數(shù)學(xué)建模復(fù)習(xí)

1、一（10）(1)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念，分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系。（2）建立數(shù)學(xué)模型的一般方法是什么？在建模中如何應(yīng)用這些方法，結(jié)合實(shí)例加以說(shuō)明。二（10分）、(1).簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的一般步驟，分析每個(gè)步驟的主要內(nèi)容和注意事項(xiàng)。(2)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)，并舉例說(shuō)明。三（10分）、（1）簡(jiǎn)述合理分配席位的-值方法,包括方法的具體實(shí)施過(guò)程，簡(jiǎn)述分配席位的理想化原則。（2）建立錄像機(jī)記數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間之間的關(guān)系模型，包括模型假設(shè)與模型建立全過(guò)程。四 (15分)（1）建立不允許缺貨情況下的存儲(chǔ)模型,確定訂貨周期和訂貨量（包括問(wèn)題敘述,模型假設(shè)和求解過(guò)程）.（2）建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷(xiāo)售存貯模

2、型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷(xiāo)售速率為常數(shù)在每個(gè)生產(chǎn)周期 內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間（）一邊生產(chǎn)一邊銷(xiāo)售，后來(lái)的一段時(shí)間）只銷(xiāo)售不生產(chǎn)設(shè)每次生產(chǎn)開(kāi)工費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，（a)求出存儲(chǔ)量的表示式并畫(huà)出示意圖。（2）以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)則確定最優(yōu)周期，討論的情況五（15分）、（1）建立傳染病傳播的模型并求解（簡(jiǎn)述假設(shè)條件和求解過(guò)程），（2）建立模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫(huà)出相軌線并進(jìn)行分析。六（15分）（1）建立一般的戰(zhàn)爭(zhēng)模型，分析各項(xiàng)所表示的含義。（2）在假設(shè)條件下對(duì)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（忽略增援和非戰(zhàn)斗減員）進(jìn)行建模求解，確定戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局和結(jié)束時(shí)間。七（15分）設(shè)漁場(chǎng)魚(yú)量的自然增長(zhǎng)服從模型，又單位時(shí)間捕

3、撈量為討論漁場(chǎng)魚(yú)量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場(chǎng)魚(yú)量水平八（10分）假設(shè)商品價(jià)格和供應(yīng)量滿(mǎn)足差分方程求差分方程的平衡點(diǎn)，推導(dǎo)穩(wěn)定條件參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一（10）(1)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念，分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系。（2）建立數(shù)學(xué)模型的一般方法是什么？在建模中如何應(yīng)用這些方法，結(jié)合實(shí)例加以說(shuō)明。解:(1)數(shù)學(xué)模型可表述為:對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象,為了特定的目的,根據(jù)特有的規(guī)律,作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè),應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系：數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模得到的最后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式，是數(shù)學(xué)建模的結(jié)果，是名詞

4、。而數(shù)學(xué)建模是解決問(wèn)題的全過(guò)程，是動(dòng)名詞。（2）一般方法包括: 機(jī)理分析方法,根據(jù)客觀對(duì)象的本質(zhì)特征和規(guī)律,分析事物發(fā)展的數(shù)量關(guān)系; 測(cè)試分析方法,把客觀對(duì)象作為黑箱子進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn),根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),應(yīng)用擬合方法尋找擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最佳模型.一般這兩種方法相結(jié)合,機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu),其中包含未知的參數(shù),應(yīng)用測(cè)試分析方法確定參數(shù).能講機(jī)理時(shí)用機(jī)理,不能講機(jī)理時(shí)用數(shù)據(jù).如應(yīng)用微分分析法得到的人口增長(zhǎng)模型，如指數(shù)模型，阻滯增長(zhǎng)模型，都屬于機(jī)理分析方法，而其中的參數(shù)必須用實(shí)際的數(shù)據(jù)應(yīng)用測(cè)試分析方法確定。二（10分）、(1).簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的一般步驟，分析每個(gè)步驟的主要內(nèi)容和注意事項(xiàng)。(2)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的表

5、現(xiàn)形態(tài)，并舉例說(shuō)明。解：(1)數(shù)學(xué)建模的一般步驟包括:模型準(zhǔn)備-了解實(shí)際背景，搜索相關(guān)信息，分析影響因素，形成一個(gè)清晰的問(wèn)題。模型假設(shè)-分析各種影響因素的關(guān)系，確定主要因素和次要因素,對(duì)主要因素作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，引入變量。模型構(gòu)成-根據(jù)特有的規(guī)律和所做的假設(shè)應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模，得到數(shù)學(xué)模型。模型求解-應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型進(jìn)行求解。模型分析-對(duì)模型誤差分析,收斂性分析,穩(wěn)定性分析和穩(wěn)健性,局限性分析.模型檢驗(yàn)-檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性與應(yīng)用性(有效性).(2)數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)包括線性與非線性,確定性與隨機(jī)性,離散性與連續(xù),靜態(tài)與動(dòng)態(tài)等.人口模型中，指數(shù)模型為線性的，阻滯增長(zhǎng)

