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文檔簡介
1、版高考數(shù)學 3-2-1【考點定位】考綱解讀和近幾年考點分布考綱解讀 考綱原文1了解平行線截割定理,會證直角三角形射影定理2會證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理3會證明相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理考綱解讀近幾年考點分布 幾何證明選講的內容涉及的考點可歸納為:相似三角形的定義與性質;平行線截割定理;直角三角形射影定理;圓周角與圓心角定理;圓的切線的判定定理及性質定理;弦切角的性質;相交弦定理;圓內接四邊形的性質定理和判定定理;切割線定理. 【名師點睛】平行線分線段成比例定理一方面可以判定線段成比例,另一方面,當不能直接證明要證的比例成立時,常用這個定理將兩條線段
2、的比轉化為另外兩條線段的比考點二、相似三角形判定與性質例2、在abc中,abac,d為腰ab上一點,addc,且ad2ab·bd,求證:a36°.【證明】過點d作debc,交ac于e.edcbcd,bdce.ad2ab·bd,addc,abac,.又ecddca,ecddca,edca.又adcd,adce,bcdacda,bcabcdacd2a.又abac,bbca2a.abbca5a180°,a36°.【名師點睛】運用相似三角形性質解題的關鍵在于求出相似比,在具體論證過程中,往往是相似三角形的判定定理和性質定理結合運用,由判定三角形相似得到
3、角相等或對應線段成比例的過程反復運用,從而到達解決問題的目的考點三、直角三角形射影定理例3、如圖,在rtabc中,bac90°,adbc于d,dfac于f,deab于e.試證明:(1)ab·acbc·ad;(2)ad3bc·cf·be.【證明】(1)rtabc中,adbc,sabcab·acbc·ad.ab·acbc·ad.(2)rtadb中,deab,由射影定理可得bd2be·ab,同理cd2cf·acbd2·cd2be·ab·cf·ac.又r
4、tbac中,adbc,ad2bd·dc,ad4be·ab·cf·ac,又ab·acbc·ad.即ad3bc·cf·be.考點五、圓的切線的性質及判定例5、在abc中,c90°,be是角平分線,debe交ab于d,o是bde的外接圓求證:ac是o的切線【證明】連接oe,因為oeob,所以oebobe. 又因為be平分cbd,所以cbeobe,所以oebcbe,所以eocb.因為c90°,所以aeo90°,即acoe.因為oe為o的半徑,所以ac是o的切線【名師點睛】證明直線是圓的切線的方
5、法:假設直線經過圓上某點(或直線與圓有公共點),那么連接圓心和這個公共點,設法證明直線垂直于這條半徑;如果條件中直線與圓的公共點不明確(或沒有公共點),那么應過圓心作直線的垂線,得到垂線段,設法證明這條垂線段的長等于圓半徑考點六、圓周角和弦切角例6、如圖,圓上的弧,過c點的圓的切線與ba的延長線交于e點,證明:(1)acebcd;(2)bc2be×cd.【證明】(1)因為,所以bcdabc.又因為ec與圓相切于點c,故aceabc,所以acebcd.(2)因為ecbcdb,ebcbcd,所以bdcecb,故,即bc2be×cd.【名師點睛】(1)圓周角定理及其推論與弦切角定
6、理及其推論多用于推出角的關系,從而證明三角形全等或相似,可求線段或角的大小(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化;關于圓周上的點,常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角【名師點睛】涉及與圓有關的等積線段或成比例的線段,常利用圓周角或弦切角證明三角形相似,在相似三角形中尋找比例線段;也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例,在實際應用中,一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理,涉及兩條割線就要想到割線定理,見到切線和割線時要注意應用切割線定理【三年高考】10、11、12高考試題及其解析12高考試題及其解析一、填空題選擇題 高考天津文如圖,和是圓的兩條弦,過點作圓的切線與的
