（整理版）高考數(shù)學321專題15幾何證明選講（教師）

1、版高考數(shù)學 3-2-1【考點定位】考綱解讀和近幾年考點分布考綱解讀 考綱原文1了解平行線截割定理，會證直角三角形射影定理2會證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理3會證明相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理考綱解讀近幾年考點分布 幾何證明選講的內容涉及的考點可歸納為:相似三角形的定義與性質;平行線截割定理;直角三角形射影定理;圓周角與圓心角定理;圓的切線的判定定理及性質定理;弦切角的性質;相交弦定理;圓內接四邊形的性質定理和判定定理;切割線定理. 【名師點睛】平行線分線段成比例定理一方面可以判定線段成比例，另一方面，當不能直接證明要證的比例成立時，常用這個定理將兩條線段

2、的比轉化為另外兩條線段的比考點二、相似三角形判定與性質例2、在abc中，abac，d為腰ab上一點，addc，且ad2ab·bd，求證：a36°.【證明】過點d作debc，交ac于e.edcbcd，bdce.ad2ab·bd，addc，abac，.又ecddca，ecddca，edca.又adcd，adce，bcdacda，bcabcdacd2a.又abac，bbca2a.abbca5a180°，a36°.【名師點睛】運用相似三角形性質解題的關鍵在于求出相似比，在具體論證過程中，往往是相似三角形的判定定理和性質定理結合運用，由判定三角形相似得到

3、角相等或對應線段成比例的過程反復運用，從而到達解決問題的目的考點三、直角三角形射影定理例3、如圖，在rtabc中，bac90°，adbc于d，dfac于f，deab于e.試證明：(1)ab·acbc·ad；(2)ad3bc·cf·be.【證明】(1)rtabc中，adbc，sabcab·acbc·ad.ab·acbc·ad.(2)rtadb中，deab，由射影定理可得bd2be·ab，同理cd2cf·acbd2·cd2be·ab·cf·ac.又r

4、tbac中，adbc，ad2bd·dc，ad4be·ab·cf·ac，又ab·acbc·ad.即ad3bc·cf·be.考點五、圓的切線的性質及判定例5、在abc中，c90°，be是角平分線，debe交ab于d，o是bde的外接圓求證：ac是o的切線【證明】連接oe，因為oeob，所以oebobe. 又因為be平分cbd，所以cbeobe，所以oebcbe，所以eocb.因為c90°，所以aeo90°，即acoe.因為oe為o的半徑，所以ac是o的切線【名師點睛】證明直線是圓的切線的方

5、法：假設直線經過圓上某點(或直線與圓有公共點)，那么連接圓心和這個公共點，設法證明直線垂直于這條半徑；如果條件中直線與圓的公共點不明確(或沒有公共點),那么應過圓心作直線的垂線，得到垂線段，設法證明這條垂線段的長等于圓半徑考點六、圓周角和弦切角例6、如圖，圓上的弧，過c點的圓的切線與ba的延長線交于e點，證明：(1)acebcd；(2)bc2be×cd.【證明】(1)因為，所以bcdabc.又因為ec與圓相切于點c，故aceabc，所以acebcd.(2)因為ecbcdb，ebcbcd，所以bdcecb，故，即bc2be×cd.【名師點睛】(1)圓周角定理及其推論與弦切角定

6、理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角【名師點睛】涉及與圓有關的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似,在相似三角形中尋找比例線段;也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實際應用中，一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應用切割線定理【三年高考】10、11、12高考試題及其解析12高考試題及其解析一、填空題選擇題 高考天津文如圖,和是圓的兩條弦,過點作圓的切線與的

7、延長線相交于.過點作的平行線與圓交于點,與相交于點,那么線段的長為_.【解析】如圖連結bc,be,那么1=2,2=a,又b=b,代入數(shù)值得bc=2,ac=4,又由平行線等分線段定理得,解得cd=. 高考陜西文如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,垂足為f,假設,那么_. 【解析】,在中,4 高考江西理在直角三角形abc中,點d是斜邊ab的中點,點p為線段cd的中點,那么=a2b4c5d10【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令,那么, , ,所以.5 高考北京理如圖,acb=90°,cdab于點d,以bd為直徑的圓與bc交于點e,那么ace·cb=ad·d

