（整理版）高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編（四）

1、高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編四探究性試題有助于數(shù)學(xué)思維的提高。31在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)、，假設(shè)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡與拋物線：交于 、兩點(diǎn).求證：；在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)直線交拋物線于d、e兩點(diǎn)，并以該弦de為直徑的圓都過原點(diǎn)。假設(shè)存在，請(qǐng)求出的值及圓心的軌跡方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解：1解：由知點(diǎn)的軌跡是、兩點(diǎn)所在的直線，故 點(diǎn)的軌跡方程是：即 .2分由 故 . 6分 2解：存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn) 由題意知：弦所在的直線的斜率不為零 7分故 設(shè)弦所在的直線方程為： 代入 得 故以為直徑的圓都過原點(diǎn) .10分設(shè)弦的中點(diǎn)為 那么 弦的中點(diǎn)的軌

2、跡方程為： 消去得 . 14分32設(shè)函數(shù)r.i求函數(shù)的最值；給出定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在.運(yùn)用上述定理判斷，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn).解：i令2分由知fx無最大值.6分函數(shù)fx在m，2m上連續(xù).上遞增.8分由10分又根據(jù)定理，可判斷函數(shù)fx在區(qū)間m，2m上存在零點(diǎn).12分33數(shù)列an有a1=a，a2=p (常數(shù)p>0)，對(duì)任意的正整數(shù)n，sn=a1+a2+an，并有sn滿足。 (1) 求a的值； (2) 試確定數(shù)列an是否是等差數(shù)列，假設(shè)是，求出其通項(xiàng)公式，假設(shè)不是，說明理由； (3) 對(duì)于數(shù)列bn，假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)b使得對(duì)任意的正整數(shù)n

3、都有bn<b，且，那么稱b為數(shù)列bn的“上漸進(jìn)值，令，求數(shù)列p1+p2+pn-2n的“上漸進(jìn)值。解：1，即 2 是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。 3， 又，數(shù)列的“上漸近值為。34函數(shù), 且的圖象經(jīng)過點(diǎn), 數(shù)列為等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 設(shè)問: 是否存在自然數(shù)m和m, 使得不等式恒成立? 假設(shè)存在, 求出的最小值; 假設(shè)不存在, 請(qǐng)說明理由.解: (1)由題意得即. 令, 那么令,那么令, 那么(3分)設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 那么(5分).(6分)(2)由(1)知: . n為奇數(shù)時(shí), (7分)(9分)由得: (10分)設(shè), 隨n的增大而減小, 為n的增函

4、數(shù). (12分)當(dāng)時(shí),而(13分)由此易知: 使恒成立的m的最大值為0, m的最小值為2, mm的最小值為2. (14分)35等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bnnn*，snb1b2bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得任意的n均有sn總成立？假設(shè)存在，求出t；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由解：由題意得a1da113d=a14d2， 2 分整理得2a1dd2a11，解得d0舍，d2 4 分an2n1nn* 6 分bn，snb1b2bn11 10 分假設(shè)存在整數(shù)t滿足sn總成立.又sn+1sn0，數(shù)列sn是單調(diào)遞增

5、的 12 分s1為sn的最小值，故，即t9又tn*，適合條件的t的最大值為8 14 分36 數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求使不等式成立的所有正整數(shù)、的值解 由2 an+1 = 3anan1n2，得 2an+1an= anan1，因此數(shù)列 anan1 是以a2a1 = 1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ，4分于是 an =anan1+an1an2+ +a2a1+ a1 = 6分由不等式，得 ， ，即 ，8分所以 24m· 2n 8 2n為正偶數(shù)，4m為整數(shù)， 4m· 2n = 4，或 4m· 2n = 6， 或 或 或 解得 或 或 或 經(jīng)檢驗(yàn)使不等式成立的所有正整數(shù)

6、m、n的值為m，n=1，1或2，1或3，212分說明 問題1的歸納做法是：由可得， ，于是 37圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)q在np上，點(diǎn)g在mp上，且滿足. 1求點(diǎn)g的軌跡c的方程； 2過點(diǎn)2，0作直線，與曲線c交于a、b兩點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形oasb的對(duì)角線相等即|os|=|ab|？假設(shè)存在，求出直線的方程；假設(shè)不存在，試說明理由.解：1q為pn的中點(diǎn)且gqpngq為pn的中垂線|pg|=|gn|gn|+|gm|=|mp|=6，故g點(diǎn)的軌跡是以m、n為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，短半軸長(zhǎng)b=2，點(diǎn)g的軌跡方程是 2因?yàn)?，所以四邊形oasb為平行四邊形假設(shè)存在l使得|=|

7、，那么四邊形oasb為矩形假設(shè)l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由矛盾，故l的斜率存在.設(shè)l的方程為 把、代入存在直線使得四邊形oasb的對(duì)角線相等.38設(shè)無窮數(shù)列an具有以下性質(zhì)：a1=1；當(dāng) 請(qǐng)給出一個(gè)具有這種性質(zhì)的無窮數(shù)列，使得不等式 對(duì)于任意的都成立，并對(duì)你給出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或證明； 假設(shè)，其中，且記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和bn，證明：解：令， 那么無窮數(shù)列an可由a1 = 1，給出. 顯然，該數(shù)列滿足，且 6分 8分 又 39. 拋物線，過c上點(diǎn)m，且與m處的切線垂直的直線稱為c在點(diǎn)m的法線。 假設(shè)c在點(diǎn)m的法線的斜率為，求點(diǎn)m的坐標(biāo)；設(shè)為c對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在c上是否存在點(diǎn)，使得c在該

8、點(diǎn)的法線通過點(diǎn)p？假設(shè)有，求出這些點(diǎn)，以及c在這些點(diǎn)的法線方程；假設(shè)沒有，請(qǐng)說明理由。解1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上點(diǎn)處切線的斜率，因?yàn)檫^點(diǎn)的法線斜率為，所以，解得，故點(diǎn)m的坐標(biāo)為。2設(shè)為c上一點(diǎn)，假設(shè)，那么c上點(diǎn)處的切線斜率，過點(diǎn)的法線方程為，此法線過點(diǎn)；假設(shè)，那么過點(diǎn)的法線方程為： 假設(shè)法線過，那么，即 假設(shè)，那么，從而，將上式代入，化簡(jiǎn)得：，假設(shè)與矛盾，假設(shè)，那么式無解。綜上，當(dāng)時(shí)，在c上有三點(diǎn)及，在這三點(diǎn)的法線過，其方程分別是： 。當(dāng)時(shí)，在c上有一點(diǎn)，在這點(diǎn)的法線過點(diǎn)，其方程為：。40函數(shù) 1求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間； 2如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合； 3是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的

9、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由.解：1函數(shù)的定義域是對(duì)求導(dǎo)得 2分由 由因此 是函數(shù)的增區(qū)間；1，0和0，3是函數(shù)的減區(qū)間 5分2解法一：因?yàn)樗詫?shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域 6分對(duì)令當(dāng)x=2時(shí)取得最大值，且又當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近于無限趨近于0，進(jìn)而有無限趨近于.因此函數(shù)的值域是 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 9分解法二：方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于直線與曲線y=lnx有公共點(diǎn)，并且當(dāng)直線與曲線y=lnx相切時(shí)，m取得最大值. 6分設(shè)直線相切，切點(diǎn)為求導(dǎo)得解得 所以m的最大值是。而且易知當(dāng)與曲線y=lnx總有公共點(diǎn)。因此實(shí)數(shù)m的取值集合是 9分3結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在。 10分下面采用反證法來證明：