小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)中遇到的典型的工程和行程應(yīng)用題

1、小學(xué)中經(jīng)常遇到的行程問題行程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的， 解決起來往往有些困難，因?yàn)檫€沒有學(xué) 習(xí)方程，所以有些題目很不好理解，利用單位 1 解決問題，這里舉一些例子，由 淺入深，結(jié)合方程的解法，同學(xué)們自己比較一下。我們先來了解一下，關(guān)于行程問題的公式：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系?；竟剑郝烦?速度 刈寸間；路程卻寸間二速度； 路程他度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置相遇問題：速度和 對(duì)目遇時(shí)間=相遇路程相遇路程 越度和=相遇時(shí)間相遇路程甘目遇時(shí)間=速度和相遇問題：（直線）：甲的路程+乙的路程=總路程相遇問題：（環(huán)形）：甲的路程+乙的路程=環(huán)形周

2、長(zhǎng)追及問題：追及時(shí)間=路程差 他度差速度差=路程差賢追及時(shí)間追及時(shí)間 泌度差=路程差追及問題：（直線）:距離差=追者路程-被追者路程=速度差 X 追擊時(shí)間追及問題：（環(huán)形）：快的路程-慢的路程=曲線的周長(zhǎng)流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）R順?biāo)畷r(shí)間 逆水行程=（船速-水速）X逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度） 吃 水速：（順?biāo)俣?逆水速度） 吃流水速度+流水速度 吃 水速：流水速度-流水速度 吃關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。列車過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。我們由淺入深看一些題目：一、相遇問題1、一列客車從甲地

3、開往乙地，同時(shí)一列貨車從甲地開往乙地，當(dāng)貨車行了180千米時(shí)，客車行了全程的七分之四；當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之 七。甲乙兩地相距多少千米？解：把全部路程看作單位 1那么客車到達(dá)終點(diǎn)行了全程，也就是單位 1 當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之七 相同的時(shí)間， 路程比就是速度比 由此我們可以知道客車貨車的速度比=1：7/8=8:7所以客車行的路程是貨車的 8/7 倍所以當(dāng)客車行了全程的 4/7 時(shí)貨車行了全程的(4/7) / (8/7) =1/2那么甲乙兩地相距 180/ (1/2) =360 千米1/2 就是 180 千米的對(duì)應(yīng)分率分析：此題中運(yùn)用了單位 1,用到了比例問題，我

4、們要熟練掌握比例，對(duì)于路程、 速度和時(shí)間之間的關(guān)系，一定要清楚，在速度或時(shí)間一定時(shí)，路程都和另外一個(gè) 量成正比例，當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間成反比例，這個(gè)是基本常識(shí)。2、 甲、乙兩車同時(shí)從 A、B 兩地相對(duì)開出，2 小時(shí)相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前行， 當(dāng)甲車到達(dá) B 地時(shí)，乙車離 A 地還有 60 千米，一直兩車速度比是 3:2。求甲乙 兩車的速度。解：將全部路程看作單位 1速度比=路程比=3： 2,也就是說乙行的路程是甲的 2/3那么甲到達(dá) B 地時(shí)，行了全部路程，乙行了 1X2/3=2/3此時(shí)距離終點(diǎn) A 還有 1-2/3=1/3那么全程=60/ (1/3) =180 千米速度和=180/2=9

5、0 千米/小時(shí)甲的速度=90X3/ (3+2 ) =54 千米/小時(shí)乙的速度=90-54=36 千米/小時(shí)3、 甲、乙兩車分別同時(shí)從 A、B 兩成相對(duì)開出,甲車從 A 城開往 B 城，每小時(shí)行 全程的 10%,乙車從 B 城開往 A 城，每小時(shí)行 8 千米，當(dāng)甲車距 A 城 260 千米 時(shí)，乙車距 B 地 320 千米。A、B 兩成之間的路程有多少千米？解：這個(gè)問題可以看作相遇問題，因?yàn)槭窍嘞蚨幸臆囘€要行駛 320/8=4 小時(shí)4 個(gè)小時(shí)甲車行駛?cè)痰?10%X4=40%=2/5那么甲車還要行駛?cè)痰?2/5，也就是剩下的 260 千米AB 距離=260/ (2/5) =650 千米4、

6、一客車和一貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，經(jīng)過 3 小時(shí)相遇,相遇后仍以原速 繼續(xù)行駛，客車行駛 2 小時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)貨車距離甲地 150 千米，求甲乙兩 地距離？解：解此題的關(guān)鍵是把甲乙看成一個(gè)整體，問題就迎刃而解了。甲乙每小時(shí)行駛?cè)痰?1/3那么 2 小時(shí)行駛 2x1/3=2/3甲乙相距=150/ (1-2/3) =450 千米5、 甲乙兩車同時(shí)分別從兩地相對(duì)開出，5 小時(shí)正好行了全程的 2/3，甲乙兩車的 速度比是 5: 3。余下的路程由乙車單獨(dú)走完，還要多少小時(shí)？解：將全部路程看作單位 1那么每小時(shí)甲乙行駛?cè)痰?2/3) /5=2/15乙車的速度=(2/15)X(3/8) =1/20

