離散元課件(二forcopy)

1、二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 巖土工程研究所巖土工程研究所劉劉 軍軍 根據(jù)離散化模型中所采用的單元種類分別介紹離根據(jù)離散化模型中所采用的單元種類分別介紹離散元法的基本原理：散元法的基本原理：顆粒元 二維圓盤單元 三維圓球單元塊體元 多邊形單元 多面體單元二二 基本原理基本原理基本假設(shè)假定速度和加速度在每個時間步長內(nèi)為常量 ；選取的時間步長應(yīng)該足夠小以至于在單個時間步長內(nèi)擾動的傳播不會超過當(dāng)前與之相鄰的粒子 。 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法運動描述運動描述 處于一個理想散體中的任意一個顆粒,具有6個自由度,3個平動自由度與三個轉(zhuǎn)動自

2、由度,可通過NewtonNewton第二定律第二定律分別描述。二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法運動描述運動描述平動方程平動方程：基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法gFFVikjijdijciimtmi1,dd式中， 與 分別為顆粒 的質(zhì)量和速度。 為時間， 為顆粒的重力， 與 分別為顆粒 與 的接觸力與粘性接觸阻尼力， 為所有與顆粒接觸的顆?？倲?shù)。 imiVitgimijc,Fijd,Fijik運動描述運動描述接觸力的分解接觸力的分解： 顆粒 與 間的接觸力可分解為法向與切向接觸力，即基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法jiij

3、ctijcnijc,FFF 同理，粘性接觸阻尼力也可分解為法向與切向分量形式，即 ijdtijdnijd,FFF 運動描述運動描述接觸力產(chǎn)生的力矩接觸力產(chǎn)生的力矩： 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法顆粒間的接觸力作用在兩個顆粒的接觸點上，而不是作用在顆粒的中心，所以這些接觸力（除法向接觸力 外）將會對顆粒產(chǎn)生力矩 ， ijcn,FiT ijdtijctii,FFRT 式中， 為從顆粒 的質(zhì)心指向接觸點的矢量，其幅值為 （顆粒的半徑）。iRiiR運動描述運動描述轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程： 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法轉(zhuǎn)動方程可以表示為 ikjiiitI1d

4、dT式中， 與 分別為顆粒 的轉(zhuǎn)動慣量與角速度，對于球形顆粒 為 iIii252iiiRmI iI接觸模型接觸模型綜述綜述： 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法關(guān)于接觸力的計算模型已有大量的研究成果，目前仍舊是一個活躍的研究領(lǐng)域，特別是對于切向力的計算方法。對于理想散體顆粒（無粘連）：對于理想散體顆粒（無粘連）：采用Hertz理論理論描述法向作用，而采用Mindlin與Deresiewicz理論描述切向作用；對于存在粘連的散體顆粒：對于存在粘連的散體顆粒：法向接觸力法向接觸力根據(jù)在Hertz理論理論基礎(chǔ)上考慮粘連力的JKR（Johnson-Kendall-Robert

5、s）理論確定，切向接觸力切向接觸力增量則根據(jù)把Savkoor和Briggs理論與Mindlin和Deresiewicz理論相結(jié)合形成的理論確定。 接觸模型接觸模型兩個處于接觸顆粒單位法向和切向向量兩個處于接觸顆粒單位法向和切向向量： 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法iiR/R n單位法向向量 單位切向向量 nnnnt ijijijijVVVV單位切向量之所以通過兩個顆粒的相對速度來計算，是因為接觸力與粘性阻尼力的方向與相對速度的方向相同。 接觸模型接觸模型兩個處于接觸顆粒接觸點的相對速度兩個處于接觸顆粒接觸點的相對速度： 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散

6、元法法向相對速度為 iijjRRVVVijijnnijijn,VV切向相對速度為 nnijijVVVijt,nn ijijt,VV或者寫為 接觸模型接觸模型法向接觸力計算模型法向接觸力計算模型 HertzHertz模型模型： 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 為顆粒i與j接觸時的侵入深度n2/3*,34nijcnRE F式中)1 (22*vEE jiRRR11* nijjinRRRR 接觸模型接觸模型法向接觸力計算模型法向接觸力計算模型 CundallCundall模型模型： 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法nnnijcnk ,F式中， 為法向彈簧剛