7、延長線相交于.過點作的平行線與圓交于點,與相交于點,那么線段的長為_.【解析】如圖連結bc,be,那么1=2,2=a,又b=b,代入數(shù)值得bc=2,ac=4,又由平行線等分線段定理得,解得cd=. 高考陜西文如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,垂足為f,假設,那么_. 【解析】,在中,4 高考江西理在直角三角形abc中,點d是斜邊ab的中點,點p為線段cd的中點,那么=a2b4c5d10【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令,那么, , ,所以.5 高考北京理如圖,acb=90°,cdab于點d,以bd為直徑的圓與bc交于點e,那么ace·cb=ad·d
8、bbce·cb=ad·ab cad·ab= dce·eb= 【解析】由切割線定理可知,在直角中,那么由射影定理可知,所以. 高考陜西理如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,垂足為f,假設,那么_.【解析】,在中,cbado.高考湖北理(選修4-1:幾何證明選講)如圖,點d在的弦ab上移動,連接od,過點d 作的垂線交于點c,那么cd的最大值為_. 【解析】 (由于因此,線段長為定值, 即需求解線段長度的最小值,根據(jù)弦中點到圓心的距離最短,此 時為的中點,點與點重合,因此. 高考廣東理(幾何證明選講)如圖3,圓的半徑為1,、是圓周上的三點,滿足,
9、過點作圓的切線與的延長線交于點,那么_.【解析】連接,那么,因為,所以. 二、解答題高考遼寧文選修41:幾何證明選講如圖,o和相交于兩點,過a作兩圓的切線分別交兩圓于c,d兩點,連接db并延長交o于點e.證明();() .此題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質,考查推理論證能力和數(shù)形結合思想,重在考查對平面幾何根底知識、根本方法的掌握,難度較小。證明:1由與相切于,得,同理,所以。從而,即 4分2由與相切于,得,又,得從而,即,綜合1的結論, 10分高考新課標理選修4-1:幾何證明選講如圖,分別為邊的中點,直線交的外接圓于兩點,假設,證明:(1);(2)【解析】(1), (2) 高
10、考遼寧理選修41:幾何證明選講 如圖,o和相交于兩點,過a作兩圓的切線分別交兩圓于c,d兩點,連接db并延長交o于點e.證明();() .此題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質,考查推理論證能力和數(shù)形結合思想,重在考查對平面幾何根底知識、根本方法的掌握,難度較小。證明:1由與相切于,得,同理,所以。從而,即 4分2由與相切于,得,又,得從而,即,綜合1的結論, 10分【點評】此題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質,考查推理論證能力和數(shù)形結合思想,重在考查對平面幾何根底知識、根本方法的掌握,難度較小. 11年高考試題及解析一、選擇題 北京理5如圖,ad,ae,bc分別與圓
11、o切于點d,e,f,延長af與圓o交于另一點g。給出以下三個結論:ad+ae=ab+bc+ca;af·ag=ad·aeafb adg其中正確結論的序號是a bc d【答案】a二、填空題1.天津理12如圖,圓中兩條弦與相交于點,是延長線上一點,且假設與圓相切,那么線段的長為_.【答案】5.廣東理15幾何證明選講選做題如圖4,過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于,,且=7,是圓上一點使得=5,=, 那么= ?!敬鸢浮?.遼寧理22如圖,a,b,c,d四點在同一圓上,ad的延長線與bc的延長線交于e點,且ec=edi證明:cd/ab;ii延長cd到f,延長dc到g,使得ef=eg