7、乙 5 小時(shí)行駛 1/20X5=1/4還剩下 1-1/4=3/4 沒有行駛那么乙還要(3/4) / (1/20) =15 個(gè)小時(shí)到達(dá)終點(diǎn)分析：此題和上一例題有異曲同工之處，都是把甲乙每小時(shí)行的路程看作一個(gè)整 體，然后根據(jù)比例分別求出甲乙的速度(用份數(shù)表示)，從而解決問題，關(guān)鍵之 處就是把甲乙看作一個(gè)整體，這和工作問題，甲乙的工作效率和是一個(gè)道理。6、 甲，乙兩輛汽車同時(shí)從東站開往西站，甲車每小時(shí)比乙車多行12 千米。甲 車行駛 4.5 小時(shí)到達(dá)西站后沒有停留，立即從原路返回，在距西站 31.5 千米和 乙車相遇。甲車每小時(shí)行多少千米？解：設(shè)甲車速度為 a 小時(shí)/千米。則乙的速度為 a-12 千

8、米/小時(shí)甲車比乙車多行 31.5x2=63 千米用的時(shí)間=63/12=5.25 小時(shí)所以(a-12) X5.25+31.5=4.5a0.75a=31.5a=42 千米/小時(shí)或者a (5.25-4.5 ) =31.5a=42 千米/小時(shí)算術(shù)法：相遇時(shí)甲比乙多行了 31.5X2=63 (千米)相遇時(shí)走了 63/12=5.25 小時(shí)走 31.5 千米的路程用了 5.25-4.5=0.75 小時(shí)甲每小時(shí)行 31.5/0.75=42 千米7、 從甲地去乙地，如車速比原來提高 1/9，就可比預(yù)定的時(shí)間提前 20 分鐘趕到， 如先按原速行駛 72 千米，再將車速比原來提高 1/3，就比預(yù)定時(shí)間提前 30 分

9、鐘 趕到。甲，乙兩地相距多少千米？解：20 分鐘=1/3 小時(shí)。30 分鐘=1/2 小時(shí)因?yàn)槁烦桃欢ǎ瑫r(shí)間和速度成反比那么原來的車速和提高 1/9 后的車速之比為 1 ：( 1+1/9 ) =9 : 10那么時(shí)間比為 10 : 9將原來的時(shí)間看作單位 1,那么提速 1/9 后的時(shí)間為 1x9/10=9/10所以原來需要的時(shí)間為(1/3) / (1-9/10) =10/3 小時(shí)第二次行駛完 72 千米后，原來的速度和提高后的速度比為1 ：( 1+1/3) =3 : 4那么時(shí)間比為 4: 3將行駛完 72 千米后的時(shí)間看作單位 1，那么這一段用的時(shí)間為(1/2) / (1-3/4)=2 小時(shí)那么原

10、來行駛 72 千米用的時(shí)間=10/3-2=4/3 小時(shí)原來的速度=72/ (4/3) =54 千米/小時(shí)甲乙兩地相距=54X10/3=180 千米8、清晨 4 時(shí)，甲車從 A 地，乙車從 B 地同時(shí)相對(duì)開出，原計(jì)劃在上午 10 時(shí)相遇，但在 6 時(shí) 30 分，乙車因故停在中途 C 地，甲車?yán)^續(xù)前行 350 千米在 C 地 與乙車相遇，相遇后，乙車立即以原來每小時(shí)60 千米的速度向 A 地開去。問：乙車幾點(diǎn)才能到達(dá) A 地？解：原來的相遇時(shí)間=10-4=6 小時(shí)乙的速度=60 千米/小時(shí)BC 距離=60X2.5=150 千米(從凌晨 4 時(shí)到 6 時(shí) 30 分是 2.5 小時(shí))原來相遇時(shí)乙應(yīng)該走

11、的距離=60X6=360 千米甲比原來奪走 360-150-210 千米那么甲行駛 6-2.5=3.5 小時(shí)應(yīng)該行駛的距離=350-210=140 千米所以甲的速度=140/3.5=40 千米/小時(shí)那么 AB 距離=(40+60 )X3=600 千米AC 距離=600-150=450 千米實(shí)際相遇的時(shí)間=450/40=11.25 小時(shí)=11 小時(shí) 15 分鐘那么相遇時(shí)的時(shí)間是 15 小時(shí) 15 分乙到達(dá) A 地需要的時(shí)間=450/60=7.5 小時(shí)=7 小時(shí) 30 分所以乙到達(dá) A 地時(shí)間為 15 小時(shí) 15 分+7 小時(shí) 30 分=22 時(shí) 45 分9、AB 兩地相距 60 千米，甲車比乙車

