一元多項式的定義和運算講解

1、2.1 2.1 一元多項式的定義和運算一元多項式的定義和運算 2.2 2.2 多項式的整除性多項式的整除性2.3 2.3 多項式的最大公因式多項式的最大公因式2.4 2.4 多項式的分解多項式的分解 2.5 2.5 重因式重因式2.6 2.6 多項式函數(shù)多項式函數(shù) 多項式的根多項式的根2.7 2.7 復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式2.8 2.8 有理數(shù)域上多項式有理數(shù)域上多項式2.9 2.9 多元多項式多元多項式2.10 2.10 對稱多項式對稱多項式 2.1.4 多項式的運算多項式的運算二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 掌握一元多項式的定義掌握一元多項式的定義,有關(guān)概念和基本運算性質(zhì)有關(guān)概

2、念和基本運算性質(zhì). 三、重點、難點三、重點、難點 一元多項式的定義，多項式的乘法，多項式的運算性質(zhì)。一元多項式的定義，多項式的乘法，多項式的運算性質(zhì)。 2.1.1 認識多項式認識多項式2.1.2 相等多項式相等多項式2.1.3 多項式的次數(shù)多項式的次數(shù)2.1.5 多項式加法和乘法的運算規(guī)則多項式加法和乘法的運算規(guī)則2.1.6 多項式的運算性質(zhì)多項式的運算性質(zhì)多項式多項式令令R R是一個含有數(shù)是一個含有數(shù)1 1的數(shù)環(huán)的數(shù)環(huán). .R R上一個文字上一個文字x x的多項式或的多項式或一元多項式指的是形式表達式一元多項式指的是形式表達式 nnxaxaxaa2210這里這里n n是非負整數(shù)而是非負整數(shù)而

3、 niai , , 1 , 0都是都是R R中的數(shù)中的數(shù). . 一元多項式常用符號一元多項式常用符號 , ,xgxf來表示來表示. . 注注在一個多項式中，可以任意添上或去掉一些系在一個多項式中，可以任意添上或去掉一些系數(shù)為零的項；若是某一個數(shù)為零的項；若是某一個i次項的系數(shù)是次項的系數(shù)是1 ，那那么這個系數(shù)可以省略不寫。么這個系數(shù)可以省略不寫。 定義定義若是數(shù)環(huán)若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項式上兩個一元多項式 , f (x) 和和g (x)有完全有完全相同的項相同的項,或者只差一些系數(shù)為零的項或者只差一些系數(shù)為零的項, 那么那么 f (x) 和和g (x)就說是相等就說是相等 . f (x) =

4、g (x)叫做多項式叫做多項式 nnxannxaxaxaa22100na的最高次項的最高次項,非負整數(shù)非負整數(shù)n叫做多項式叫做多項式 nnxaxaxaa22100na的次數(shù)的次數(shù). 記作記作 xf0注：注：系數(shù)全為零的多項式?jīng)]有次數(shù)系數(shù)全為零的多項式?jīng)]有次數(shù),這個多項式叫做這個多項式叫做零多項式，記為零多項式，記為 0 . 給定數(shù)環(huán)給定數(shù)環(huán)R上兩個多項式上兩個多項式 nnxaxaxaaxf2210 mmxbxbxbbxg2210且且m n, f (x) 和和g (x) 的加法定義為的加法定義為 nnnxbaxbaxbabaxgxf2221100這里當(dāng)這里當(dāng)m 0)次多項式次多項式f (x)都可

5、以分解成都可以分解成F x的不可約多項式的乘積的不可約多項式的乘積.令令f (x)是是F x的一個次數(shù)大于零的多項式，并且的一個次數(shù)大于零的多項式，并且 ,2121xqxqxqxpxpxpxfsr此處此處 ), 2 , 1, 2 , 1()(sjrixqxpji與例例 在有理數(shù)域上分解多項式在有理數(shù)域上分解多項式為不可約因式的乘積為不可約因式的乘積.容易看出容易看出 2223xxxxf（2） 2122223xxxxx一次因式一次因式x + 1自然在有理數(shù)域上不可約自然在有理數(shù)域上不可約.我們證明，我們證明，二次因式二次因式 也在有理數(shù)域上不可約也在有理數(shù)域上不可約.不然的話不然的話, 將能寫成