12、,證明:a,b,g,f四點共圓證明:i因為ec=ed,所以edc=ecd.因為a,b,c,d四點在同一圓上,所以edc=eba.故ecd=eba,所以cd/ab.5分ii由i知,ae=be,因為ef=fg,故efd=egc從而fed=gec.連結af,bg,那么efaegb,故fae=gbe,又cd/ab,edc=ecd,所以fab=gba.所以afg+gba=180°.故a,b,g,f四點共圓 10分x2=12.故 ad=2,ab=12.取ce的中點g,db的中點f,分別過g,f作ac,ab的垂線,兩垂線相交于h點,連接dh.因為c,b,d,e四點共圓,所以c,b,d,e四點所在圓
13、的圓心為h,半徑為dh.由于a=900,故ghab,hfac. hf=ag=5,df= (12-2)=5.故c,b,d,e四點所在圓的半徑為高考試題及解析一、填空題1.北京理如圖,的弦ed,cb的延長線交于點a。假設bdae,ab4, bc2, ad3,那么de ;ce 。【答案】5 2.天津文11如圖,四邊形abcd是圓o的內接四邊形,延長ab和dc相交于點p。假設pb=1,pd=3,那么的值為 ?!敬鸢浮俊窘馕觥看祟}主要考查四點共圓的性質與相似三角形的性質,屬于容易題。因為a,b,c,d四點共圓,所以,因為為公共角,所以pbcpab,所以= 【溫馨提示】四點共圓時四邊形對角互補,圓與三角形
14、綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內容,也是考查的熱點。3.天津理如圖,四邊形abcd是圓o的內接四邊形,延長ab和dc相交于點p,假設,那么的值為 。4.廣東理幾何證明選講選做題如圖3,ab,cd是半徑為a的圓o的兩條弦,它們相交于ab的中點p,pd=,oap=30°,那么cp_.【答案】因為點p是ab的中點,由垂徑定理知, .在中,.由相交線定理知,即,所以二、簡答題6.江蘇卷21.選做題此題包括a、b、c、d四小題,請選定其中兩題,并在相應的答題區(qū)域內作答。假設多做,那么按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。a 選修4-1:幾何證明選講本小題總分值10分
15、ab是圓o的直徑,d為圓o上一點,過d作圓o的切線交ab延長線于點c,假設da=dc,求證:ab=2bc。解析 此題主要考查三角形、圓的有關知識,考查推理論證能力。方法一證明:連結od,那么:oddc, 又oa=od,da=dc,所以dao=oda=dco, doc=dao+oda=2dco,所以dco=300,doc=600,所以oc=2od,即ob=bc=od=oa,所以ab=2bc。方法二證明:連結od、bd。因為ab是圓o的直徑,所以adb=900,ab=2 ob。因為dc 是圓o的切線,所以cdo=900。又因為da=dc,所以dac=dca,于是adbcdo,從而ab=co。即2o
16、b=ob+bc,得ob=bc。故ab=2bc。5.3.豐臺二模理11如下圖,ab是圓的直徑,點c在圓上,過點b,c的切線交于點p,ap交圓于d,假設ab=2,ac=1,那么pc=_,pd=_ 答案:,。4.昌平二模理12如圖,是的直徑,切于點,切于點,交的延長線于點.假設,那么=_;=_.答案:1,。5.東城二模理12 如圖,直線與相切于點,割線經過圓心,弦于點,那么 答案:6.海淀二模理12如圖, 圓o的直徑與弦交于點,那么_.答案:。7、【廣東省肇慶市高三第一次模擬理】15幾何證明選講選做題如圖2,點是o外一點,為o的一切線,是切點,割線經過圓心o,假設,那么 8、【廣東省肇慶市高三上學期
17、期末理】14.幾何證明選講選做題如圖3,pab、pcd為o的兩條割線,假設 pa=5,ab=7,cd=11,,那么bd等于 9、【廣東省鎮(zhèn)江一中高三10月模擬理】14幾何證明選講選做題如圖,ab是圓o的直徑,直線和圓o相切于點于c,于d,假設1,那么圓o的面積是 edbaoc【答案】10、【廣東省肇慶市高三第二次模擬理】15.幾何證明選講選做題如圖3,ab的延長線上任取一點c,過c作圓的切線cd,切點為d,的平分線交ad于e,那么 . 【答案】45°.【解析】連接,與相交于點,設,,,而,45°.15幾何證明選講選做題如圖,點為的弦上的一點,連接.,交圓于,假設,那么 .