12、先行 1 小時(shí)從 A 地出發(fā)開往 B 地，結(jié)果 乙車還比甲車早 30 分到達(dá) B 地，甲乙兩車的速度比是 2:5，求乙車的速度。 如果甲不比乙車先行 1 小時(shí)，那么乙車要比甲車早 1+30/60=1.5 小時(shí)到達(dá) B 地 甲乙的速度比=2 : 5那么他們用的時(shí)間比為 5: 2將甲用的時(shí)間看作單位 1那么乙用的時(shí)間是甲的 2/5甲比乙多用 1-2/5=3/5所以甲行完全程用的時(shí)間為 1.5/ (3/5) =2.5 小時(shí)乙行完全程用的時(shí)間=2.5-1.5=1 小時(shí)那么乙車的速度=60/仁 60 千米/小時(shí)10、 小剛很小明同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走 52 米，小明每分鐘走 70米，兩人在

13、途中 A 處相遇。若小剛提前 4 分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分 鐘走 90米，則兩人仍在 A 處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？解：兩次相遇小明走的路程一樣，那么兩次相遇小明的速度比=70 : 90=7 : 9時(shí)間比就是速度比的反比，所以兩次相遇的時(shí)間比為9: 7將第一次相遇的時(shí)間看做單位 1那么第二次相遇小明用的時(shí)間為 7/9第一次比第二次多用的時(shí)間為 1-7/9=2/9那么第一次用的時(shí)間為 4/ (2/9) =18 分鐘所以小剛和小明的家相距(52+70 )X18=2196 米方程：設(shè)第一次相遇時(shí)間為 t 分90X (52t-52x4)/52=70at=18 分鐘(過程從略)所以小剛

14、和小明的家相距(52+70 )X18=2196 米11、 客貨兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開出，5 小時(shí)后相遇，相遇后兩車仍按原 速度前進(jìn)，當(dāng)他們相距 196 千米時(shí)客車行了全程的三分之二，貨車行了全程的 80%，問貨車行完全程用多少小時(shí)？解：將全部路程看作單位 1那么相距 196 千米時(shí)，客車行駛了全程的 12/3=2/3，距離目的地還有 1-2/3=1/3貨車行駛了全程的 1 X80%=4/5那么全程=196/ (4/5-1/3 ) =196/ (7/15) =420 千米客車和貨車的速度比=2/3 : 4/5=5 : 6客車和貨車的速度和=420/5=84 千米/小時(shí)貨車的速度=84X6/

15、1 仁 504/11 千米/小時(shí)那么貨車行完全程需要 420/ (504/11 ) =55/6 小時(shí)=9 小時(shí) 10 分鐘客貨兩車分別從甲乙兩地相對(duì)開出， 相遇后兩車?yán)^續(xù)到達(dá)對(duì)方終點(diǎn)后，兩車立即 返回，又在途中相遇，兩次相遇的地點(diǎn)相距 3000 米。已知貨車的速度是客車速 度三分之二，求甲乙兩地距離是多少米？(要算式和解題過程)解：將全部的路程看作單位 1貨車和客車的速度比=2 : 3第一次相遇貨車行了全程的 2/5，客車行了全程的 3/5因?yàn)槭?2 次相遇，所以兩車走的路程一共是 3 倍甲乙兩地距離，也就是 1x3=3貨車行了整個(gè)過程的 3x2/5=6/5因此第二次相遇是在距離甲地 6/5-

16、1=1/5 處第一次相遇是在距離甲地 3/5 處那么兩處相距 3/5-1/5=2/5甲乙兩地距離 3000/ (2/5 ) =7500 米12、 甲、乙兩輛車同時(shí)分別從兩個(gè)城市相對(duì)開出，經(jīng)過3 小時(shí)，兩車距離中點(diǎn) 18千米處相遇，這時(shí)甲車與乙車所行的路程之比是 2: 3.求甲乙兩車的速度各是 多少？設(shè)甲的速度為 2a 千米/小時(shí)，乙的速度為 3a 千米/小時(shí)總路程=(2a+3a )X3=15a 千米甲行的路程=15aX2/5=6a15a/2-6a=1815a-12a=363a=36a=12甲的速度=12x2=24 千米/小時(shí)乙的速度=12x3=36 千米/小時(shí)或者將全部路程看作單位 1那么相遇

17、時(shí)甲行了 2/5乙行了 1-2/5=3/5全程=(1/2-2/5 ) =1/10全程=18/ (1/10) =180 千米甲乙的速度和=180/3=60 千米/小時(shí)甲的速度=60 x2/5=24 千米/小時(shí)乙的速度=60-24=36 千米/小時(shí)13、 甲乙兩車同時(shí)從 AB 兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙的速度比是 4: 5。兩車 第一次相遇后，甲的速度提高了 4 分之一，乙的速度提高了 3 分之一，兩車分別 到達(dá) BA兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn) 48KM，AB 兩 地相距多少千米？解：將全部的路程看作單位 1因?yàn)闀r(shí)間一樣，路程比就是速度比所以相遇時(shí)，甲行了全程的 1x4/ (

