+c2-2bcosa，其中a,b,c分別是角a，b，c的對(duì)邊。定理 14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象相位變換 ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=sin(1x)的圖象周期變換 ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，得到y(tǒng)=asinx的圖象0振幅變換 ；y=asin(x+)(0)的圖象周期變換 ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，得到y(tǒng)=asinx

8、的圖象振幅變換 ；y=asin(x+)(, 0)(|a|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)得到y(tǒng)=asinx的圖象。定義 4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-1, 1)，2,2x函數(shù)y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-, +). 2,2xy=cosx(x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-, +).定理 15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nz z。方程c

9、osx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kz z. 如果ar r，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kz z。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22定理 16 假設(shè)，那么 sinxx-1，所以cos，,2x0 ,2x所以 sin(cosx) 0,又 00，所以cos(sinx)sin(cosx).假設(shè)，那么因?yàn)?, 0 xsinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)2cos22sin222xx4424，22所以 0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).2綜上，當(dāng)x(0,)時(shí)，

10、總有cos(sinx)0，求證：2. 2sincossincosxx【證明】 假設(shè) +，那么x0，由 -0 得coscos(-)=sin,222所以 0sin(-)=cos, 所以 01，sincos2sincos所以. 2sincossincossincossincos00 xx假設(shè) +，那么x0，由 0-cos(-)=sin0,2222所以1。又 0sin1，sincos2sincos所以，得證。2sincossincossincossincos00 xx注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3最小正周期確實(shí)定。例 4 求函數(shù)y=sin(2cos|x

11、|)的最小正周期。【解】 首先，t=2 是函數(shù)的周期事實(shí)上，因?yàn)閏os(-x)=cosx，所以co|x|=cosx ；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=k+時(shí)，y=0因?yàn)閨2cosx|2,2所以假設(shè)最小正周期為t0，那么t0=m, mn+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以t0=2。4三角最值問題。例 5 函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值。x2cos1【解法一】 令 sinx=,4304sin2cos1,cos22x那么有y=).4sin(2sin2cos2因?yàn)椋裕?30442所以1，)4sin(0所以當(dāng)，即x=2k-(kz)時(shí)，ymin=0，432當(dāng)，即x=2k+(kz

12、)時(shí)，ymax=2.42【解法二】 因?yàn)閥=sinx+,)cos1(sin2cos1222xxx=2因?yàn)?a+b)22(a2+b2) ，且|sinx|1，所以 0sinx+2，x2cos1x2cos1所以當(dāng)=sinx，即x=2k+(kz)時(shí), ymax=2，x2cos12當(dāng)=-sinx，即x=2k-(kz)時(shí), ymin=0。x2cos12例 6 設(shè) 0，求 sin的最大值。)cos1 (2【解】因?yàn)?00, cos0.22022所以 sin1+cos=2sincos2= 2222cos2cos2sin22222=322232cos2cos2sin22.9342716當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=co

13、s2, 即tan=, =2arctan時(shí)，sin(1+cos)取得最22222222大值。934例 7 假設(shè)a，b，c為abc三個(gè)內(nèi)角，試求 sina+sinb+sinc的最大值?！窘狻?因?yàn)?sina+sinb=2sincos, 2ba2sin22babasinc+sin, 23sin223cos23sin23ccc又因?yàn)椋?sin243cos43sin223sin2sincbacbacba由，得 sina+sinb+sinc+sin4sin,33所以 sina+sinb+sinc3sin=,3233當(dāng)a=b=c=時(shí)， sina+sinb+sincmax=.3233注：三角函數(shù)的有界性、|s

14、inx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5換元法的使用。例 8 求的值域。xxxxycossin1cossin【解】 設(shè)t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222xxx因?yàn)? 1)4sin(1x所以. 22t又因?yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=，所以，212t211212ttxy所以.212212y因?yàn)閠-1，所以，所以y-1.121t所以函數(shù)值域?yàn)?212, 11,212y例 9 a0=1, an=(nn n+)，求證：an.11121nnaa22n【證明】 由題設(shè)an0，令

