（整理版）高考數(shù)學(xué)考前15天模擬解析分類匯編

1、高考數(shù)學(xué)考前15天模擬解析分類匯編【高考預(yù)測(cè)】1.求異面直線所成的角2.求直線與平面所成的角3.求二面角的大小4.求距離5.利用空間向量解立體幾何中的探索問題6.利用空間向量求角和距離【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn) 1 求異面直線所成的角1如圖11-1，四棱錐pabcd的底面為直角梯形，abdc，dab=90°，pa底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點(diǎn)。1證明：面pad面pcd；2求ac與pb所成的角；3求面amc與面bmc所成二面角a-cm-b的大小?！惧e(cuò)誤解答】 第2問。pa底面abcd，且dab=90°ad、ab、ap兩兩互相垂直，建立如下圖的坐標(biāo)系，那么

2、a0，0，0，c1，1，0，b0，2，0，p0，0，1，=1，1，0，=0，-2，1，cos=ac與pb所成的角為arccos(-).【錯(cuò)解分析】上述錯(cuò)解中有兩個(gè)錯(cuò)誤：1的坐標(biāo)應(yīng)用b的坐標(biāo)減p的坐標(biāo)，=0，2，-1；2異面直線所成角的范圍不正確，公式記憶不準(zhǔn)確，實(shí)際上異面直線所成的角的范圍不正確，公式記憶不準(zhǔn)確，實(shí)際上異面直線所成的角的范圍為0°，90°，而arccos(-)為鈍角，cos=【正確解答】 1pa底面abcd，pacd，又cdad，cd平面pad，又cd 平面pcd，平面圖pad平面pcd。2pa底面abcd，pacd，paab，又adab，可以建立如下圖空間

3、坐標(biāo)系，那么由a0，0，0、c1，1，0、b0，2，0、p0，0，1=1，1，0，=0，2，-1，設(shè)與pb成角為，那么cos=,ac與pb所成的角為arccos.(3) m為pb的中點(diǎn)，m0，1，=0，1，=1，1，0設(shè)n1=(x,y,z)為平面amc的法向量，那么n1,n1,y=z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, n1=(1,-1,2)為平面amc的一個(gè)法向量，同理可求得n2=(1,1,2)為平面bmc的一個(gè)法向量，n1、n2的夾角為arccos,而從圖中可看出a-mc-b為鈍角，二面角a-cm-b的大小為。2如圖11-2，在直四棱術(shù)abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=

4、2，dc=2，aa1=，addc，acbd，垂足為e。1求證bda1c；2求二面角a1-bd-c1的大??；3求異面直線ad與bc1所成角的大小?！惧e(cuò)誤解答】第3問，由ad、dc、dd1兩兩互相垂直，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，a2，0，0、d0，0，0、b2，2，0c10，2，-2，0，0=-2，0，。cos=ad與bc1所成的角為arccos.【錯(cuò)解分析】b點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤,其實(shí)質(zhì)是位置關(guān)系未分析清楚,錯(cuò)誤地認(rèn)為abad,bccd,此題還會(huì)出現(xiàn)以bd為x軸,dc為y軸,dd1為z軸的建立坐標(biāo)系的錯(cuò)誤.【正確解答】 (1) abcda1b1c1d1為直四棱柱。aa1底面abcd，a1c在底面ab

5、cd上的射影為ac，又由ac依三垂線定理可得bda1c。2如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da、dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。連接a1e1、c1e1、ag1。與1同理可證，bda1e1，bdc1e1，a1ec1為二面角a1-bd-c1的平面角。由a12，0、c10，2，、e，得即ea1ec1。二面角a1-bd-c1的大小為90°。此題還可以e為坐標(biāo)原點(diǎn)，eb、ec分別為x軸和y軸，那么z軸與aa1平行，e0，0，0、a10，-1，、c10，3，b，0，0、d-，0，0、a0，-1，0，其中a1、d、a的坐標(biāo)容易求錯(cuò)?！咎貏e提醒】利用空間向量求異面直線所成的角，公式為