6、有理數(shù)域上兩個次數(shù)小于將能寫成有理數(shù)域上兩個次數(shù)小于2的因式的因式的乘積，因此將能寫成的乘積，因此將能寫成 22x22x（3 3） bxaxx 22的形式，這里的形式，這里a和和b是有理數(shù)是有理數(shù).把等式（把等式（3）的右端乘開，）的右端乘開，并且比較兩端的系數(shù)，將得并且比較兩端的系數(shù)，將得a + b = 0 , ab = - b，由此，由此將得將得 .這與這與a是有理數(shù)的假定矛盾是有理數(shù)的假定矛盾.這樣，（這樣，（2）給出多項式的一個不可約因式分解給出多項式的一個不可約因式分解.2a我們還可以如下證明我們還可以如下證明 在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約.如如果（果（3）式成立，那么它也給

7、出）式成立，那么它也給出 的實數(shù)域上的實數(shù)域上的一個不可約因式分解的一個不可約因式分解.但在實數(shù)域上但在實數(shù)域上22x22x2222xxx因此由唯一分解定理就得出因此由唯一分解定理就得出2a的矛盾的矛盾. .一一.內(nèi)容分布內(nèi)容分布 2.5.1重因式概念重因式概念 2.5.2 沒有重因式的判斷沒有重因式的判斷 二二.教學(xué)目的教學(xué)目的 1.掌握重因式概念掌握重因式概念,多項式的多項式的K階導(dǎo)數(shù)概念階導(dǎo)數(shù)概念. 2.掌握有無重因式判斷的充要條件掌握有無重因式判斷的充要條件.三三.重點難點重點難點 重因式概念及用一階導(dǎo)數(shù)判斷多項式有無重因式重因式概念及用一階導(dǎo)數(shù)判斷多項式有無重因式. 根據(jù)以上定義不難

8、直接驗證，關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公根據(jù)以上定義不難直接驗證，關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍然成立：式仍然成立：（1） ,xgxfxgxf（2） xgxfxgxfxgxf（3） xfxkfxfkk1F x的多項式的多項式 nnxaxaxaaxf2210的導(dǎo)數(shù)或的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是一階導(dǎo)數(shù)指的是F x的多項式的多項式 1212nnxnaxaaxf xf 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)叫做的導(dǎo)數(shù)叫做 的二階導(dǎo)數(shù)，記的二階導(dǎo)數(shù)，記作作 ， 的導(dǎo)數(shù)叫做的導(dǎo)數(shù)叫做 的三階導(dǎo)數(shù)，記的三階導(dǎo)數(shù)，記作作 ，等等，等等. 的的k階導(dǎo)數(shù)也記作階導(dǎo)數(shù)也記作 . xf xf xf xf xf xf xfk)(設(shè)設(shè) p (x)是多項式是多

9、項式 f (x)的一個的一個k (k1)重因式重因式. 那么那么 p (x)是是f (x)的導(dǎo)數(shù)的一個的導(dǎo)數(shù)的一個k - 1重因式重因式.多項式多項式f (x)沒有重因式的充分且必要條件是沒有重因式的充分且必要條件是f (x)與與它的導(dǎo)數(shù)它的導(dǎo)數(shù) 互素互素. xf一一. 內(nèi)容分布內(nèi)容分布 2.6.1 多項式的根概念多項式的根概念 2.6.2 綜合除法綜合除法 二二. 教學(xué)目的教學(xué)目的 1.掌握多項式函數(shù)掌握多項式函數(shù) 多項式的根的概念多項式的根的概念 2.掌握余式定理及運用綜合除法掌握余式定理及運用綜合除法 3.熟悉理解拉格朗日插值公式熟悉理解拉格朗日插值公式 三三. 重點、難點重點、難點 綜

10、合除法，拉格朗日插值公式綜合除法，拉格朗日插值公式 設(shè)給定設(shè)給定R x的一個多項式的一個多項式 nnxaxaaxf10)(和一個數(shù)和一個數(shù)c R.那么在的表示式里那么在的表示式里,把把 x用用c來代替來代替,就得到就得到R的一個數(shù)的一個數(shù).10nncacaa這個數(shù)叫當(dāng)這個數(shù)叫當(dāng) x = c 時時f (x)的值的值,并且用并且用f (c)來表示來表示.這樣這樣, 對于對于R的每一個數(shù)的每一個數(shù)c, 就有就有R中唯一確定的數(shù)中唯一確定的數(shù) f (c)與它對應(yīng)與它對應(yīng). 于是就得到于是就得到R到到R的一個映射的一個映射. 這個這個映射是由多項式映射是由多項式f (x)所確定的所確定的,叫做叫做R上一