7、度。 nk接觸模型接觸模型法向接觸力計算模型法向接觸力計算模型 法向粘性接觸阻尼力法向粘性接觸阻尼力： 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法式中， 為法向粘性接觸阻尼系數(shù)。 nnijVFnijdnc,nc接觸模型接觸模型切向接觸力計算模型切向接觸力計算模型 綜述綜述： 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法處于接觸中的兩個顆粒的切向作用，從本質(zhì)上講，是一種摩擦行為，按照摩擦機理，摩擦力包括：滑動摩擦、滾動摩擦與靜摩擦，其中滑動摩擦與靜摩擦屬于切向摩擦力；滾動摩擦是由于法向接觸應(yīng)力的不均勻分布產(chǎn)生的。介紹兩個切向接觸力模型： Coulomb準(zhǔn)則準(zhǔn)則M

8、indlin與與Deresiewicz切向接觸力模型切向接觸力模型 接觸模型接觸模型切向接觸力計算模型切向接觸力計算模型 Coulomb準(zhǔn)則準(zhǔn)則： 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 在離散元模擬中，一般用Coulomb準(zhǔn)則這種簡單的形式描述，靜摩擦的詳細刻畫需要涉及切向位移甚至可能要考慮時間依賴效應(yīng)。式中， 為靜摩擦系數(shù)，切向摩擦力的方向為與相對滑動的趨勢相反。 sijcnsijctijcnsijcnsijctijctijct,FFFFFFF接觸模型接觸模型切向接觸力模型切向接觸力模型 Mindlin與與Deresiewicz模型模型 ： 二二 基本原理基本原理-球

9、形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 tmaxt,maxt,ttijcnsijctFF 23,min11式中 為顆粒 與 間的累積切向位移矢量tij nsmaxt,vv 122 tNtNtnn ijV1接觸模型接觸模型切向接觸力模型切向接觸力模型 阻尼力阻尼力 ： 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法式中， 為切向粘性接觸阻尼系數(shù)。 nn ijVFtijdtc,tc二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法計算模型總結(jié)計算模型總結(jié)運動方程運動方程接觸力的計算接觸力的計算法向接觸力法向接觸力 tmaxt,maxt,ttijcnsijctFF 23,min1

10、1gFFVikjijdijciimtmi1,dd ikjiiitI1ddTn2/3*,34nijcnRE Fnnnijcnk ,Fijcnsijctijcnsijcnsijctijctijct,FFFFFFFnnijVFnijdnc, nn ijVFtijdtc,切向接觸力切向接觸力 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法運動方程的求解運動方程的求解gFFVikjijdijciimtmi1,dd ikjiiitI1ddT一般采用兩種方法求解運動方程：一般采用兩種方法求解運動方程：w 中心差分法中心差分法w Verlet積分法積分法hXXXnnn 2121hXXXnnn21

11、1二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 運動方程的求解運動方程的求解w 中心差分法中心差分法 運動方程可由Verlet顯式積分求解。通過積分可獲得粒子的新位置，積分時需要粒子的當(dāng)前及上一步長的位置數(shù)據(jù)，而不需要粒子的速度數(shù)據(jù)。二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 運動方程的求解運動方程的求解w Verlet積分法積分法hXXXnnn211hXXXnnn211 22242hXXXnnn2112hXXXnnn二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 運動方程的求解運動方程的求解w Verlet積分法積分法定義定義：從而導(dǎo)出Verl

12、et方程為2112hXXXXnnnn 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法 在一個由眾多顆粒組成的體系中，直接判別顆粒是否接觸需要耗費大量的計算時間，因而，為了節(jié)約計算時間，提高計算效率，一般不直接判別任意兩個顆粒間是否存在接觸，而是分兩個步驟判別顆粒間的接觸是否存在：首先，對一個顆粒，判別其潛在的鄰居個數(shù)，然后，準(zhǔn)確確定該顆粒與每個鄰居是否接觸。雖然在確定鄰居數(shù)目時也要耗費一定的計算時間，但是仍舊比逐個準(zhǔn)確判別顆粒間接觸是否存在要節(jié)約時間。因而，接觸發(fā)現(xiàn)算法的效率在多顆粒體系力學(xué)行為模擬中至關(guān)重要。 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法介紹三種針對球形顆粒

13、的接觸發(fā)現(xiàn)算法：Verlet鄰居目錄鄰居目錄法法連接單元法連接單元法 邊界盒法邊界盒法 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法Verlet鄰居目錄鄰居目錄法法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 當(dāng)需要判別體系中某個顆粒的鄰居數(shù)量時，在該粒子周圍構(gòu)建一個球（稱之為參考球，稱該顆粒為核心顆粒），參考球半徑為體系中最大粒子半徑的若干倍，那么參考球所包圍的所有粒子為該球中心粒子的鄰居。參考球半徑的選取取決于粒子的運動速度及體系中粒子的密度。對于每個粒子，都可生成一個鄰居粒子的目錄。為了得到鄰居目錄，對每一個粒子而言，所有標(biāo)號大于該