6、cos關(guān)鍵是正確地建立坐標(biāo)系進(jìn)而寫出各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤，還會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點(diǎn)的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤。寫點(diǎn)的坐標(biāo)也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)時(shí)要掌握一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，如x軸上的點(diǎn)坐標(biāo)為a，0，0，xoz面上的點(diǎn)坐標(biāo)為a,0,b等，其次還應(yīng)學(xué)會(huì)把某個(gè)平面單獨(dú)分化出來(lái)，利用平面幾何的知識(shí)求解，如本節(jié)的例2，求b的坐標(biāo)?！咀兪接?xùn)練】1正三棱柱abca1b1c1的底面邊長(zhǎng)為2a,高為b，求異面直線ac1和a1b所成的角。答案：如圖：abc-a1b1c1為正三棱柱，aa1平面空間直角坐標(biāo)系.那么a0，0，0、a10，0，b

7、、ba,a,0、c12a,0,b, cos=ac1與a1b所成的角為arc cosac1與a1ba所成的角為-arc cos.2如圖11-4，在棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是d1d，bd的中點(diǎn)，g在cd上，且cg=cd，h為c1g的中點(diǎn)。1求證：efb1c；答案：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，由有e0，0，、f，0、c0，1，0、b11，1，1、g0，01efb1c.2求ef與c1g所成角的余弦；答案：(0,0)-(0,1,1)=(0,-,-1),cos=3求fh的長(zhǎng)。答案：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得h的坐標(biāo)為0，又f，0, (-,),fh=3如圖11-5 四棱錐pabcd的底

8、面abcd是矩形，pa底面abcd，pa=ab=1，bc=2。1求證：平面pad平面pcd；答案：由pa平面abcd，又abcd為矩形，cdad, cd平面pad，面pad面pcd.2假設(shè)e是pd的中點(diǎn)，求異面直線ae與pc所成角的余弦值；答案： a(0,0,0)、p0，0，1、d0，2，0，e為pd中點(diǎn)，e(0,1, )、c1，2，0，ae與pc所成角的余弦值為3在bc邊上是否存在一點(diǎn)g，使得d點(diǎn)在平面pag的距離為1，如果存在，求出bg的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：假設(shè)bc邊上存在一點(diǎn)g滿足d到pag的距離為1，設(shè)g1，y ,0,那么=0,0,1=(1,y,0),設(shè)n=(a、b、c)

9、為平面pag的一個(gè)法向量，由n,得c=0,由n，得a+by=0,令a=1,得b=-,n=(1, -,0) 為平面pag的一個(gè)法向量，d=,解得y=,bc上存在一點(diǎn)g，bg=，使得d到平面pag的距離為1.易錯(cuò)點(diǎn) 2 求直線與平面所成的角1精選模擬如圖在三棱錐pabc中，abbc，ab=bc=kpa，點(diǎn)o、d分別是ac、pc的中點(diǎn)，op底面abc。1當(dāng)k=時(shí)，求直線pa與平面pbc所成角的大小；2當(dāng)k取何值時(shí)，o在平面pbc內(nèi)的射影恰好為pbc的重心？【錯(cuò)誤解答】1pooc，poob，又ab=bc，o為ac的中點(diǎn)，booc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob、oc、op所在直線x、y、z軸建立穿間直

10、角坐標(biāo)系，那么o0，0，0、c0，a,0其中設(shè)ac=2a，a0，-a,0p(0,0,)、ba,0,0=(0,-a,-a),= (a,0,-a)=(0,a,-a),設(shè)n=x,y,z為平面pbc的一個(gè)法向量，由n,得ax-az=0,由n,得ay-az=0,令x=1,得z=,y=1, n=(1,1, )為平面pbc的一個(gè)法向量，設(shè)pa與平面pbc所成的角為，那么cos=.【錯(cuò)解分析】公式記憶錯(cuò)誤,其實(shí)質(zhì)是未能把直線與平面所成的角與向量的夾角聯(lián)系上, 應(yīng)為直線與平面所成角的正弦值.【正確解答】(1)由錯(cuò)解和錯(cuò)因知,設(shè)pa與平面pbc所成的角為,那么cos=,=arcsin.pa與平面pbc所成的角為a