18、5+4) =4/9乙行了 1-4/9=5/9此時(shí)甲乙提速，速度比由 4: 5 變?yōu)?4 (1+1/4)： 5( 1+1/3)=5： 10/3=3:4甲乙再次相遇路程和是兩倍的 AB 距離，也就是 2此時(shí)第二次相遇，乙行了全程的 2x4/(3+4)=8/7 第二次相遇點(diǎn)的距離占全部路程的8/7-4/9=44/63距離第一次相遇點(diǎn) 44/63-4/9=16/63AB 距離=48/( 16/63)=189 千米14、 甲從 A 地往 B 地，乙丙從 B 地行往 A 地，三人同時(shí)出發(fā)。甲首先遇乙，15 分鐘后又遇丙。甲每份走 70m，乙走 60m 丙走 50m。問 AB 兩地距離、解：乙丙的速度差=6

19、0-50=10 米/分那么甲乙相遇時(shí)，距離丙的距離 =(70+50 )X15=1800 米那么甲乙相遇時(shí)用的時(shí)間=1800/10=180 分鐘那么 AB 距離=(70+60 ) X180=23400 米15、甲乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山頂時(shí)乙距離山頂還有500 米，甲回到山腳時(shí)，乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦?。解：下山速度是上山?2 倍，那就假設(shè)一下，把下山路也看做上山路，長(zhǎng)度為上山路的1/2速度都是上山的速度。那么，原來上山的路程，占總路程的2/3，下山路程占總路程的 1/3 甲返回山腳，乙一共行了全程的:2/3

20、+1/3X/2=5/6乙的速度是甲的 5/6甲到達(dá)山頂，即行了全程的 2/3 ,乙應(yīng)該行了全程的：2/3 5/6=5/9實(shí)際上乙行了全程的 2/3 減去 500 米所以全程為：500- (2/3-5/9 ) =4500 米從山腳到山頂?shù)木嚯x為：4500X2/3=3000 米16、汽車從 A 地到 B 地，如果速度比預(yù)定的每小時(shí)慢 5 千米，到達(dá)時(shí)間將比預(yù) 定的多 1/8,如果速度比預(yù)定的增加 1/3 ,到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的早 1 小時(shí)。求 A,B 兩地間的路程？解：將原來的時(shí)間看到單位 1那么每小時(shí)慢 5 千米，用的時(shí)間是 1X(1+1/8) =9/8 那么實(shí)際用的時(shí)間和原來的時(shí)間之比為 9/8

21、 : 1=9 : 8 那么原來速度和實(shí)際速度之比為 8: 9那么實(shí)際速度是原來速度的 8/9那么原來的速度=5/ (1-8/9) =45 千米/小時(shí)第二次速度增加 1/3，實(shí)際速度與原來的速度之比為為(1+1/3 )： 1=4 : 3 實(shí)際用的時(shí)間和原來的時(shí)間之比為 3: 4那么實(shí)際用的時(shí)間是原來的 3/4原來所用的時(shí)間為 1/ (1-3/4) =4 小時(shí)AB 距離=45X4=180 千米簡(jiǎn)析：此題反復(fù)利用路程一定，時(shí)間和速度成反比，這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)中要注意。17、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開出，第一次在離東站 45 千米的地方相遇，之后兩車?yán)^續(xù)以原來的速度前進(jìn)，各自到站后都立即返回，又在距離中

22、點(diǎn)東側(cè)9千米處相遇，兩站相距多少千米？解：我們拿從東站出來的車考慮在整個(gè)相遇過程中，兩車一共走了 3 個(gè)全程第一次相遇時(shí)，從東站出來的車走了 45 千米那么整個(gè)過程走了 45X3=135 千米此時(shí)這輛車走了 1.5 倍的全程還多 9 千米所以全程=(135-9) / (1+1/2 ) =84 千米將全部路程看作單位 1，第二次相遇時(shí)這輛車走了 1 又 1/2 還多 9 千米二、追及問題1、已知甲乙兩船的船速分別是 24 千米/時(shí)和 20 千米/時(shí)，兩船先后從漢口港開出，乙比甲早出 1 小時(shí)，兩船同時(shí)到達(dá)目的地 A，問兩地距離？解：距離差=20X1=20 千米速度差 24-20=4 千米/小時(shí)甲

23、追上乙需要 20-4=5 小時(shí)兩地距離=24X5=120 千米2、 某校組織學(xué)生排隊(duì)去春游，步行速度為每秒1 米，隊(duì)尾的王老師以每秒 2.5 米的速度趕到排頭，然后立即返回隊(duì)尾，共用 10 秒求隊(duì)伍的長(zhǎng)度是多少米？、解：速度差=2.5-1=1.5 米/秒速度和=1+2.5=3.5 米/秒設(shè)隊(duì)伍長(zhǎng)度為 a 米a/1.5+a/3.5=105a=3.5x1.5x10 a=10.5 米 或者這樣做第一次追及問題，第二次相遇問題速度比=1.5 : 3.5=3 : 7我們知道，路程一樣，速度比=時(shí)間的反比因此整個(gè)過程，追及用的時(shí)間=10 x7/10=7 秒那么隊(duì)伍長(zhǎng)度=1.5x7=10.5 米3、在一個(gè)圓

