《數(shù)學(xué)歸納法》課件ppt.

1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法課題引入課題引入不完全歸不完全歸納法納法,1, 1,11nnnnaaaaa 已已知知觀觀察察數(shù)數(shù)列列,212 a,313 a,414 anan1: 猜想歸納通項公式猜想歸納通項公式對于某類事物，由它的一些特殊事對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。結(jié)論的推理方法，叫歸納法。歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法由特殊由特殊 一般一般 特點特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何證明如何證明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*

2、)費馬費馬（Fermat）是）是1717世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n nN N時，時， 一定都是一定都是質(zhì)數(shù)，這是他觀察當(dāng)質(zhì)數(shù)，這是他觀察當(dāng)n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4時時的值都是質(zhì)數(shù)，提出猜想得到的半個世的值都是質(zhì)數(shù)，提出猜想得到的半個世紀(jì)后，紀(jì)后，1818世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)）發(fā)現(xiàn) 4 294 967 2974 294 967 29767004176700417641641，從而否定了費馬的推，從而否定了費馬的推測沒想到當(dāng)測沒想到當(dāng)n n5 5這一結(jié)論便不成立這一結(jié)論便不成立 122n1

3、252舉例說明舉例說明：一個數(shù)列的通項公式是：一個數(shù)列的通項公式是：an= (n25n+5)2請算出請算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜測猜測an?由于由于a525 1，所以猜測是不正確的，所以猜測是不正確的所以由歸納法得到的結(jié)論所以由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠不一定可靠 1111猜測是否正確呢？猜測是否正確呢？1) 55(22nnaNnn，都有對一切思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？下的條件是什么？多米諾骨牌（多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨）是一種用木制、骨制或制或塑料塑料制成的長方形制成的長方形骨牌骨牌。玩時

4、將骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次牌，其余的骨牌就會產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。倒下。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。多米諾是種文化。它起源于多米諾是種文化。它起源于中國中國，有著上千年的

5、歷史。，有著上千年的歷史。 只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：牌就能全部倒下： （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。一定導(dǎo)致后一塊倒下。 （依據(jù)）（依據(jù)） 條件（條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系：當(dāng)）事實上給出了一個遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)诘趉塊倒下時，相鄰的第塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。塊也倒下。思考思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通項公式：你認(rèn)為證明數(shù)列的通項公式 是是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？能類比多米諾骨牌游

6、戲解決這個問題嗎？nan1 （1）第一塊骨牌倒下）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）,1, 1,11nnnnaaaaa 已已知知觀觀察察數(shù)數(shù)列列二、數(shù)學(xué)歸納法的概念：二、數(shù)學(xué)歸納法的概念：證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它們的正確性來證明它們的正確性: :(1)(1)驗證驗證當(dāng)當(dāng)n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時命題成立時命題成立, ,(2)(2)假設(shè)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時命題也成立時命題

7、也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法。驗證驗證n=nn=n0 0時命時命題成立題成立若若當(dāng)當(dāng)n=k(n=k(k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立命題對從命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。都成立。111111證明：證明：1）當(dāng)n =1式，a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立1）當(dāng)n =1式，a = a +(1-1)d = a

8、 ,結(jié)論成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假設(shè)n = k式結(jié)論成立，即a = a +(k-1)d2)假設(shè)n = k式結(jié)論成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1時結(jié)論也成立時結(jié)論也成立那么那么nn1例：已知數(shù)列a 為等差，公差為d, :通項公式為a = a +(n-1)d求證求證

9、nn-1n1已知數(shù)列a 為等為q,求證:通項：公式為a = a qnn-1nn-1練習(xí)練習(xí)比數(shù)列，比數(shù)列，公比公比（提示：a = qa）（提示：a = qa）注意注意 1 1. . 用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎(chǔ)是遞推的基礎(chǔ). . 找準(zhǔn)找準(zhǔn)n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件運用，而命題成立作為必用的條件運用，而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設(shè)利用假設(shè)及已知的定義、

10、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明證明：證明：當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，左邊時，左邊=1=1，右邊，右邊=1=1，等式成立。，等式成立。 假設(shè)假設(shè)n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)時等式成立時等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2， 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時：時： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以當(dāng)所以當(dāng)n=k+1n=k+1時等式也成立。時等式也成立。 由由和和可知，對可知，對nN nN ，原等

11、式都成立。，原等式都成立。例、用數(shù)學(xué)歸納法證明例、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （nN nN ）. . 請問：請問：第第步中步中“當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時時”的證明可否改換為：的證明可否改換為：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?為什么？為什么？（k+1)1+(2k+1)2例例:用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明22222222n(n+1)(2n+1)n(n+1

12、)(2n+1)1 +2 +3 +n =1 +2 +3 +n =6 6注意注意 1 1. . 用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎(chǔ)是遞推的基礎(chǔ). . 找準(zhǔn)找準(zhǔn)n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件運用，而命題成立作為必用的條件運用，而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設(shè)利用假設(shè)及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明例、求證例、求證: :( (n+1)

13、(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)證明：證明： n=1 n=1時：左邊時：左邊=1+1=2=1+1=2，右邊，右邊=2=21 11=21=2，左邊，左邊= =右邊，等右邊，等 式成立。式成立。 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(kN n=k(kN ）時有：）時有： (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時：時： 左邊左邊=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k