11、個多項式上一個多項式函數(shù)函數(shù).綜合除法綜合除法 nnnnnaxaxaxaxaxf122110)(設(shè), 并且設(shè)并且設(shè)(1) ,)()()(rxqcxxf其中其中bxbxqnn110.)(比較等式比較等式(1)中兩端同次項的系數(shù)中兩端同次項的系數(shù),我們得到我們得到設(shè)設(shè) 用用x c 除除f (x)所得的余式等于所得的余式等于當(dāng)當(dāng)x = c時時f (x)的值的值 f (c) . ,)(RcxRxf定理定理2.6.12.6.1.,121112201100nnnnncbracbbacbbacbbaba由此得出由此得出.,112121210100nnnnnacbracbbacbbacbbab這樣這樣,欲求系

12、數(shù)欲求系數(shù) ,只要把前一系數(shù)只要把前一系數(shù) 乘以乘以c再加再加上對應(yīng)系數(shù)上對應(yīng)系數(shù) ,而余式的而余式的 r 也可以按照類似的規(guī)律也可以按照類似的規(guī)律求出求出. 因此按照下所指出的算法就可以很快地陸續(xù)因此按照下所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的系數(shù)和余式求出商式的系數(shù)和余式:kb1kbkarbbbbcbcbcbcbaaaaacrnnnnn21012101210|表中的加號通常略去不寫表中的加號通常略去不寫. 用用x + 3除除 94)(24xxxxf作綜合除法作綜合除法:6926103178309394101|3所以商式是所以商式是 ,26103)(23xxxxg而余式是而余式是.69)3(

13、 fr定理定理2.6.22.6.2 數(shù)數(shù)c是多項式是多項式f (x)的根的充分且必要條件是的根的充分且必要條件是f (x)能能x c 能整除能整除.定理定理2.6.32.6.3 設(shè)設(shè)f (x)是是R x中一個中一個n0次多項式次多項式. 那么那么f (x)在在R中中至多有至多有n個不同的根個不同的根.令令f (x)是是R x的一個多項式而的一個多項式而c的的R的一個數(shù)的一個數(shù). 若是若是當(dāng)當(dāng)x = c時時f (x)的值的值f (c) = 0 , 那么那么c 叫做叫做f (x)在數(shù)環(huán)在數(shù)環(huán)R中的一個根中的一個根. 證證如果如果f (x)是零次多項式是零次多項式,那么那么f (x)是是R中一個不等

14、于中一個不等于零的數(shù)零的數(shù), 所以沒有根所以沒有根. 因此定理對于因此定理對于n = 0成立成立.于是于是我們可以對我們可以對n作數(shù)學(xué)歸納法來證明這一定理作數(shù)學(xué)歸納法來證明這一定理.設(shè)設(shè)cR是是f (x)的一個根的一個根.那么那么 f (x) = (x c) g (x)這里這里g (x) R x是一個是一個n 1次多項式次多項式.如果如果dR是是f (x)另一個根另一個根, dc那么那么 0 = f (d) = (d c) g (d)因為因為d c0 , 所以所以g (d) = 0. 因為因為g (x)的次數(shù)是的次數(shù)是 n 1 ,由歸納法假設(shè)由歸納法假設(shè), g (x)在在R內(nèi)至多有內(nèi)至多有n

15、1個不同個不同的根的根.因此因此f (x)在在R中至多有中至多有n個不同的根個不同的根. 令令 u (x) = f (x) g (x)若若f (x)g (x), 換一句話說換一句話說, u (x) 0 ,那么那么u (x)是一個是一個次數(shù)不超過次數(shù)不超過n的多項式的多項式,并且并且R中有中有n + 1個或更多的個或更多的根根. 這與定理這與定理2.6.3矛盾矛盾.證證設(shè)設(shè)f (x)與與g (x)是是R x的兩個多項式的兩個多項式,它們的次數(shù)都它們的次數(shù)都不大于不大于n.若是以若是以R中中n + 1個或更多的不同的數(shù)來代個或更多的不同的數(shù)來代替替x時時,每次所得每次所得f (x)與與g (x)的

