（整理版）高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講座考點(diǎn)49隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、加*號(hào)的知識(shí)點(diǎn)為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用掌握隨機(jī)變量的期望、方差和正態(tài)分布的概念.1平均數(shù)的計(jì)算方法1如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，xn，那么=x1+x2+xn叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，讀作“x拔 2當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a3加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，xk出現(xiàn)fk次f1+f2+fk=n，那么=2方差的計(jì)算方法1對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，s2=x12+x22+xn2叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差2方差公式: s2=x12+x22+xn

2、2n23當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn中的各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna那么s2=x12+x22+xn2n3數(shù)學(xué)期望: 一般地，假設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnpp1p2pn那么稱 為的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望4數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 5平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，那么有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 6 期望的一個(gè)性質(zhì): 7方差: 衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量方差越大數(shù)據(jù)波動(dòng)越大8標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作9方差的性質(zhì)： ；10二項(xiàng)分布的

3、期望：二項(xiàng)分布:b(n，p)，并記b(k；n，p)01knpe=np, np(1-p) 11正態(tài)分布密度函數(shù)：，0，-x其中是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值； 12正態(tài)分布是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布13正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定，如果隨機(jī)變量n(，2)，根據(jù)定義有：=e，=d正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：1曲線在x軸的上方，與x軸不相交.2曲線關(guān)于直線x =對(duì)稱.3曲線在x =時(shí)位于最高點(diǎn).4當(dāng)x <時(shí)，曲線上升；當(dāng)x >時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近.5當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定.越大，曲線越

4、“矮胖，表示總體越分散；越小，曲線越“瘦高，表示總體的分布越集中.五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原那么，采用比照教學(xué) 14標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)=0、=l時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，-x+其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體n0，1在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 15標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題: 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體n0，1，是總體取值小于的概率，即 ，其中，圖中陰影局部的面積表示為概率 只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，0= 16標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體

5、在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表在這個(gè)表中，對(duì)應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，假設(shè)，那么利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積17小概率事件的含義：發(fā)生概率一般不超過5的事件，即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生 假設(shè)檢驗(yàn)方法的根本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析 假設(shè)檢驗(yàn)方法的操作程序，即“三步曲：一是提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗(yàn)中的a值是否落入(-3，+3)；三是作出判

6、斷 三考點(diǎn)逐個(gè)突破1. 均值與方差的求法例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、期望和方差；(2)假設(shè)ab，e()1，d()11，試求a，b的值解(1)的分布列為01234pe()0×1×2×3×4×1.5，d()(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由d()a2d()，得a2×2.7511即a±2.又e()ae()b

7、，所以當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b4.或即為所求2. 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用例2某投資公司在年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳工程上，現(xiàn)有兩個(gè)工程供選擇：工程一：新能源汽車據(jù)市場調(diào)研，投資到該工程上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；工程二：通信設(shè)備據(jù)市場調(diào)研，投資到該工程上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為、和.(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資工程，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的工程，并說明理由；(2)假設(shè)市場預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的工程長期投資(每一

8、年的利潤和本金繼續(xù)用作投資)，問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)(利潤本金)可以翻一番？(參考數(shù)據(jù)：lg20.3010，lg30.4771)思路點(diǎn)撥首先分別求出按工程一、工程二投資時(shí)，獲利的期望和方差解(1)假設(shè)按“工程一投資，設(shè)獲利1萬元，那么1的分布列為1300150pe(1)300×(150)×200(萬元)假設(shè)按“工程二投資，設(shè)獲利2萬元，那么2的分布列為：25003000pe(2)500×(300)×0×200(萬元)d(1)(300200)2×(150200)2×35000，d(2)(500200)2×(300

9、200)2×(0200)2×140000，所以e(1)e(2)，d(1)<d(2)，這說明雖然工程一、工程二獲利相等，但工程一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇工程一投資(2)假設(shè)n年后總資產(chǎn)可以翻一番，依題意：1000×(1)n，n2，兩邊取對(duì)數(shù)得：n3.8053.所以大約4年后，即在年底總資產(chǎn)可以翻一番3.正態(tài)分布及應(yīng)用例3在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即n(100,100)，總分值為150分(1)試求考試成績位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率；(2)假設(shè)這次考試共有名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)解(1)由n(100,100

10、)知100，10.即考試成績位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率為0.9544.(2)p(90<110)p(10010<10010)0.6826，p(>110)(10.6826)0.1587，p( 90)0.68260.15870.8413.及格人數(shù)為×0.84131683.4.均值與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例4如下圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(：噸)的頻率分布直方圖(1)求直方圖中x的值；(2)假設(shè)將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望思路點(diǎn)撥(1)第(1)小題可根據(jù)概率之和為1求解(2)第(2)小題可根據(jù)x服從二項(xiàng)分