18、【答案】如圖,圓的直徑,為圓周上一點,過作圓的切線,過作直線的垂線,為垂足, 與圓交于點,那么線段的長為 14【廣東省粵西北九校高三聯(lián)考理】14幾何證明選講選做題如圖,:內接于,點在的延長線上,是的切線,假設, ,那么的長為 ?!敬鸢浮?14幾何證明選講選做題如圖,在中,是的邊上的高,于點,于點,那么 的大小為 ab是圓o的直徑,直線ce和圓o相切于點c,于d,假設ad=1,那么圓o的面積是_。 【答案】【解析】,因為直線ce和圓o相切于點c,連接oc,那么,又,所以oc/ad,又,在直角三角形acb中,,三角形aoc為正三角形,所以,所以,所以,所以圓的面積為。20【廣東省茂名市第二次高考模
19、擬理】15. 幾何證明選做題如圖,是o外一點,為o的切線,為切點,割線經過圓心,假設,那么o的半徑長為 【答案】415幾何證明選講選做題如圖,:內接于,點在的延長線上,是的切線,假設,那么的長為 【答案】22【廣東省韶關市高三模擬理】14幾何證明選講選做題如圖,是圓的直徑,,那么 ; 圖324【廣東省江門市高三調研測試理】幾何證明選講選做題如圖3,圓是的外接圓,過點的切線交的延長線于點, ,那么 【答案】 25【廣東省惠州市高三一模四調考試理數(shù)】15幾何證明選講選做題如圖,直角三角形中,以為直徑作圓交于,那么_第15題圖【答案】【解析】為直徑所對的圓周角,那么,在中,由等面積法有,故得26【廣
20、東省佛山一中高三上學期期中理】15.如圖,eb、ec是o的兩條切線,b、c是切點,a、d是o上兩點,如果e460,dcf320,那么a的大小為 【答案】28【廣東省佛山市高三第二次模擬理科二】15.(幾何證明選做題)如圖,圓中兩條弦與相交于點,是延長線上一點,且,假設與圓相切,那么線段的長為 【答案】29【廣東韶關市高三第一次調研考試理】15幾何證明選講選做題圓的半徑為,從圓外一點引切線和割線,圓心到的距離為,那么切線的長為_.第15小題【答案】30【廣東高三第二學期兩校聯(lián)考理】15幾何證明選做題如圖,四邊形abcd內接于,bc是直徑,mn切于a,那么 . abdcomn【答案】115032【
21、廣州一模理】14幾何證明選講選做題如圖3,圓的半徑為,點是弦的中點,弦過點,且,那么的長為 poabcd圖3【答案】14、幾何證明選講選做題如圖, 與圓相切點,為圓的割線,并且不過圓心,那么 ;圓的半徑等于 是的外接圓,過點的切線交的延長線于點,那么的長為 【答案】22本小題總分值10分選修41:幾何證明選講ad是abc的外角eac的平分線,交bc的延長線于點d,延長da交abc的外接圓于點f,連結fb,fc.1求證:fb=fc;2假設ab是abc外接圓的直徑, eac=120°,bc=6,求ad的長.36、河南豫南九校高三第四次聯(lián)考試題 abc中,ab=ac, d是 abc外接圓劣
22、弧ac弧上的點不與點a,c重合,延長bd至e。acpdoef b37、陜西省高新一中高三第十一次大練習題(幾何證明選講選做題) 如圖,的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為上一點,弧,交于,且,那么_3如圖,o的半徑ob垂直于直徑ac,m為ao上一點,bm的延長線交o于n,過n點的切線交ca的延長線于p。 1求證:pm2=pa·pc2假設o的半徑為,oa=om求:mn的長解:() 連結on,那么,且為等腰三角形,那么, ,3分由條件,根據(jù)切割線定理,有 ,所以5分(),在中,延長bo交于點d,連結dn由條件易知,于是,即,得 8分所以. 10分模擬試題及答案1、(朝陽二模理13)如圖
23、,與圓相切點,為圓的割線,并且不過圓心,那么 12 ;圓的 半徑等于 7 2、昌平二模理12、如圖,中的弦與直徑相交于 點,為延長線上一點,為的切線,為切點,假設,那么_4_, abcdo4、豐臺二模理10如下圖,db,dc是o的兩條切線,a是圓上一點,d=46°,那么a= 67° 5、海淀二模理12如圖,的弦交半徑于點,假設,且為的中點,那么的長為 .6、順義二模理11.如圖,ab,cd是半徑的圓o的兩條弦,它們相交于ab的中點p,,那么_.oabpdc7、西城二模理11如