8、bbce·cb=ad·ab cad·ab= dce·eb= 【解析】由切割線定理可知,在直角中,那么由射影定理可知,所以. 高考陜西理如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,垂足為f,假設,那么_.【解析】,在中,cbado.高考湖北理(選修4-1:幾何證明選講)如圖,點d在的弦ab上移動,連接od,過點d 作的垂線交于點c,那么cd的最大值為_. 【解析】 (由于因此,線段長為定值, 即需求解線段長度的最小值,根據(jù)弦中點到圓心的距離最短,此 時為的中點,點與點重合,因此. 高考廣東理(幾何證明選講)如圖3,圓的半徑為1,、是圓周上的三點,滿足,

9、過點作圓的切線與的延長線交于點,那么_.【解析】連接,那么,因為,所以. 二、解答題高考遼寧文選修41:幾何證明選講如圖,o和相交于兩點,過a作兩圓的切線分別交兩圓于c,d兩點,連接db并延長交o于點e.證明();() .此題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質，考查推理論證能力和數(shù)形結合思想，重在考查對平面幾何根底知識、根本方法的掌握，難度較小。證明：1由與相切于，得，同理，所以。從而，即 4分2由與相切于，得，又，得從而，即，綜合1的結論， 10分高考新課標理選修4-1:幾何證明選講如圖,分別為邊的中點,直線交的外接圓于兩點,假設,證明:(1);(2)【解析】(1), (2) 高

10、考遼寧理選修41:幾何證明選講 如圖,o和相交于兩點,過a作兩圓的切線分別交兩圓于c,d兩點,連接db并延長交o于點e.證明();() .此題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質，考查推理論證能力和數(shù)形結合思想，重在考查對平面幾何根底知識、根本方法的掌握，難度較小。證明：1由與相切于，得，同理，所以。從而，即 4分2由與相切于，得，又，得從而，即，綜合1的結論， 10分【點評】此題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質,考查推理論證能力和數(shù)形結合思想,重在考查對平面幾何根底知識、根本方法的掌握,難度較小. 11年高考試題及解析一、選擇題 北京理5如圖，ad，ae，bc分別與圓

11、o切于點d，e，f，延長af與圓o交于另一點g。給出以下三個結論：ad+ae=ab+bc+ca；af·ag=ad·aeafb adg其中正確結論的序號是a bc d【答案】a二、填空題1.天津理12如圖，圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點，且假設與圓相切，那么線段的長為_.【答案】5.廣東理15幾何證明選講選做題如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于,，且=7，是圓上一點使得=5，=, 那么= ?！敬鸢浮?.遼寧理22如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交于e點，且ec=edi證明：cd/ab；ii延長cd到f，延長dc到g，使得ef=eg

12、，證明：a，b，g，f四點共圓證明：i因為ec=ed，所以edc=ecd.因為a，b，c，d四點在同一圓上，所以edc=eba.故ecd=eba，所以cd/ab.5分ii由i知，ae=be，因為ef=fg，故efd=egc從而fed=gec.連結af，bg，那么efaegb，故fae=gbe，又cd/ab，edc=ecd，所以fab=gba.所以afg+gba=180°.故a，b，g，f四點共圓 10分x2=12.故 ad=2，ab=12.取ce的中點g，db的中點f，分別過g，f作ac，ab的垂線，兩垂線相交于h點，連接dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓

13、的圓心為h，半徑為dh.由于a=900，故ghab，hfac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.故c，b，d，e四點所在圓的半徑為高考試題及解析一、填空題1.北京理如圖，的弦ed，cb的延長線交于點a。假設bdae，ab4, bc2, ad3,那么de ；ce 。【答案】5 2.天津文11如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交于點p。假設pb=1，pd=3，那么的值為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥看祟}主要考查四點共圓的性質與相似三角形的性質，屬于容易題。因為a,b,c,d四點共圓，所以,因為為公共角，所以pbcpab,所以= 【溫馨提示】四點共圓時四邊形對角互補，圓與三角形