15、an=tanan, an，那么2, 0an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因?yàn)椋琣n，所以an=，所以an=21na2, 0121na.210an又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=，所以。4nna214又因?yàn)楫?dāng) 0 xx，所以2.22tan22nnna注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x時(shí)，有tanxxsinx，這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，2, 0證明是很容易的。6圖象變換：y=sinx(xr r)與y=asin(x+)(a, , 0).由y=sinx的圖象向左平移個(gè)，然后保

16、持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的1圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個(gè)，得到y(tǒng)=asin(x+)的圖象。1例 10 例 10 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 r r 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。0 ,43m2, 0【解】 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對(duì)任意xr 成立。又 0，解得=，2因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以=0。

17、0 ,43m)43()43(xfxf取x=0，得=0，所以sin)43(f. 0243所以(kz z)，即=(2k+1) (kz z).243 k32又0，取k=0 時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取k=1 時(shí)，=2，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取k=2 時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，31022綜上，=或 2。327三角公式的應(yīng)用。例 11 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，135135,22 ,23求sin2,cos2 的值?！窘狻?因?yàn)?-，所以cos(-)=-,2.1312)(sin12又因?yàn)?+，所以

18、cos(+)=2 ,23.1312)(sin12所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169120cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 12 abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列，且，試求bcacos2cos1cos1的值。2cosca【解】 因?yàn)閍=1200-c，所以cos=cos(600-c)，2ca又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000ccccccca=，2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120c

19、os21)60cos(60cos2000000cccc所以=0。232cos22cos242caca解得或。222cosca8232cosca又0，所以。2cosca222cosca例 13 求證：tan20 +4cos70 .【解】 tan20 +4cos70 =+4sin2020cos20sin20cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin. 320cos20cos60sin220cos40sin80sin三、根底訓(xùn)練題三、根底訓(xùn)練題1銳角x的終邊上一點(diǎn)a的坐標(biāo)為(2sin3, -

20、2cos3)，那么x的弧度數(shù)為_。2適合-2cscx的角的集合為_。xxxxcos1cos1cos1cos1，那么sinsin；2假設(shè)sinsin,那么 ；3假設(shè)sin0，那么 為第一或第二象限角；4假設(shè) 為第一或第二象限角，那么sin4sinx+cosx=(x(0, )，那么cotx=_。515簡(jiǎn)諧振動(dòng)x1=asin和x2=bsin疊加后得到的合振動(dòng)是3t6tx=_。63sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，那么1，2，3，4分別是第_象限角。7滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有_個(gè)。8，那么=_。2

21、23 xxcos212121219=_。40cos170sin)10tan31 (50sin40cos10cot15cos25cot35cot85 =_。11,(0, ), tan, sin(+)=，求cos 的值。21213512函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。xxmcossin22, 0四、高考水平訓(xùn)練題1一扇形中心角是a,所在圓半徑為 r，假設(shè)其周長(zhǎng)為定值c(c0)，當(dāng)扇形面積最大時(shí)，a=_.2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.3. 函數(shù)的值域?yàn)開.xxycos2sin24. 方程=0 的實(shí)根個(gè)數(shù)為_.xxlg62sin25. 假

22、設(shè)sina+cosa=tana, a，那么_a填大小關(guān)系.2, 036. (1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan44 )(1+tan45 )=_.7. 假設(shè) 0yx0, k=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；3試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)x在任意兩個(gè)整數(shù)包括整數(shù)本身間變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題一一1假設(shè)x, yr r，那么z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是_.2圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)kxsin3k的取值范圍是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos

23、3的最小值為_.4方程sinx+cosx+a=0 在0，2內(nèi)有相異兩實(shí)根 ，那么3+=_.5函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是_.6設(shè)sina0cosa, 且sincos，那么的取值范圍是_.3a3a3a7方程tan5x+tan3x=0 在0，中有_個(gè)解.8假設(shè)x, yr r, 那么m=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_.9假設(shè) 00)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_.12a2假設(shè)，那么y=tan-tan+cos的最大值是3,125x32x6x6x_.3在abc中，記bc=a, ca=b, ab=c, 假設(shè) 9a2+9b2-19c2=0，那么=_.baccotcotcot4設(shè)f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 31453145將f(), f(), f(), f()從小到大排列為_.5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d 從小到大排