24、圖,是圓的直徑,在的延長線上,切圓于點.圓半徑為,那么_;的大小為_.8、廣東省深圳市3月高三第一次調研理科幾何證明選講如圖,割線經過圓心o,繞點逆時針旋120°到,連交圓于點,那么 .【解析】在中,又因為,所以abcdo9廣東省深圳市3月高三第一次調研文科幾何證明選講如圖,是半圓的直徑,是半圓上異于的點,垂足為,那么 15. 【解析】根據(jù)射影定理得10、(廣東省江門市高考一模文科)幾何證明選講選做題如圖3,是圓的切線,是圓的割線,假設,那么圓的半徑 13(廣東省廣雅金山佛一中2月高三聯(lián)考理科)幾何證明選講如下圖,ac和ab分別是圓o的切線,b、c 為切點,且oc = 3,ab =
25、4,延長oa到d點,那么abd的面積是_ 14. (廣東省東莞市高三一模理科)幾何證明選講選做題從圓外一點作直線交圓于兩點,且,那么此圓的半徑為 2 . 15(廣東省東莞市高三一模文科)幾何證明選講選做題如圖,的割線過圓心,弦交于點,且,,那么 3 .16廣東省揭陽一中高三一模理科幾何證明選做題如右圖所示,ac和ab分別是圓o的切線,且oc=3,ab=4,延長ao到d點,那么abd的面積是 。17. (幾何證明選做題如圖,:內接于圓,點在的延長線上,是圓的切線,假設,那么的長為 4 .18(廣東省遂溪縣高考第一次模擬數(shù)學文科)幾何證明選講選做題一個等腰三角形abc的底邊ac的長為6,abc的外
26、接圓的半徑長為5,那么abc的面積是 _3或2720 (湖南省懷化市高三第一次模擬理科)如圖,pa切于點a,割線pbc經過o, ob=pb=1, 0a繞著點0逆時針旋轉600到0d,pd交于點e那么pe的長為_.21、文科本小題總分值10分選修4-1:幾何證明選講如圖,直線經過上的點,并且交直線于,連接求證:直線是的切線;假設的半徑為,求的長22、遼寧省錦州市1月高三考試理科本小題10分選修41:幾何證明選講如圖,設為o的任一條不與直線l垂直的直徑,是o與l的公共點,l,l,垂足分別為,且,求證:il是o的切線;ii平分abd證明:連結op,因為acl,bdl,所以ac/bd 又oa=ob,p
27、c=pd,所以op/bd,從而opl因為p在o上,所以l是o的切線5分連結ap,因為l是o的切線,所以bpd=bap又bpd+pbd=90°,bap+pba=90°,所以pba=pbd,即pb平分abd10分0602第二問的證明也可:連結op,角opb等于角dbp;而等腰三角形opb中,角opb等于角obp;故pb平分角abd23、(遼寧省沈陽市高三第二次模擬理科)本小題總分值10分選修41:幾何證明選講如圖6,直線ab過圓心o,交圓o于a、b,直線af交圓o于f不與b重合,直線與圓o相切于c,交ab于e,且與af垂直,垂足為g,連接ac求證:; 證明:連結,是直徑,【一年
28、原創(chuàng)】 1、如下圖,過o外一點p作一條直線與o交于a,b兩點,pa=2,點p到o的切線長pt=4,那么弦ab的長為 【答案】62、如圖,在四邊形abcd中,efbc,fgad,那么的值為_.【解析】由得答案:13、.如圖,在abc中,acb=90°,cdab,d為垂足,假設cd=6 cm,addb=12,那么ad的值是_.【解析】設ad=x cm,db=2x cm,36=2x2,x2=18,x=,ad= cm.答案:6、如圖,abc是o的內接正三角形,弦ef經過bc的中點d,且efab,假設ab=2,那么de的長是_.【解析】由圖知de·df=bd·cd=1,同理
29、eg·fg=1.又dg=ab=1,de(1+fg)=1,fg(1+de)=1,答案:7、如圖,p是o外一點,pd為o的切線,d為切點,割線pef經過圓心o,假設pf=12,pd=,那么efd=_.9、如圖,四邊形abcd內接于圓,延長ab和dc相交于e,eg平分aed,且與bc、ad分別相交于f、g,假設aed=40°,cfg=80°,那么a=_.【解析】eg平分aed,fec=20°,fce=cfg-fec=60°.四邊形abcd內接于圓,a=fce=60°.答案:60°10、那么的值為_.11、,如圖,aeec,ce平分acb,debc,bc=10,ac=6,那么de=_.【解析】aeec,ce平分acb,ac=cf,ae=ef,又debc, de=(bc-ac)=×(10-6)=2.答案:212、四邊形abcd是o的內接四邊形,延長bc到e,bcdecd=32,那么bod等于_.【解析】由圓內接四邊形性質知a=dce,而b
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