14、綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內容，也是考查的熱點。3.天津理如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交于點p，假設,那么的值為 。4.廣東理幾何證明選講選做題如圖3，ab，cd是半徑為a的圓o的兩條弦，它們相交于ab的中點p，pd=，oap=30°，那么cp_.【答案】因為點p是ab的中點，由垂徑定理知， .在中，.由相交線定理知，即，所以二、簡答題6.江蘇卷21.選做題此題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答。假設多做，那么按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。a 選修4-1：幾何證明選講本小題總分值10分

15、ab是圓o的直徑，d為圓o上一點，過d作圓o的切線交ab延長線于點c，假設da=dc，求證：ab=2bc。解析 此題主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證能力。方法一證明：連結od，那么：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。方法二證明：連結od、bd。因為ab是圓o的直徑，所以adb=900，ab=2 ob。因為dc 是圓o的切線，所以cdo=900。又因為da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，從而ab=co。即2o

16、b=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。5.3.豐臺二模理11如下圖，ab是圓的直徑，點c在圓上，過點b，c的切線交于點p，ap交圓于d，假設ab=2，ac=1，那么pc=_，pd=_ 答案：，。4.昌平二模理12如圖，是的直徑，切于點，切于點，交的延長線于點.假設，那么=_;=_.答案：1，。5.東城二模理12 如圖，直線與相切于點，割線經過圓心，弦于點，那么 答案：6.海淀二模理12如圖， 圓o的直徑與弦交于點，那么_.答案：。7、【廣東省肇慶市高三第一次模擬理】15幾何證明選講選做題如圖2，點是o外一點，為o的一切線,是切點，割線經過圓心o，假設，那么 8、【廣東省肇慶市高三上學期

17、期末理】14.幾何證明選講選做題如圖3,pab、pcd為o的兩條割線,假設 pa=5,ab=7,cd=11,，那么bd等于 9、【廣東省鎮(zhèn)江一中高三10月模擬理】14幾何證明選講選做題如圖，ab是圓o的直徑，直線和圓o相切于點于c，于d，假設1，那么圓o的面積是 edbaoc【答案】10、【廣東省肇慶市高三第二次模擬理】15.幾何證明選講選做題如圖3，ab的延長線上任取一點c，過c作圓的切線cd，切點為d，的平分線交ad于e,那么 . 【答案】45°.【解析】連接，與相交于點，設，,，而，45°.15幾何證明選講選做題如圖，點為的弦上的一點，連接.，交圓于，假設，那么 .

18、【答案】如圖，圓的直徑，為圓周上一點，過作圓的切線，過作直線的垂線，為垂足， 與圓交于點，那么線段的長為 14【廣東省粵西北九校高三聯(lián)考理】14幾何證明選講選做題如圖，：內接于，點在的延長線上，是的切線，假設， ，那么的長為 ?！敬鸢浮?14幾何證明選講選做題如圖，在中，是的邊上的高，于點，于點，那么 的大小為 ab是圓o的直徑，直線ce和圓o相切于點c，于d，假設ad=1，那么圓o的面積是_。 【答案】【解析】，因為直線ce和圓o相切于點c，連接oc，那么,又，所以oc/ad,又，在直角三角形acb中，,三角形aoc為正三角形，所以,所以,所以,所以圓的面積為。20【廣東省茂名市第二次高考模

19、擬理】15. 幾何證明選做題如圖，是o外一點，為o的切線，為切點，割線經過圓心，假設，那么o的半徑長為 【答案】415幾何證明選講選做題如圖，：內接于，點在的延長線上，是的切線，假設，那么的長為 【答案】22【廣東省韶關市高三模擬理】14幾何證明選講選做題如圖，是圓的直徑，,那么 ; 圖324【廣東省江門市高三調研測試理】幾何證明選講選做題如圖3，圓是的外接圓，過點的切線交的延長線于點， ，那么 【答案】 25【廣東省惠州市高三一模四調考試理數(shù)】15幾何證明選講選做題如圖，直角三角形中，以為直徑作圓交于，那么_第15題圖【答案】【解析】為直徑所對的圓周角，那么，在中，由等面積法有，故得26【廣