11、rcsin.(2)設(shè) p(0,0,b),那么=(a,0,-b),=( 0,a,-b),設(shè)g為pbc的重心,那么由穗主坐標(biāo)公式得g(),由og平面pbc, ,得a=b,即po=a，在rtpoa中，pa=a,又ab=a, r=1, 當(dāng)同，其實(shí)質(zhì)還是求點(diǎn)的坐標(biāo)不熟練所致?！菊_解答】 1連接pe、be、cf、fd。在rtped中，pe=，在rtbce中，be=又由ad=bc=pd，cd=ed，pe=be，又f為pb中點(diǎn)，efpb ，又在rtpbc中，cf=pb，在rtpdb中，df=pb，cf=df，efcd，又abcd，efab，ef平面pab；2由pdcd，pdad，又adcd，所以建立如圖11

12、-8所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)bc=a，那么ab=bc=a，得d0，0，0、ca,0,0、a0，a,0ba,a,0、p0，0，a，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得e，f設(shè)n=x,y,z為平面aef的一個(gè)法向量，由n，得為平面aef的一個(gè)法向量，設(shè)ac與平面aef所成的角為，那么sin=ac與平面aef所成的角為arcsin.【特別提醒】求直線與平面所成角的公式為：sin=,其中a為直線上某線段所確定的一個(gè)向量，n為平面的一個(gè)法向量，這個(gè)公式很容易記錯(cuò)，關(guān)鍵是理解，有些學(xué)生從數(shù)形結(jié)合來(lái)看，認(rèn)為n應(yīng)過直線上某個(gè)點(diǎn)，如例4中n應(yīng)過c點(diǎn)，這是錯(cuò)誤的，這里n是平面的任意一個(gè)法向量，再說(shuō)一個(gè)向量過某一個(gè)具體的點(diǎn)這種說(shuō)法也是

13、錯(cuò)誤的?！咀兪接?xùn)練】1 如圖11-9，在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90°ac=2，bc=6，d為a1b1的中點(diǎn)，異面直線cd與a1b垂直。1求直三棱術(shù)abc-a1b1c1的高；答案：以ca、cb、cc1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么由有a12,0,x、b0，6，0、d1，3，x，c0，0，0，其中x為直三棱柱，1，3，x,又a1bcd，·=0，得-2×1+6×3-x2=0,解得x=4或x=-4(舍去)直三棱柱的高為4.2求直線a1b與平面cc1a1c所成的角。答案：由(1)知=(-2，6，-4)，又bc平面acc1a

14、1為平面cc1a1c的個(gè)法向量,又(0，-6，0)sin= 直線a1b與平面cc1a1c所成的角為arc sin 2 如圖，正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面邊長(zhǎng)ab=2，側(cè)棱bb1的長(zhǎng)為4，過點(diǎn)b作b1c的垂線交側(cè)棱cc1于點(diǎn)e，交b1c于點(diǎn)f。1求證：a1c平面bed；答案：以da、dc、dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么d(0，0，0)、a(2，0，0)、a1(2，0，4)、b(2，2，0)，設(shè)e(0，2，x)那么=(-2，0，x)，=(-2，0，-4)，由·=0,得x=1，e(0，2，1)，= (-2，0，1)，=(-2，-2，0)，=(-2，2，-

15、4)，由·=0知a1cbe，·bd=0知a1cbd，a1c平面bed2求a1b與平面bde所成的角是正弦值。答案：由(1)知=(-2，2，-4)為平面bed的一個(gè)法向量，=(0，2，-4),sin=arc sin.a1b與平面bde所成的角為arc sin.3 四棱錐p-abcd如圖，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱pa底面abcd，m、n別為ad、bc的中點(diǎn)，mqpd于q，直線pc與平面pba所成角的正弦值為1求證：平面pmn平面pad；答案：=(2，2，-a)，平面pba的一個(gè)法向量為n=(0，1，0)直線pc與平面pba成角的正弦值為，|cos<,n>|=即,