24、形跑道上，甲從 A 點(diǎn)，乙從 B 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6 分鐘后兩人相遇,再過 4 分鐘甲到 B 點(diǎn),又過 8 分鐘兩人再次相遇，甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？ 解：解：將全部路程看作單位 1第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是1那么相遇時(shí)間=4+8=12 分鐘甲乙的速度和=1/12也就是每分鐘甲乙行駛?cè)痰?1/126 分鐘行駛?cè)痰?1/12 6=1/2也就是說 AB 的距離是 1/2那么 6+4=10 分鐘甲到達(dá) B，所以甲的速度(1/2) /10=1/20甲環(huán)形一周需要 1/ (1/20) =20 分鐘乙的速度=1/12-1/20=1/30乙行駛?cè)绦枰?1/ (1/30) =30 分

25、鐘4、 甲乙兩人環(huán)湖同向競(jìng)走，環(huán)湖一周是 400 米，乙每分鐘走 80 米,甲的速度是乙 的一又四分之一倍，問甲什么時(shí)候追上乙？解：設(shè)甲用 a 分鐘追上乙(80X5/4-80) a=400(100-80) Xa=400a=400/20a=20 分算術(shù)法速度差=80X(5/4-1 ) =20 米/分追及時(shí)間=400/20=20 分甲用 20 分鐘追上乙5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它 8 米遠(yuǎn)的地方優(yōu)質(zhì)本報(bào)的野兔子，立刻追。獵犬包 6 步的路程 野兔要跑 11 步，但是兔子跑的 4 步的時(shí)間獵犬只能奔跑 3 步。獵犬至少要跑多 少米才能追上野兔？解：將獵犬跑一步的距離看作單位 1 (或者設(shè)一步的距離為 a 米)

26、 那么野兔跑一步的距離為 6/11根據(jù)題意兔子跑 4 步的距離=4X6/11=24/11獵犬跑 3 步的距離=1X3=3那么獵犬和野兔的速度差=3-24/11=9/11所以獵犬追上野兔的時(shí)間=8/（ 9/11） K1=88/9 米（必須乘以單位 1，否則算式?jīng)] 有意義）6、一只野兔跑出 85 步獵犬才開始追它，兔子跑 8 步的路程獵犬只需跑 3 步， 獵犬跑4 步的時(shí)間野兔能跑 9 步。問獵犬至少要跑多少步才能追上兔子？ 解：將獵犬一步的距離看作單位 1 （或者設(shè)獵犬一步距離為 a） 那么兔子一步的距離=3/8（ 3/8a）二者的速度差=1X4-3/8 9=32/8-27/8=5/8 那么獵犬

27、需要跑 85/（5/8） X1=136 步 三、特殊的追及問題我們?cè)谌粘Ｗ鲱}的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到求幾點(diǎn)幾分時(shí)針和分針?biāo)Q的角度，還有時(shí)針和分針?biāo)啥嗌俣冉菚r(shí)，是幾點(diǎn)幾分。解此類題，似乎與追及問題格格不入， 但是我們恰恰可以看作是追及問題的一個(gè)變形。首先我們對(duì)鐘面熟悉以后，知道鐘面被分作 60 個(gè)小格，每個(gè)小格所對(duì)的圓心角的度數(shù) =360/60=6 度，分針每分 鐘走1 格，時(shí)針每分鐘走 5/60=1/12 格，由此我們?cè)诮忸}之前就知道了這些隱含 條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時(shí)針?biāo)俣嚷?，分針?biāo)俣瓤?，在解題之前， 大致畫一個(gè)圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因?yàn)樗俣炔钗覀円?經(jīng)知道

28、了，是1-1/12=11/12 格，將來我們學(xué)會(huì)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就可以把時(shí)針看作 參照物，分針的速度變?yōu)?11/12 格/分，問題變得更加簡(jiǎn)單?？聪旅娴睦}：1、7 點(diǎn)與 8 點(diǎn)之間,時(shí)針與分針成 30 度角的時(shí)刻？鐘面一共 60 格，一定要對(duì)鐘面熟悉 每一格對(duì)應(yīng)的度數(shù) 360/60=5 度分針每分鐘走 1 格，時(shí)針每分鐘走 5/60=1/12 格 此時(shí)我們就把分針和時(shí)針的運(yùn)動(dòng)看作追及問題 分針的速度快，是 1 格/分，時(shí)針的速度慢是 1/12 格/分速度差=1-1/12=11/12 格/分此時(shí)如果看作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，時(shí)針靜止，那么分針的速度就是11/12 格/分此題中，7 點(diǎn)時(shí)，分針和時(shí)針相差 35

29、格，題目要求成 30 度角及相差 30/6=5 格 時(shí)鐘表的時(shí)間，那就是分針以 11/12 格/分的速度追趕時(shí)針，相差 5 格，也就是 路程上追上了 30 格，求的就是分針以 11/12 格/分走 30 格的時(shí)間，第二次成 30 度就是分針超過時(shí)針 5 格即分針以 11/12 格/分的速度走的 35+5=40 格的時(shí)間 算術(shù)式如下：第一次成 30 度時(shí)，時(shí)針和分針的路程差=60X30/360=5 格 7 點(diǎn)時(shí)時(shí)針和分針的距離是35 格第一次（35-5） / （1-1/12 ） =30 x12/1 仁 360/11 分32 分 44 秒 第二次（35+5） /（1-1/12 ） =40 x12/