20、東省佛山一中高三上學期期中理】15.如圖，eb、ec是o的兩條切線，b、c是切點，a、d是o上兩點，如果e460，dcf320，那么a的大小為 【答案】28【廣東省佛山市高三第二次模擬理科二】15.(幾何證明選做題)如圖,圓中兩條弦與相交于點,是延長線上一點,且,假設與圓相切,那么線段的長為 【答案】29【廣東韶關市高三第一次調研考試理】15幾何證明選講選做題圓的半徑為，從圓外一點引切線和割線，圓心到的距離為，那么切線的長為_.第15小題【答案】30【廣東高三第二學期兩校聯(lián)考理】15幾何證明選做題如圖，四邊形abcd內接于，bc是直徑，mn切于a，那么 . abdcomn【答案】115032【

21、廣州一模理】14幾何證明選講選做題如圖3，圓的半徑為，點是弦的中點，弦過點，且，那么的長為 poabcd圖3【答案】14、幾何證明選講選做題如圖， 與圓相切點，為圓的割線，并且不過圓心，那么 ；圓的半徑等于 是的外接圓，過點的切線交的延長線于點，那么的長為 【答案】22本小題總分值10分選修41：幾何證明選講ad是abc的外角eac的平分線，交bc的延長線于點d，延長da交abc的外接圓于點f，連結fb，fc.1求證：fb=fc；2假設ab是abc外接圓的直徑， eac=120°，bc=6，求ad的長.36、河南豫南九校高三第四次聯(lián)考試題 abc中，ab=ac, d是 abc外接圓劣

22、弧ac弧上的點不與點a,c重合，延長bd至e。acpdoef b37、陜西省高新一中高三第十一次大練習題(幾何證明選講選做題) 如圖，的直徑的延長線與弦的延長線相交于點，為上一點，弧，交于，且，那么_3如圖，o的半徑ob垂直于直徑ac，m為ao上一點，bm的延長線交o于n,過n點的切線交ca的延長線于p。 1求證：pm2=pa·pc2假設o的半徑為，oa=om求：mn的長解：() 連結on，那么，且為等腰三角形，那么， ，3分由條件，根據(jù)切割線定理，有 ，所以5分()，在中，延長bo交于點d，連結dn由條件易知，于是，即，得 8分所以. 10分模擬試題及答案1、(朝陽二模理13)如圖

23、，與圓相切點，為圓的割線，并且不過圓心，那么 12 ；圓的 半徑等于 7 2、昌平二模理12、如圖，中的弦與直徑相交于 點，為延長線上一點，為的切線，為切點，假設，那么_4_,           abcdo4、豐臺二模理10如下圖，db，dc是o的兩條切線，a是圓上一點，d=46°，那么a= 67° 5、海淀二模理12如圖，的弦交半徑于點，假設，且為的中點，那么的長為 .6、順義二模理11.如圖，ab,cd是半徑的圓o的兩條弦，它們相交于ab的中點p，,那么_.oabpdc7、西城二模理11如

24、圖，是圓的直徑，在的延長線上，切圓于點.圓半徑為，那么_；的大小為_.8、廣東省深圳市3月高三第一次調研理科幾何證明選講如圖，割線經過圓心o，繞點逆時針旋120°到，連交圓于點，那么 .【解析】在中，又因為，所以abcdo9廣東省深圳市3月高三第一次調研文科幾何證明選講如圖，是半圓的直徑，是半圓上異于的點，垂足為，那么 15. 【解析】根據(jù)射影定理得10、(廣東省江門市高考一模文科)幾何證明選講選做題如圖3，是圓的切線，是圓的割線，假設，那么圓的半徑 13(廣東省廣雅金山佛一中2月高三聯(lián)考理科)幾何證明選講如下圖，ac和ab分別是圓o的切線，b、c 為切點,且oc = 3，ab =

