高數(shù)下試題2及解答

1、高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期試題一.（20分）計算下列各題：1. 1. Z = 3xy,求 Z x, Z y2. 2. U = x y2 z3,求 U x , U y , U z222x y z ,3. 3. U = e，求 dU4. 4. Z = f （x siny , x）,求 Zx , Z x x.X=t2« y =t, ,3二.（10分）1.已知曲線 T: 、z = t在（-1,1,-1）處的切線及法平面方程。2 .求球面x 2 + y 2 + z 2= 56在Mo （2,4,6）的切平面及法線方程。3 .（6 分）求 Z= x 2 xy + y 2 + 9x - 6y +20 的極值4

2、 .（20分）計算下列各題：! （x 6y）dxdy1 . D, D： y = x, y = 5x, y = 1 圍成區(qū)域。2 .積分換序：將下積分化為先對 X后對Y的積分。1222dx f x , y dy dx f （ x , y ） dy1 11x2 xHe'xy dxdy2223 d, d： x 之 0, y 之 0, x +y wa4222222.計算 1JJ z dV :由曲面：z =x +y , x +y +z =2 億 > 0)Q五.(24分)計算曲線積分：1 .l , L:為由直線y = x及拋物線y = x2所圍區(qū)域邊界。ydx - xdy三2 . l, L:

3、為圓周 x=Rsint, y=Rcost 上對應(yīng) t 從。至U 2的一段弧.(2x - y 4)dx (5y 3x - 6)dy3 .利用格林公式計算曲線積分L,L為三頂點分別為(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界。六.(10分)計算曲面積分：22(x y )ds1 . I= Z, 12: x2+y2-z2=0, 0< z< 1I l xzdxdy7 .工 ,E: x+y+z=1,側(cè)向如圖:七.(10分)求解各題:2,22、(x y ) xdx ydy1 .，02 .驗證(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dylb某函數(shù) u(x,

4、y)的全微分，弁求出該函數(shù) u(x,y).解答一.(20分)計算下列各題：5. 1. Z = 3x y,求 Z x, Z yZx=3yxy-1Zy=3X y InX6. 2. U = x y2 z3,求 U x , U y , U zUx=y2z3Uy=2xyz3Uz=3xy2z2222x y z7. 3. U = e，求 du222dU =(2xdx 2ydy 2zdz)ex y8. 4. Z = f (x siny , x),求 Zx , Z x x.zx =：fi sin y f2zxx =！ filsiny fi2 sin y f2i sin y f22x = t« y =t

5、2,3二.(10分)i.已知曲空曲線r： H=t 在(-i,i,-i)處的切線及法平面 方程。x 1 _ y -1 _ z 1s =1,2,3切線方程為：1 - -2 一 3法平面方程：(x 1) (y-1) 3(z 1) =02 .求球面x 2 + y 2+ z 2= 56在Mo(2,4,6)的切平面及法線方程。設(shè) F = x2 y2 z2 -56Fx = 2x Fy = 2yFz = 2zn =4,8,12切平面：(x-2)+2(y-4)+3(z-6)=0x _ y -'4 _ z -'6法線：1 一 2 一 3三.(8 分)求 Z= x 2 xy + y 2 + 9x -

6、 6y +20 的極值Zx =2x -y 9 ZY =2y- x-6ZX =0,ZY=0 得駐點(-4,1)Zxx=2 Zxy=-1 Zyy - yf(x, y)dx1/yAC-B2 =2 2-1=3 0 A 0二(T1)為極小值點fmin =16+4+1366 + 20 = -1四.（20分）計算下列各題:Df(x+6y)dxdy, D： y = x,y = 5x,y = 1 圍成區(qū)域。dx (x 6y)dx =-(y 02y/5積分換序22 y-)6y(y-y/5)dy =25132 2y dy = 44/2525:將下積分化為先對X后對Y的積分。dxy dydxf ( x , y ) d

7、ydyHe«x 句 dxdyDD: x0,0,22 .2x y - a二/2a2 .du "00r d r= 一 2e“ d(-r2) =-(104a2、-e )計算fff z dV Q :由曲面:z2=x2+y2, x 2+y2+z2=2 (z > 0)解:法一:（先一后二）2 -x2 t2I= . . x2 y2ZdZdC = . (1DxyD xy22 x ,- x -y )dxdy2 二. . 為三頂點分別為（0,0）、（3,0）和 -2、, 二=° d 0(1 -r 9=萬（此法也是后面要介紹的柱面坐標(biāo)系下三重積分計算法）X法二：（先二后一）222

8、 一,22 : D(z)： x +y < z ,0 < z <1 , D1(z)： x +yD2(x)I= g zdz d dxdy + zdz 口 dxdy =兀 /2Di(x)五.（15分）計算曲線積分:l , L:為由直線y = x及拋物線y = x2所圍區(qū)域邊界。原積分=0ydx - xdyL-2、24x dx = 22(R2012<25% -1cos21R2 sin2 t)dt = R2利用格林公式計算曲線積分(2x - y 4)dx (5y 3x - 6)dyL（3,2）的三角形正向邊界。原積分=（3 1）d - =12D六.（10分）計算曲面積分:!(x2y2)dsI= Z, E: x2+y2-z2=0,0<z<l2 二 1I = (x2 y2),2dc = . 2 d” r3dr =D00Ixzdxdy2. £,E: x+y+z=1, 側(cè)向如圖:原積分=11 -x2、x(1 -x-y)d；- dx (x-x )-xydy =1 1231(x -2x x )dx =2o24七.”2(x21.，010分）求解各題:2y2) xdx ydy = x3dx，ii4 y2 ydy =6Q(因為-x:PZ ,故積分與路徑無關(guān)）2.驗證(sin y-y sin x+x)dx+(cos x