高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題答案

1、習(xí)題 7.4習(xí)題7.4.1設(shè)A是一個(gè)n階下三角矩陣。證明：(1)如果A的對(duì)角線元素叫ajj(i,j 1,2, ,n),則A必可對(duì)角化；(2)如果A的對(duì)角線元素an a22ann,且A不是對(duì)角陣，則A不可對(duì)角化。證明：(1)因?yàn)锳是一個(gè)n階下三角矩陣，所以A的特征多項(xiàng)式 為I E A| ( an)( a22)( ann),又因 a. ajj (i, j 1,2, ,n),所以 A 有 n個(gè)不同的特征值，即A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，以這n個(gè)線性無(wú) 關(guān)的特征向量為列構(gòu)成一個(gè)可逆陣 P,則有P1AP為對(duì)角陣，故A必 可對(duì)角化。1(2)假設(shè)A可對(duì)角化，即存在對(duì)角陣B 2,使得An與B相似，進(jìn)而A與B有

2、相同的特征值1, 2, , n。又因?yàn)榫仃嘇的特 征 多 項(xiàng) 式 為 | E A| (a11)n ， 所 以 12 n a11 ， 從 而a11Ba22a11E ， 于 是 對(duì) 于 任 意 非 退 化 矩 陣 X ， 都 有annX 1BX X 1aliEX a11E B,而A不是對(duì)角陣，必有 X 1BX B A,與 假設(shè)矛盾，所以A不可對(duì)角化。習(xí)題7.4.2設(shè)n維線性空間V的線性變換有s個(gè)不同的特征值1, 2,s, Vi是i的特征子空間(i 1,2, ,s)。證明:分別作用分解式兩邊，可得寫成矩陣形式為由于2）可對(duì)角化的充要條件是V V1 V2證明： （ 1 ）取V1 V21211221,

3、2,Vs。Vs的零向量0,寫成分解式有0 ， 其中iVi ， i1,2,s現(xiàn)用 , 2, , s 1s11s12( 1, 2, s), s 是互不相同的，所以矩陣為零，即矩陣B 是可逆的，進(jìn)而有1, 2,這說(shuō)明V1V22) (s1s2s1 ss)BB 1(0,0, ,0)B 1(0,0, ,0)，(0,0,0)( 1,2,Vs的零向量0的分解式是唯一的,Vs是直和。s11s12 的行列式不s1 s(0,0, ,0)。故由定義可得）因y川1,2, ,s都是V的子空間，所以有V ViV2Vs。又因 可對(duì)角化，所以有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們定屬于某特征值，即它們都屬于V V2Vs。對(duì)任意的V

4、 ，一定可由n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量線性表示，所以V1V2Vs ，即得( ) 因 VV1V2 Vs ， 所 以 分 別 取Vi(i1,2, ,s) 的 基 ：i1, i2,idi ， i 1,2,s，其中d1 d2 ds n ,進(jìn)而得V的基:11, 12,1d1 , 21, 22,2d2 , s1, s2, sds又知基向量中的每一個(gè)向量都是的特征向量,有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以可對(duì)角化。習(xí)題7.4.3設(shè)D是n階對(duì)角陣，它的特征多項(xiàng)式為D( ) (1)c1(2)c2 (s)cs，其中1, 2, , s兩兩不同。設(shè)V B Mn(F)|BD DB，證明：V是Mn(F)的子空間，且222dimV c1 c2cs 。證明：對(duì) A, B V,即 AD DA, BD DB , k,l F ,有(kA lB)D (kA)D (lB)D k(AD) l(BD) k(DA) l(DB) D(kA lB) ， 所以kA IB V,即V是Mn(F)的子空間。1Ec1設(shè)D2Ec2,則由習(xí)題3.2.2知與D可交換的矩B1陣只能是準(zhǔn)對(duì)角矩陣，即B2