25、4，延長oa到d點，那么abd的面積是_ 14. (廣東省東莞市高三一模理科)幾何證明選講選做題從圓外一點作直線交圓于兩點，且,那么此圓的半徑為 2 . 15(廣東省東莞市高三一模文科)幾何證明選講選做題如圖，的割線過圓心，弦交于點，且,，那么 3 .16廣東省揭陽一中高三一模理科幾何證明選做題如右圖所示，ac和ab分別是圓o的切線，且oc=3，ab=4，延長ao到d點，那么abd的面積是 。17. (幾何證明選做題如圖,:內接于圓，點在的延長線上，是圓的切線，假設,那么的長為 4 .18(廣東省遂溪縣高考第一次模擬數(shù)學文科)幾何證明選講選做題一個等腰三角形abc的底邊ac的長為6，abc的外

26、接圓的半徑長為5，那么abc的面積是 _3或2720 (湖南省懷化市高三第一次模擬理科)如圖，pa切于點a，割線pbc經過o, ob=pb=1, 0a繞著點0逆時針旋轉600到0d，pd交于點e那么pe的長為_.21、文科本小題總分值10分選修4-1：幾何證明選講如圖，直線經過上的點，并且交直線于，連接求證：直線是的切線；假設的半徑為，求的長22、遼寧省錦州市1月高三考試理科本小題10分選修41：幾何證明選講如圖，設為o的任一條不與直線l垂直的直徑，是o與l的公共點,l，l，垂足分別為，且，求證：il是o的切線；ii平分abd證明：連結op，因為acl，bdl，所以ac/bd 又oa=ob，p

27、c=pd，所以op/bd，從而opl因為p在o上，所以l是o的切線5分連結ap，因為l是o的切線，所以bpd=bap又bpd+pbd=90°，bap+pba=90°，所以pba=pbd，即pb平分abd10分0602第二問的證明也可：連結op，角opb等于角dbp；而等腰三角形opb中，角opb等于角obp；故pb平分角abd23、(遼寧省沈陽市高三第二次模擬理科)本小題總分值10分選修41：幾何證明選講如圖6，直線ab過圓心o，交圓o于a、b，直線af交圓o于f不與b重合，直線與圓o相切于c，交ab于e，且與af垂直，垂足為g，連接ac求證：； 證明：連結，是直徑，【一年

28、原創(chuàng)】 1、如下圖，過o外一點p作一條直線與o交于a，b兩點，pa=2，點p到o的切線長pt=4，那么弦ab的長為 【答案】62、如圖，在四邊形abcd中，efbc，fgad，那么的值為_.【解析】由得答案:13、.如圖，在abc中，acb=90°,cdab,d為垂足，假設cd=6 cm，addb=12，那么ad的值是_.【解析】設ad=x cm,db=2x cm,36=2x2,x2=18,x=,ad= cm.答案:6、如圖，abc是o的內接正三角形，弦ef經過bc的中點d，且efab，假設ab=2，那么de的長是_.【解析】由圖知de·df=bd·cd=1，同理

29、eg·fg=1.又dg=ab=1，de(1+fg)=1，fg(1+de)=1，答案:7、如圖，p是o外一點，pd為o的切線，d為切點，割線pef經過圓心o，假設pf=12,pd=,那么efd=_.9、如圖，四邊形abcd內接于圓，延長ab和dc相交于e，eg平分aed，且與bc、ad分別相交于f、g，假設aed=40°，cfg=80°，那么a=_.【解析】eg平分aed，fec=20°，fce=cfg-fec=60°.四邊形abcd內接于圓，a=fce=60°.答案:60°10、那么的值為_.11、，如圖，aeec，ce平分acb，debc，bc=10，ac=6，那么de=_.【解析】aeec，ce平分acb，ac=cf,ae=ef,又debc， de=(bc-ac)=×(10-6)=2.答案:212、四邊形abcd是o的內接四邊形，延長bc到e,bcdecd=32，那么bod等于_.【解析】由圓內接四邊形性質知a=dce，而b