16、a=2，即pa=23求二面角p-mn-q的余弦值。答案：由()，mn平面pad，知mqmn,mpmn,pmq即為二面角pmnq的平面角而pm=,mq=，md=,cospmq= 二面角p-mn-q的余弦值為易錯(cuò)點(diǎn) 3求二面角的大小1精選模擬在四棱錐v-abcd中，底面abcd是正方形，側(cè)面vad是正三角形，平面vad底面abcd，如圖11-12。1證明：ab平面vad；2求二面角a-vd-b的大小。【錯(cuò)誤解答】2過v作voad于o，由平面vad底面abcd，vo底面abcd，以oa、ov分別為x、z軸建立空間坐標(biāo)系，那么分別算出vad與vbd的法向量n1=0，1，0,n2=1，-1，cos(n1

17、·n2)=-。二面角a-vd-b的大小為【錯(cuò)解分析】認(rèn)為兩平面的法微量是的夾角等于二面角的大小，這是錯(cuò)誤的，實(shí)際上法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)。此題中a-vd-b為一銳二面角?！菊_解答】1平面vad平面abcd，abad，根據(jù)兩面垂直的性質(zhì)和ab平面vad。2過v作voad于o，由平面vad平面abcd，得vo底面abcd，可以建立如釁11-13所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，那么a，0，0、b，1，0、c-，1，0、d-，0，0、v(0,0,)由1知=0，1，0為平面vad的一個(gè)法向量，-1，-1，0，設(shè)n=(x,y,z)為平面vdb的一個(gè)法向量，由n得，x+

18、y=0,令x=1,得y=-1,z=-。cos<,n>=又由圖形知二面角a-vd-b為銳二面角，二面角a-vb-b的大小為arccos.2精選模擬如圖11-14，三棱錐p-abc中，e、f分別是ac、ab的中點(diǎn)，abc、pef都是正三角形，pfab。1證明：pc平面pab；2求二面角p-ab-c的平面角的余弦值；3假設(shè)點(diǎn)p、a、b、c在一個(gè)外表積為12的球面上，求abc的邊長(zhǎng)?！惧e(cuò)誤解答】 以eb、ec、ep分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系?！惧e(cuò)解分析】坐標(biāo)系建立錯(cuò)誤，實(shí)際上beec，peec都可以證得，但pe與eb不垂直，此題用穿間向量來(lái)解沒有用傳統(tǒng)方法來(lái)解方便，建立坐標(biāo)系錯(cuò)誤

19、或不知息樣建立坐標(biāo)系的穿間向量中的常見錯(cuò)誤。2由1知=為平面pab的一個(gè)法向量，=0，0，為平面abc的一個(gè)法向量，cos<>=又由圖形知p-ab-c的平面角的余弦值為。3由球半徑為，又pa、pb、pc兩兩互相垂直，pa2+bp2+pc2=22，得pa=2，ab=2，即正三角形的邊長(zhǎng)為2【特別提醒】利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：1根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角；2根據(jù)兩法向量的方向判斷。實(shí)際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法如三垂線定理作出二面角的平面角簡(jiǎn)單

20、，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來(lái)解?！咀兪接?xùn)練】1 如圖，在三棱錐p-oac中，op、oa、oc兩兩互相垂直，且op=oa=1，oc=2，b為oc的中點(diǎn)。1求異面直線pc與ab所成角的余弦值；答案：解：以oa、oc、op，所在直線為，x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系那么2求點(diǎn)c到平面pab的距離；答案： =(1，0，-1)，=(-1，1，0)，設(shè)n1=(x，y，z)為平面pab的一個(gè)法向量，那么x-z=0,x-y=0，令x=1得n1=(1，1，1)為平面pab的一個(gè)法向量 =(0，-1，0)，d= c到平面pab的距離為3求二面角c-pa-b的大小用反余弦表示。答案： =(-1，2，0)，=(