30、11=480/11 分43 分 38 秒 方程：舉一例設(shè) a 分鐘分針和時(shí)針第一次成 30 度 分針 a 分走 a 格，時(shí)針 a 分走 a/12 格 開始時(shí)的路程差=35 格 那么a/12+35=a+5 a=360/11 分32 分 44 秒 第二次成 30 度的時(shí)候分針走 a 格時(shí)針走 a/12 格，加上開始的路程差=35 格那么此時(shí)時(shí)針的位置是 a/12+35 格 分針此時(shí)超過時(shí)針 5 格那么a-5=a/12+35a=480/11 分43 分 38 秒也就是在 7 點(diǎn) 32 分 44 秒和 7 點(diǎn) 43 分 38 秒的時(shí)候分針和時(shí)針成 30 度2、張華出去辦事兩個(gè)多小時(shí)，出門時(shí)他看了看鐘，

31、到家時(shí)又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí) 針和分針互相換了位置，他離家多長(zhǎng)時(shí)間？此問題關(guān)鍵在于求具體多少分鐘，因?yàn)榭隙ㄊ浅^2 個(gè)小時(shí)我們把表盤看作一個(gè)環(huán)形路，那么每一格就是距離單位，一圈是60 格分針每分鐘走 1 格，時(shí)針每分鐘走 5/60=1/12 格鐘表按照順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，此題出門時(shí)時(shí)針在分針之后時(shí)針和分針的路程差不變整個(gè)過程分針走的路程是 2x60+60-路程差，時(shí)針走的路程是路程差所以時(shí)針和分針走過的路程和=3x60=180 格二者的速度和=1+1/12=13/12 格/分那么經(jīng)過的時(shí)間=180/ (13/12 ) =2160/13 分=36/13 小時(shí)2 小時(shí) 46 分 離家時(shí)間為 2小時(shí) 46 分小

32、學(xué)比較典型的工程問題工程問題是我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的， 這里通過實(shí)踐總結(jié)出了一些 工程實(shí)際問題和變形的工程問題，解此類問題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位1，其次要把握住最基本的運(yùn)算公式工程總量=工作效率x工作時(shí)間，萬變不離其宗。1、 王師傅加工一批零件，計(jì)劃在六月份每天都能超額完成當(dāng)天任務(wù)的15%，后來因機(jī)器維修，最后的 5 天每天只完成當(dāng)天任務(wù)的八成，就這樣，六月份共超額 加工660 個(gè)零件，王師傅原來的任務(wù)是每天加工多少個(gè)零件？解：首先我們知道 6 月有 30 天 將額定每天完成的任務(wù)看作單位 1每天超額 15%，一共工作 30-5=25 (天)每天超額完成 15%，25 天共超額 25X15

33、% = 375%每天完成八成，5 天少完成 5X(1-80%)=100%這個(gè)月共超額完成 375%-100%=275%660 吃 75%=240(個(gè))2、 一堆飼料,3 牛和 5 羊可以吃 15 天,5 牛和 6 羊可以吃 10 天,那 8 牛和 11 羊可 以吃幾天解：將這堆飼料的總量看作單位 1那么3 牛和 5 羊可以吃 15 天，吃的是單位 1 的量，相當(dāng)于每天吃 1/155 牛和 6 羊可以吃 10 天，吃的是單位 1 的量，相當(dāng)于每天吃 1/10我們此時(shí)把 3 牛 5 羊看作一個(gè)整體，5 牛 6 羊看作 1 個(gè)整體，每天吃飼料的1/15+1/10=1/6那么這堆飼料可以供 8 牛 1

34、1 羊吃 1/ （1/6） =6 天分析：此題看作是和工程問題無關(guān)，可是當(dāng)我們把3 牛和 5 羊看作 1 個(gè)整體，5牛和 6 羊看作 1 個(gè)整體以后，就相當(dāng)于把題目變?yōu)榧滓彝瓿? 項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要 15 天，乙單獨(dú)做需要 10 天，甲乙合作需要多少天？是不是這個(gè)意思。如果我們把此題認(rèn)為 8 牛和 11 羊吃 25 天吃的是 2 倍的飼料，然后除以 2，得 出 12.5天，就不對(duì)了，這一點(diǎn)要在學(xué)習(xí)中注意。3、甲、乙合作完成一項(xiàng)工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了十分之一，乙的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了五分之一，甲、乙兩人合作4 小時(shí)，完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨(dú)做了 4 小時(shí)，