14、粒子的粒子都必須被檢驗，判斷是否位于該粒子的參考球中，而對于標(biāo)號小于該粒子標(biāo)號的粒子則沒有必要被檢驗，因為鄰居是互相的，沒有必要對一個鄰居對檢驗兩次。 Verlet鄰居目錄鄰居目錄法法及粒子存儲目錄及粒子存儲目錄二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法w Verlet鄰居目錄鄰居目錄法法 二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法w Verlet鄰居目錄鄰居目錄法法對于n個顆粒組成的體系，用Verlet鄰居目錄法需要 次計算，也就是說計算次數(shù)仍舊為 量級。然而，并不需要在每個時間步長上都對鄰居目錄進行更新

15、。更新的頻率取決于體系中粒子的密度、粒子的運動速度以及參考球的尺寸。參考球的半徑也可以根據(jù)顆粒體系的稠密程度及運動速度進行動態(tài)調(diào)整，并且參考球半徑與鄰居目錄的更新頻率呈反比關(guān)系，參考球半徑越小，鄰居目錄的更新頻率越高；但是參考球半徑越大，則有更多的粒子位于球體內(nèi)，所以判別是否為鄰居就需要較長的時間。2/1nn 2no接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法連接單元法連接單元法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法將顆粒體系所占據(jù)的空間劃分成規(guī)則的網(wǎng)格，對于三維問題，可以劃分為 個立方體單元，對于二維體系，則劃分為 個正方形單元，對于顆粒體系所占據(jù)空間形狀不規(guī)則時，也可采用其他形狀單元劃分

16、。但是所有單元的尺寸必須大于粒子的尺寸。與Verlet鄰居目錄法的主要區(qū)別在于：相鄰單元法中的單元不依附于粒子，單元不隨粒子的運動而運動。如果粒子就當(dāng)前的位置被分配到某個單元，顯然，只有在同一個單元或直接相鄰單元內(nèi)的粒子間才可能發(fā)生相互作用，也就是說，只有相鄰單元內(nèi)的粒子才能成為鄰居。 mmmmm接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法連接單元法連接單元法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法例如，對一個二維體系而言，只有在9個不同的單元內(nèi)可能包含鄰居粒子，對于三維體系，則只有在27個不同單元內(nèi)可能包含鄰居粒子。與前面介紹的Verlet鄰居目錄法相同，每個粒子對只需要檢驗一次，這樣，沒必

17、要對9個單元都進行檢驗，只需檢驗中心單元及鄰居單元的一半即可，即在二維情況下，只需檢驗5個單元，在三維情況下，只需檢驗14個單元。 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法連接單元法連接單元法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法2D體系中的連接單元法體系中的連接單元法接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法邊界盒法邊界盒法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法這個方法與前述兩種方法不同。首先，在每一個粒子周圍構(gòu)建一個邊界盒，邊界盒的尺寸按這樣的方式選取：使每個粒子剛好放進它使每個粒子剛好放進它的邊界盒內(nèi)的邊界盒內(nèi)。邊界盒的邊為直線，并且與體系的坐標(biāo)軸平行。在判別顆粒的鄰居時，把邊

18、界盒投影到體系的坐標(biāo)軸上。通過邊界盒在坐標(biāo)軸上投影的起點和終點來判別是否為鄰居。 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法邊界盒法邊界盒法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法 a a 圍繞圍繞在每在每個粒個粒子周子周圍的圍的邊界邊界盒盒 b b兩個不兩個不同時刻同時刻粒子的粒子的邊界盒邊界盒在軸上在軸上的投影的投影 在判別顆粒的鄰居時，把邊界盒投影到體系的坐標(biāo)軸上。例如，圖a表明了粒子及邊界盒的位置，圖b為圖a中的邊界盒在體系x軸的投影。通過邊界盒在坐標(biāo)軸上投影的起點和終點來判別是否為鄰居，出于這個原因，投影的起點和終點序列被存儲在目錄中。 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法邊界盒法邊界盒法二二 基本原理基本原理-球形顆粒元離散元法球形顆粒元離散元法對于3D體系，必須把邊界盒子在三個坐標(biāo)軸上投影，所以生成三個目錄。如果一個粒子的邊界盒在某個坐標(biāo)軸上投影的起點和終點間包含另外一個粒子邊界盒投影的起點、終點或起點和終點，就說明這兩個粒子的邊界盒在該坐標(biāo)軸上的投影發(fā)生了重疊。如果兩個邊界盒的投影在每一個坐標(biāo)軸上都發(fā)生重疊，那么就說明這兩個邊界盒發(fā)生了接觸。 接觸發(fā)現(xiàn)算法接觸發(fā)現(xiàn)算法