21、1，0，-1)，設(shè)n2=(x，y，z)為平面pac的一個(gè)法向量，由2y-x=0，x-z=0，令x=1，得n2=(1，1)為平面pac的一個(gè)法向量cosn1,n2>= ,又由圖形知c-pa-b為銳二面角. c-pa-b的大小為.2 如下圖，四棱錐p-abcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa=ad=2，點(diǎn)m、n分別在棱pd、pc上，且pc平面amn。1求證：ampd；答案：解析：(1)由pc平面amn，得pcam，又可得 cd平面pad，cdam，ama平面pcd，ampd 2求二面角p-am-n的大小；答案：以ab、ad、ap為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么由a(0，0，0

22、)，1當(dāng)p為dd1的中點(diǎn)時(shí)，求二面角m-pn=d1的大??；以a1d1為x軸，d1c1為y軸，dd1,為z軸，d1為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系那么d1(0，0，0)、a1(4，0，0)、p(0，0，3)、m(4，1，0)、n(0，3，0)=(4，0，0)，=(0，3，-3)，=(4，1，-3)顯然是面pd1n的法向量設(shè)面pmn的法向量為n=(x，y,z)那么由y=z=2x不妨取n=(1，2，2)，設(shè)與n成角那么cos=arc cos.由題知二面角m-pn-d1大小為arccos. 2在dd1上是否存在點(diǎn)p，使qd1面pmn？假設(shè)存在，求出點(diǎn)p的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；答案：=(-4，2，0)

23、，=(-4，-4，-3) · =(-4，-4，-3)·(-4，2，0)=8oqd1與不垂直 不存在點(diǎn)p使qd1面pmn3假設(shè)p為dd1中點(diǎn)，求三棱錐q=pmn的體積。答案： p(0，0，3)、m(4，1，0)、n(0，3，0)、=(4，1，-3)， =(0，3，-3)，|=由(1)取平面pmn的法向量n=(1，2，2)那么q到平面pnm的距離h=vq-pmn=×spmn·h=×9×4=12易錯(cuò)點(diǎn) 4求距離1精選模擬如圖11-18，直二面角d-ab-e中，四邊形abcd是邊長(zhǎng)為2的正方形，ae=eb，f為ce上的點(diǎn)且bf平面ace。1求

24、證：ae平面bce；2求二面角b-ac-e的大小；3求點(diǎn)d到平面ace的距離?！惧e(cuò)誤解答】 第3問，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab、ad分別為y軸，z軸建立空間坐標(biāo)系，由1知aeb=90°eab=45°，可得e1，1，0，在rtbce中，f分的比為2，f，為平面bce的一個(gè)法向量，0，2，-2，d到平面ace的距離d=【錯(cuò)解分析】點(diǎn)到面的公式用錯(cuò)，求a到平面的距離的公式為其中a為a且與相交的線段所確定的向量，n為平面的任一非零法向量。此題假設(shè)用d到面ace的距離等于b到面ace的距離，而后者即為bf，將會(huì)更簡(jiǎn)單。【正確解答】 1bf平面ace，bfae，又d-ab-e為直二面角，cb

25、ab，cb平面aeb，cbae，ae平面bce。2以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab、ad分別為y軸、z軸建立如釁11-18所示的空間坐標(biāo)系，那么由aeb=90°，ae=eb，得eab=45°，ae=，得e1，1，0，在rtbce中，f分的比為2，f，為平面ace的一個(gè)法向量，平面abc的一人法向量為x軸，取n=(1,0,0), cos(n,)=,又由圖知b-ac-e為銳二面角。b-ac-e的大小為arccos.(3) 0，2，-2, d到平面ace的距離d=2精選模擬如圖11-19，在三棱錐s-abc中，abc是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m、n分別為ab、