16、值都相等的值都相等,那么那么 f (x) = g (x) . 定理定理2.6.42.6.4證證 設(shè)設(shè)f (x) = g (x) 那么它們有完全相同的項那么它們有完全相同的項, 因而對因而對R的任何的任何c都有都有f (c) = g (c)這就是說這就是說, f (x) 和和g (x)所所確定的函數(shù)相等確定的函數(shù)相等.反過來設(shè)反過來設(shè)f (x) 和和g (x)所確定的函數(shù)相等所確定的函數(shù)相等.令令 u (x) = f (x) g (x)那么對那么對R的任何的任何c都有都有u (c) = f (c) g (c) = 0這就是這就是說說, R中的每一個數(shù)都是多項式中的每一個數(shù)都是多項式u (x)的根

17、的根. 但但R有無有無窮多個數(shù)窮多個數(shù), 因此因此u (x)有無窮多個根有無窮多個根.根據(jù)定理根據(jù)定理2.6.3只只有零多項式才有這個性質(zhì)有零多項式才有這個性質(zhì).因此有因此有 u (x) = f (x) g (x) = 0 , f (x) = g (x) . R x的兩個多項式的兩個多項式f (x)與與g (x)相等相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們當(dāng)且僅當(dāng)它們所定義的所定義的R上的多項式函數(shù)相等上的多項式函數(shù)相等.)()()()()()()(1111111111niniiiiiiniiiaaaaaaaaaxaxaxaxbxf這個公式叫做拉格朗日這個公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式插值公式.給了一

18、個數(shù)環(huán)給了一個數(shù)環(huán)R里里n + 1個互不相同的數(shù)個互不相同的數(shù) 以及任意以及任意n + 1個不全為個不全為0的數(shù)的數(shù) 后后,至多存在至多存在R x的一個次數(shù)不超過的一個次數(shù)不超過n的多項式的多項式f (x)能使能使 如果如果R還是一個數(shù)域還是一個數(shù)域, 那么這那么這樣一個多項式是存在的樣一個多項式是存在的, 因為容易看出因為容易看出,由以下公式由以下公式給出的多項式給出的多項式f (x)就具有上述性質(zhì)就具有上述性質(zhì):121,naaa121,nbbb. 1, 2 , 1,)(nibafii121,naaa121,nbbb. 1, 2 , 1,)(nibafii拉格朗日拉格朗日(Lagrange)

19、(Lagrange)插值公式插值公式由拉格朗日插值公式得由拉格朗日插值公式得. 1) 12)(12() 1)(1( 3) 21)(11() 2)(1( 3) 21)(11 () 2)(1()(2xxxxxxxxxf求次數(shù)小于求次數(shù)小于3的多項式的多項式f (x) 使使. 3)2(, 3) 1(, 1) 1 (fff例例2 2一一.內(nèi)容分布內(nèi)容分布 2.7.1 代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理 2.7.2 實系數(shù)多項式分解定理實系數(shù)多項式分解定理 二二.教學(xué)目的教學(xué)目的 1.理解代數(shù)基本定理、重根理解代數(shù)基本定理、重根 2.掌握實系數(shù)多項式的性質(zhì)掌握實系數(shù)多項式的性質(zhì) 三三.重點、難點重點、難點 代數(shù)基

20、本定理代數(shù)基本定理,根與系數(shù)關(guān)系根與系數(shù)關(guān)系.實系數(shù)多項式性質(zhì)實系數(shù)多項式性質(zhì). 證證 設(shè)設(shè)f (x)是一個次多項式是一個次多項式,那么由定理那么由定理2.7.1,它在復(fù)它在復(fù)數(shù)域數(shù)域C中有一個根中有一個根 因此在因此在C x中中,1),()()(11xfxxf這里這里 是是C上的一個上的一個n 1 次多項式次多項式.若若n 1 0,那那么在么在C中有一個根中有一個根 因而在因而在C x中中)(1xf,2).()()(221xfxxxf任何任何n (n 0)次多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根次多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根. 定理定理2.7.1 (2.7.1 (代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理) )任何任何