35、還剩下這件工作的三十分之十 三沒完成。這項(xiàng)工作甲獨(dú)做需要幾個(gè)小時(shí)才能完成？解：乙獨(dú)做 4 小時(shí)完成全部工程的 1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6乙的工作效率=（1/6）/4=1/24乙獨(dú)做需要 1/（ 1/24）=24 小時(shí)乙工作效率提高 1/5 后為（1/24）x（ 1+1/5）=1/20甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20甲原來的工作效率=（1/20）/（ 1+1/10）=1/22甲單獨(dú)做需要 1/（ 1/22）=22 小時(shí)4、一項(xiàng)工程 A、B 兩人合作 6 天可以完成。如果 A 先做 3 天，B 再接著做 7

36、 天, 可以完成，B 單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？AB 合作，每天可以完成 1/6A 先做 3 天，B 再做 7 天，可以看做 AB 合作 3 天，B 再單獨(dú)做 7-3=4 天AB 合作 3 天，可以完成：1/6 3=1/2B 單獨(dú)做 4 天，完成了 1-1/2=1/2B 單獨(dú)做，每天完成：1/2 豈=1/8B 單獨(dú)完成，需要：1 1/8=8 天5、某工程，由甲乙兩隊(duì)承包，2.4 天可以完成，需支付 1800 元，由乙丙兩隊(duì)承 包，3 又 3/4 天可以完成，需支付 1500 元，由甲丙兩隊(duì)承包，2 又 6/7 天可以 完成，需支付 1600 元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包

37、費(fèi)用最少？甲乙工效和：1/（2 又 5 分之 2）=5/12乙丙工效和：1/（3 又 4 分之 3） =4/15甲丙工效和：1/（2 又 7 分之 6） =7/20甲乙丙工效和：（5/12+4/15+7/20）/2=31/60甲工效：31/60-4/15=1/4乙工效：31/60-7/20=1/6丙工效：31/60-5/12=1/10能在一星期內(nèi)完成的為甲和乙甲乙每天工程款：1800/ (2 又 5 分之 2) =750 元乙丙每天工程款：1500/( 3 又 4 分之 3)=400 元甲丙每天工程款：1600/(2 又 7 分之 6)=560 元甲乙丙每天工程款：(750+400+560)/

38、2=855 元甲每天工程款：855-400=455 元乙每天工程款：855-560=295 元甲總費(fèi)用：455X4=1820 元乙總費(fèi)用：295X6=1770 元所以應(yīng)將工程承包給乙。6、 甲、乙二人同時(shí)開始加工一批零件， 加單獨(dú)做要 20 小時(shí)，乙單獨(dú)做 30 小時(shí)。 現(xiàn)在兩人合作，工作了 15 小時(shí)后完成任務(wù)。已知甲休息了 4 小時(shí)，則乙休息了 幾小時(shí)？總的工作量為單位 1甲的工作效率=1/20乙的工作效率=1/30甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12甲休息 4 小時(shí)，那么甲工作 15-4=11 小時(shí)，甲完成 1/20X1 仁 11/20乙完成 1-11/20=9/20完成這些零件

39、乙需要(9/20) / (1/30) =27/2 小時(shí)那么乙休息 15-27/2=3/2 小時(shí)=1.5 小時(shí)7、一間教室如果讓甲打掃需要 10 分鐘，乙打掃需要 12 分鐘。丙打掃需要 15 分鐘。有同樣的兩間教室 A 和 B。甲在 A 教室，乙在 B 教室同時(shí)開始打掃，丙 先幫助甲打掃， 中途又去幫助乙打掃教室， 最后兩個(gè)教室同時(shí)打掃完， 丙幫助甲 打掃了多長(zhǎng)時(shí)間？(中途丙去乙教室的時(shí)間不計(jì))將工作量看作單位 1甲的工作效率=1/10乙的工作效率=1/12丙的工作效率=1/15甲乙丙合干完成 1 間教室需要 1/ (1/10+1/12+1/15 ) =4 分鐘設(shè)丙幫甲 a 分鐘a 分鐘甲丙完

40、成(1/10+1/15 ) a=a/6那么剩下的 1-a/6 需要甲獨(dú)自完成乙 a 分鐘完成 a/12那么剩下的 1-a/12 需要乙丙完成需要的時(shí)間=(1-a/12 ) / (1/12+1/15 ) = (1-a/12 ) / (3/20)根據(jù)題意(a/6) / (1/10) = (1-a/12 ) / (3/20)10a/6=20/3-5/9a30a=120-10a40a=120a=3 分鐘丙幫乙 3 分鐘 算術(shù)法解兩間教室都是一樣的工作量，那么實(shí)際就是甲乙丙三人共同完成， 上面已經(jīng)解出 完成 1 間需要 4 分鐘，那么完成 2 間需要 4X2=8 分鐘，甲 8 分鐘完成 1/10X8=4

41、/5，那么丙需要完成 1-4/5=1/5所以丙幫甲(1/5) / (1/15) =3 分鐘 那么丙幫乙 8-3=5 分鐘8、 裝配自行車 3 個(gè)工人 2 小時(shí)裝配車架 10 個(gè)，4 個(gè)工人 3 小時(shí)裝配車輪 21 個(gè)?，F(xiàn)有工人 244 人，為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排244 名工人最合適？解：裝配車架的工作效率=10/ (3X2) =5/3 個(gè)/人X小時(shí)裝配車輪的工作效率=21/ (4X3) =7/4 個(gè)從X小時(shí)設(shè) a 個(gè)工人裝配車架，則有 244-a 人裝配車輪aX5/3:(244-a) X7/4=1:2427-7/4a=10a/340a/12+21/12a=42761a/12=427