26、sb的中點(diǎn)1證明：acsb；2求二面角n-cm-b的大小。3求點(diǎn)b到平面cmn的距離?！惧e(cuò)誤解答】 因?yàn)槠矫鎠ac平面abc，sc平面abc，c為坐標(biāo)原點(diǎn)，cb、cs為y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系?！惧e(cuò)解分析】坐標(biāo)系建立錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)是對(duì)二面垂直的性質(zhì)不熟悉所致，sc與平面abc不垂直?！菊_解答】 取ac中點(diǎn)o，連續(xù)os、ob，sa=sc，ab=bc，acso，acob，又平面sac平面abc，soac，so平面abc，sobo。以oa、ob、oc分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下列圖。1a2，0，0、b0，2，0、c-2，0，0、s0，0，2、m1，0、n0，=-4，0，0，=0，2，-

27、2acsb。2由1得設(shè)n=x,y,z為平面cmn的一個(gè)法向量，那么可得n=為平面cmn的一個(gè)法向量，又=0，0，2為平面abc的一個(gè)法向量， cos<n,>=又由圖知二面角n-cm-b的大小為銳角，二面角n-cm-b的大小為arccos。3由1、2得為平面cmn的一個(gè)法向量。點(diǎn)b到平面cmn的距離d=【特別提醒】立體幾何中的距離以點(diǎn)到面的距離最為重要利用空間和量求點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵是對(duì)公y，z)為平面pef的一個(gè)法向量，那么由n,得2x+4y-2z=0，由n得4x+2y-2z=0，令x=1，得y=1，z=3，n=(1，1，3)為平面pef的一個(gè)法向量d=2 如圖：正四棱柱abcda1

28、b1c1d1的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是3，點(diǎn)e、f分別在bb1、dd1上，且aea1b，afa2c。1求證：a1c平面aef；答案：cb平面a1b，a1c在平面a1b上的射影為a1b，又a1bae,ae平面a1ba1cae同理a1caf，a1c平面aef2求二面角a-ef-b的大?。淮鸢福阂詃為坐標(biāo)原點(diǎn)，以da、dc、dd1在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么d(0，0，0)、a(，0，0)、a1(，0，3)、c(0，0)，由(1)知=(-，-3)為平面aef的一個(gè)法向量，設(shè)n為平面aeb的一個(gè)法向量，可以算得f(0，0，1)、e(，1)，=(0，0，1)、 (-，-,0)，由n,得

29、z=0，n，得x+y=0，令1求二面角p-ac-b的大??；答案：設(shè)o為bc中點(diǎn)，那么可證明po面abc，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，那么a，-a,0、b-a,0,0、c(a,0,0)、p0，0，ac中點(diǎn)d，abac，pa=pc，pdac，cos<>即為二面角p-ac-b的余弦值。而cos<>=二面角p-ac-b的大小為60°2求點(diǎn)b到平面pac的距離。答案：由1知=n=(x,y,z)為平面pac的一個(gè)法向量，那么由nb到平面pac的距離為.【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】難點(diǎn) 1 利用空間向量解立幾中的探索性問題1如圖11-23，pd面abcd，abcd為正方形，ab=2，e

30、是pb的中點(diǎn)，且異面直線dp與ae所成的角的余弦為。 試在平面pad內(nèi)求一點(diǎn)f，使ef平面pcb?！窘馕觥?建立空間坐標(biāo)系，dp與ae所成的角的余弦為，求出e的坐標(biāo)，再設(shè)f的坐標(biāo)，得用求解。【答案】 以da、dc、dp所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖11-24所示的穿間直角坐標(biāo)系，那么a2，0，0、b2，2，0、c0，2，0，設(shè)p0，0，2m那么e1，1，m，cos<>= 得m=1.p(0,0,2),e(1,1,1)f平面pad，可設(shè)fx,0,z,=(x-1,-1,z-1)、ef平面pcb，=0，即x-1,-1,z-1·(2,0,0)=0, x=1,又由，得x-1,