21、n (n 0)次多項式在復(fù)數(shù)域中有次多項式在復(fù)數(shù)域中有n個根個根(重根按重根按重數(shù)計算重數(shù)計算) .定理定理2.7.22.7.2這樣繼續(xù)下去這樣繼續(xù)下去,最后最后f (x)在在C x中完全分解成中完全分解成n個一個一次因式的乘積次因式的乘積,而在而在f (x) C中有中有n個根個根.復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域C上任一上任一n (n 0)次多項式可以在次多項式可以在C x里分里分解為一次因式的乘積解為一次因式的乘積.復(fù)數(shù)域上任一次數(shù)大于復(fù)數(shù)域上任一次數(shù)大于1的多的多項式都是可約的項式都是可約的.定理定理2.7.32.7.3 若實系數(shù)多項式若實系數(shù)多項式 f (x)有一個非實的復(fù)數(shù)根有一個非實的復(fù)數(shù)根 ,那么那

22、么的共軛數(shù)的共軛數(shù) 也是也是f (x)的根的根, 并且并且 與與 有同一重數(shù)有同一重數(shù).換句話說換句話說,實系數(shù)多項式的非實的復(fù)數(shù)根兩兩成對實系數(shù)多項式的非實的復(fù)數(shù)根兩兩成對.證證 .)(110nnnaxaxaxf令由假設(shè)由假設(shè) . 0110nnnaxaxa把等式兩端都換成它們的共軛數(shù)把等式兩端都換成它們的共軛數(shù),得得. 0110nnnaxaxa根據(jù)共軛數(shù)的性質(zhì)根據(jù)共軛數(shù)的性質(zhì),并且注意到并且注意到 naaa,10和和0都是實數(shù)都是實數(shù), 有有 , 0110nnnaaaaa即即也是也是f (x)的一個根的一個根.因此多項式因此多項式f (x)能被多項式能被多項式xxxxxg)()()(2整除整

23、除.由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)知道由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)知道g (x)的系數(shù)都是實數(shù)的系數(shù)都是實數(shù).故故 ),()()(xhxgxf此處此處h (x) 也是一個實系數(shù)多項式也是一個實系數(shù)多項式.若是若是 是是f (x)的重根的重根,那么它一定是那么它一定是h (x)的根的根,因而根因而根據(jù)方才所證明的據(jù)方才所證明的, 也是也是h (x)的一個根的一個根.這樣也是的這樣也是的重根重根.重復(fù)應(yīng)用這個推理方法重復(fù)應(yīng)用這個推理方法,容易看出容易看出, 的重數(shù)的重數(shù)相同相同.與定理定理2.7.42.7.4 實數(shù)域上不可約多項式實數(shù)域上不可約多項式, 除一次多項式外除一次多項式外, 只有含非只有含非實共軛復(fù)數(shù)根的二次多項

24、式實共軛復(fù)數(shù)根的二次多項式. 定理定理2.7.52.7.5 每一個次數(shù)大于每一個次數(shù)大于0的實系數(shù)多項式都可以分解為實系的實系數(shù)多項式都可以分解為實系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積.一一. .內(nèi)容分布內(nèi)容分布 2.8.1 本原多項式及高斯引理本原多項式及高斯引理 2.8.2 艾森斯坦差別法艾森斯坦差別法 2.8.3 求整系數(shù)多項式在理根求整系數(shù)多項式在理根二二. .教學(xué)目的教學(xué)目的 1.掌握本原多項式概念及高斯引理掌握本原多項式概念及高斯引理 2.熟悉運用艾森斯坦差別法熟悉運用艾森斯坦差別法 3.掌握求整系數(shù)多項式的有理根掌握求整系數(shù)多項式的有理根 三三. .重點

25、、難點重點、難點 艾森斯坦差別法及如何求整系數(shù)多項式有理根方法艾森斯坦差別法及如何求整系數(shù)多項式有理根方法. 引理引理2.8.12.8.1 兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式.證證 設(shè)給了兩個本原多項式設(shè)給了兩個本原多項式,)(10mmiixaxaxaaxf,)(10nnjjxbxbxbbxg并且設(shè)并且設(shè).)()(10mnmnjijixcxcxccxgxf)()(xgxf如果如果不是本原多項式不是本原多項式, 那么一定存在一個那么一定存在一個素數(shù)素數(shù)p , 它能整除所有系數(shù)它能整除所有系數(shù).,10nmccc若是一個整系數(shù)多項式若是一個整系數(shù)多項式f (