42、a=84 人裝配車架 84 人裝配車輪 244-84=160 人簡(jiǎn)析：我們要知道在實(shí)際生活中，一輛自行車需要一個(gè)車架和二個(gè)車輪，那么車架和車輪比為 1 : 2，可以稱為隱含條件，大家要注意。9、 光明村計(jì)劃修一條公路，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包，甲工程隊(duì)先修完公路的 1/2 后，乙工程隊(duì)再接著修完余下的公路，共用40 天完成。已知乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修 8 千米，后 20 天比前 20 天多修了 120 千米。求乙工程隊(duì) 共修路多少天？解：因?yàn)橐业墓ぷ餍矢哂诩祝郧?20 天里乙沒有修實(shí)際乙工作了 120/8=15 天此題問題不難，但是關(guān)鍵在于處理前20 天內(nèi)是否有乙工作，如果乙在前

43、20 天工作，那么工期肯定少于 40 天，所以借助畫圖會(huì)更好的理解。10、 張師傅計(jì)劃加工一批零件，如果每小時(shí)比計(jì)劃少加工 2 個(gè)，那么所用的時(shí) 間是原來的 3 分之 4;如果每小時(shí)比計(jì)劃多加工 10 個(gè)，那么所用的時(shí)間比原來 少 1 小時(shí)，這批零件共有多少個(gè)？解：張師傅比計(jì)劃少加工 2 個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來的 3 分之 4,也就是原計(jì)劃用的時(shí)間和實(shí)際用的時(shí)間之比為1 : 4/3=3 : 4那么原來的工作效率和實(shí)際的工作效率之比為4: 3實(shí)際工作效率是原來的 3/4那么原計(jì)劃每小時(shí)加工 2/ (1-3/4) =8 個(gè)如果每小時(shí)多加工 10 個(gè)，那么實(shí)際每小時(shí)加工 8+10=18 個(gè) 原計(jì)劃

44、的工作效率和實(shí)際工作效率之比 =8: 18=4 : 9 那么原計(jì)劃與實(shí)際所用時(shí)間之比為 9: 4實(shí)際用的時(shí)間是原來的 4/9那么原計(jì)劃用的時(shí)間=1/（1-4/9） =9/5=1.8 小時(shí) 那么這批零件有 8X1.8=14.4 個(gè) 或者列方程我們?cè)O(shè)時(shí)針和分針之間距離為 a 格（120+60-a ） /1=a/ （1/12）13a=180a=180/13 格那么離家時(shí)間=（180/13 ） / （1/12 ） =2160/13 分=36/13 小時(shí)2 小時(shí) 46 分附：解答應(yīng)用題的一點(diǎn)心得：1、讀懂題意，把不相關(guān)的語言精簡(jiǎn)掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考得不是數(shù)學(xué)，而是語文的 閱讀能力，還要有轉(zhuǎn)化問題的能力。2、

45、巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個(gè)量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個(gè)更為簡(jiǎn)便，要仔細(xì)斟酌。例如：甲乙二人速度之比為3: 2，在求甲乙的速度時(shí)，我們可以設(shè)甲的速度為 a 千米/小時(shí)，乙為 b 千米/小時(shí)，這就是二元一次方程組；或 者設(shè)甲的速度為 a 千米/小時(shí)，則乙為 2/3a 千米/小時(shí)，這樣雖然是一元一次方程, 但是有分?jǐn)?shù)；或者設(shè)甲的速度為 3a 千米/小時(shí)，乙的速度為 2a 千米/小時(shí) 可見最后的設(shè)法最好。根據(jù)不同的題目設(shè)出未知數(shù)。3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程4、解方程。此時(shí)我們可能會(huì)遇到二個(gè)未知數(shù)，而只能列出一個(gè)方程，我們就要 看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個(gè)數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含

46、條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗(yàn)根5、寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實(shí)這一步恰恰反映出你是否讀懂了 題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要站分?jǐn)?shù)的。6、勤加練習(xí)，熟能生巧。觸類旁通，舉一反三。這是我個(gè)人對(duì)接應(yīng)用題的一點(diǎn)心得，希望對(duì)你有所幫助。一點(diǎn)心得此問題多見于平日練習(xí)之中，比較有代表性，總結(jié)給大家，希望有所幫助，時(shí)間 緊迫，難免有紕漏之處，還望批評(píng)指正。小學(xué)畢業(yè)試題一、填空題。（每空 1 分，共 20 分）1、 一個(gè)數(shù)的億位上是5、萬級(jí)和個(gè)級(jí)的最高位上也是5,其余數(shù)位上都是0,這個(gè)數(shù)寫作，省略萬位后面的尾數(shù)是（）。2、 0.375 的小數(shù)單位是（），它有（）個(gè)這