31、-1,z-1·(0,z,-1)=0,得z=0. 點(diǎn)f的坐標(biāo)是1，0，0，即點(diǎn)f是ad的中點(diǎn)時(shí)ef平面pcb。2如圖11-25，直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，面abcd是一個(gè)直角梯形，ab、cd為梯形的兩腰，且ab=ad=aa1=a。如果截面acd1的面種為s，求點(diǎn)d到平面acd1的距離；當(dāng)為何值時(shí)，平面ab1c平面ab1d1。證明你的結(jié)論。解答思路 第1問用傳統(tǒng)方法的等體積法求解較為方便，第2問是一個(gè)探索條件的題目，在立體幾何中這一類問題用空間向量是來(lái)解具有優(yōu)越性。【答案】 1由vd-acd1=vc-add1，過c作cead。abcd-a1b1c1d1為直四棱柱。平面abcd

32、平面aa1bd，ce平面add1a1，ce=a是c到平面add1的距離。sh=即點(diǎn)d到acd1的距離為2分別以a1b1，a1d1，a1a為x軸、y軸、z軸建立如圖11-26所示的空間直角坐標(biāo)系，那么a10，0，0、a0，0，a、b1a,0,0,設(shè)c(a,b,a),設(shè)n1=(x,y,z)是平面ab1c的一個(gè)法向量，a,0,-a,(a,b,0), n1·=0，n1·0，得ax-az=0,ax+by=0,令x=1, n1=(1,-,1),同理算出平面abd1的法向量n2=(1,1,1).平面ab1c平面ab1d1，n1n2,即n1·n2=01-+1=0,解得=2,即當(dāng)時(shí)

33、，平面abc平面ab1d1。難點(diǎn) 2 利用空間向量求角和距離1長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中，ab=1，bc=a，aa1=1。1棱bc上是否存在點(diǎn)p，使a1ppd，說(shuō)明理由；2假設(shè)bc上有且僅有一點(diǎn)p，使a1ppd，試求此時(shí)的二面角p-a1d-a的大小。解答思路 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出p的坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解來(lái)求解第1問，第2問利用公式求解?！敬鸢浮?以、分別為x軸、y軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么a0，0，0、a10，0，1、d0，a，01假設(shè)存在這樣的pbc，使得a1ppd，設(shè)p1，y,0，那么，y2-ay+1=0, =a2-4，當(dāng)a>2時(shí)，存在兩點(diǎn)，使得a

34、1pdp；當(dāng)a=2時(shí)存在一點(diǎn)，使得a1pdp；當(dāng)0<a<2時(shí)，不存在這樣的p點(diǎn)。2由題意得a=2，此時(shí)p1，1，0，=1，1，-1，-1，1，0，設(shè)n1=(x,y,z)為平面pa1d的一個(gè)法向量，由n1a1p及n1得：x+y-z=0,x-y=0,令x=1,得y=1,z=2, n1=(1,1,2)平面a1da的法向量n2=(1,0,0), cos<n1,n2>=,又由圖知p-a1d-a為銳二面角。p-p1d-a的大小為arccos【典型習(xí)題導(dǎo)煉】1 在正方體abcd-a1b1c1d1中，m、n分別是棱aa1和bb1的中點(diǎn)，那么cm與d1n夾角的正弦值為 答案： b 解析：

35、以da、dc、dd1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，那么m2，0，1、n2，2，1、c0，2，0、d10，0，2，=2，-2，2，cm與d1n所成角的正弦值為，選b2 矩形abcd的兩邊ab=3，ad=4，pa平面abcd，且pa=，那么二面角a-bd-p的度數(shù)為 a30° b45° c60° d75°答案： a 解析：以ab、ad、ap分別為 x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么平面abcd的法向量n1=(0,0,),平面bdp的一個(gè)法向量為4，3，二面角的余弦值為，二面角的大小為30°選a。3 在正方體abcd-a1b1c1d1中，o是底面abcd的中點(diǎn)，m、n分別是棱dd1、d1c1的中點(diǎn)，那么直線oma是ac和mn的公垂線b垂直于ac，但不垂直于mnc垂直于mn，但不垂直于acd與ac、mn都不垂直答案： b 解析：以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么d0，0，0、d10,0,2a、m0,0,aa(2a,0,0)、c0,2a,0、o(a,a,0)、n(0,a,2a), omac,om與mn不垂直.選b.4 在正三棱柱abc-a1b1c1中，d