26、x)的系數(shù)互素的系數(shù)互素,那么那么f (x)叫叫作一個本原多項式作一個本原多項式.由于由于f (x)和和g (x)都是本原多項式都是本原多項式,所以所以p不能整除不能整除f (x)的所有系數(shù)的所有系數(shù),也不能整除也不能整除g (x)的所有系數(shù)的所有系數(shù).令令 各各是是f (x)和和g (x)的第一個不能被的第一個不能被p 整除的系數(shù)整除的系數(shù).考察考察f (x)g (x)的系數(shù)的系數(shù) 有有jiba 和.jic.011110bababababacjijijijijiji這個等式的左端這個等式的左端p整除整除.根據(jù)選擇根據(jù)選擇 的條件的條件,所有所有系數(shù)系數(shù) 都被都被p整除整除.因此乘積因此乘積

27、也也須被須被p整除整除.但但p是一個素數(shù)是一個素數(shù),所以所以p必須整除必須整除 . 這與假設(shè)矛盾這與假設(shè)矛盾.jiba 和0110,bbaaji以及jibajiba 和證證 設(shè)設(shè)),()()(21xgxgxf這里這里 都是有理數(shù)域上的次數(shù)小于都是有理數(shù)域上的次數(shù)小于n的多的多項式項式.)()(21xgxg和若是一個整系數(shù)若是一個整系數(shù)n (n 0)次多項式次多項式f (x)在有理數(shù)域上在有理數(shù)域上可約可約, 那么那么f (x)總可以分解成次數(shù)都小于總可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整的兩個整系數(shù)多項式的乘積系數(shù)多項式的乘積. 令令 的系數(shù)的最大公因數(shù)是的系數(shù)的最大公因數(shù)是 那么那么)(xh.1a)

28、,()(1111xfbaxg這里這里 是一個有理數(shù)而是一個有理數(shù)而 是一個本原多項式是一個本原多項式.同理同理,11ba)(1xf),()(2222xfbaxg這里這里 是一個有理數(shù)而是一個有理數(shù)而 是一個本原多項式是一個本原多項式. 于是于是,22ba)(2xf),()()()()(21212121xfxfsrxfxfbbaaxf其中其中r與與s是互素的整數(shù)是互素的整數(shù), 并且并且s 0 . 由于由于f (x)是一整是一整系數(shù)多項式系數(shù)多項式,所以多項式所以多項式 的每一系數(shù)與的每一系數(shù)與r的的乘積都必須被乘積都必須被s整除整除. 但但r與與s互素互素, 所以所以 的的每一個系數(shù)必須被每一個

29、系數(shù)必須被s整除整除, 這就是說這就是說, s是多項式是多項式 的系數(shù)的一個公因數(shù)的系數(shù)的一個公因數(shù). 但但 是一個是一個本原多項式本原多項式, 因此因此)()(21xfxf)()(21xfxf)()(21xfxf)()(21xfxf).()()(, 121xfxrfxgs而 顯然各與顯然各與 有相同的次數(shù)有相同的次數(shù),這樣這樣, f (x)可以分解成次數(shù)都小于可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整系數(shù)多的兩個整系數(shù)多項式的乘積項式的乘積.)()(21xfxrf和)()(21xgxg和 是一個整系數(shù)多項式是一個整系數(shù)多項式. 若若是能夠找到一個素數(shù)是能夠找到一個素數(shù)p,使使 nnxaxaaxf10)(設(shè)(i) 最高次項系數(shù)最高次項系數(shù) 不能被不能被p整除整除,na(ii) 其余各項的系數(shù)都能被其余各項的系數(shù)都能被p整除整除,(iii)常數(shù)項常數(shù)項 不通被不通被 整除整除,0a2p那么多項式那么多項式f (x)在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約.證證 若是多項式若是多項式f (x)在有理數(shù)域上可約在有理數(shù)域上可約,那么由定理那么由定理2.8.2, f (x)可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式可以分解成兩個次數(shù)較