6、模型為非線性的，不考慮隨機(jī)因素的模型為確定性模型，如常見(jiàn)的人口模型。如考慮隨機(jī)因素，則得到隨機(jī)人口模型。微分方程屬于連續(xù)模型，差分方程屬于離散模型。隨時(shí)間變化的微分方程和差分方程都是動(dòng)態(tài)的，如連續(xù)優(yōu)化模型和單階段離散優(yōu)化模型與時(shí)間無(wú)關(guān)屬于靜態(tài)模型，三（10分）、（1）簡(jiǎn)述合理分配席位的-值方法,包括方法的具體實(shí)施過(guò)程，簡(jiǎn)述分配席位的理想化原則。（2）建立錄像機(jī)記數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間之間的關(guān)系模型，包括模型假設(shè)與模型建立全過(guò)程。解:(1)合理分配席位的方法Q-值方法,是實(shí)施過(guò)程為：（a）按照比例取整方法進(jìn)行初次分配，（b）對(duì)剩余的席位采用動(dòng)態(tài)分配，計(jì)算各方的值，即，將剩余的該席位分配給較大的

7、一方，（c)依序分配完剩余的席位。第一頁(yè) (2)模型假設(shè)：設(shè)空盤(pán)半徑為，磁帶厚度為，轉(zhuǎn)數(shù)設(shè)為，時(shí)間為，速度為，則考慮轉(zhuǎn)過(guò)的磁帶的長(zhǎng)度，則有故關(guān)系模型為。四(15分)（1）建立不允許缺貨情況下的存儲(chǔ)模型,確定訂貨周期和訂貨量（包括問(wèn)題敘述,模型假設(shè)和求解過(guò)程）.（2）建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷(xiāo)售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷(xiāo)售速率為常數(shù)在每個(gè)生產(chǎn)周期 內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間（）一邊生產(chǎn)一邊銷(xiāo)售，后來(lái)的一段時(shí)間）只銷(xiāo)售不生產(chǎn)設(shè)每次生產(chǎn)開(kāi)工費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，（a)求出存儲(chǔ)量的表示式并畫(huà)出示意圖。（2）以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)則確定最優(yōu)周期，討論的情況解:（1）定義變量及其參數(shù),定貨費(fèi),單位時(shí)間單位貨物的

8、儲(chǔ)存費(fèi),一周期的總費(fèi)用,以平均每天的費(fèi)用為目標(biāo),應(yīng)用微積分得到表示式.訂貨量為。（2）在時(shí)間段，為斜率為的直線，在時(shí)間段，只銷(xiāo)售不生產(chǎn)，單位時(shí)間總費(fèi)用，使取最小值的最佳周期。當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于瞬時(shí)生產(chǎn)的情況。五（15分）、（1）建立傳染病傳播的模型并求解（簡(jiǎn)述假設(shè)條件和求解過(guò)程），（2）建立模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫(huà)出相軌線并進(jìn)行分析。解：SIS模型。設(shè)治愈率為，則方程為第二頁(yè)，2)SIR模型的方程為,相平面方程為, 在相平面上畫(huà)出相軌線，分析變化規(guī)律。六（15分）（1）建立一般的戰(zhàn)爭(zhēng)模型，分析各項(xiàng)所表示的含義。（2）在假設(shè)條件下對(duì)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（忽略增援和非戰(zhàn)斗減員）進(jìn)行建模求解，確定戰(zhàn)

9、爭(zhēng)結(jié)局和結(jié)束時(shí)間。解：一般戰(zhàn)爭(zhēng)模型為第一項(xiàng)為戰(zhàn)斗減員，其表示式依賴(lài)于戰(zhàn)爭(zhēng)類(lèi)型，第二項(xiàng)為非戰(zhàn)斗減員，第三項(xiàng)為增援。正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型。軌線方程為，因此乙方敗。要求結(jié)束時(shí)間，需要對(duì)方程求導(dǎo)化為二階微分方程，通解為初始條件為。求解得到七（15分）設(shè)漁場(chǎng)魚(yú)量的自然增長(zhǎng)服從模型，又單位時(shí)間捕撈量為討論漁場(chǎng)魚(yú)量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場(chǎng)魚(yú)量水平 解：模型為，有二個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)：和。，即不穩(wěn)定，穩(wěn)定（與的大小無(wú)關(guān)）。持續(xù)產(chǎn)量為，最大持續(xù)產(chǎn)量為，八（10分）假設(shè)商品價(jià)格和供應(yīng)量滿(mǎn)足差分方程求差分方程的平衡點(diǎn)，推導(dǎo)穩(wěn)定條件解：令，設(shè)極限存在為，則得到，即為平衡點(diǎn)。由 整理得到：，其特征

10、方程為，利用定理可知，其根均小于1的條件為和。因，故條件為一（15分）、(1)簡(jiǎn)述模型概念及其模型的分類(lèi);(2)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念;(3)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn),包括各項(xiàng)的含義. 二（10）(1)簡(jiǎn)述建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應(yīng)用;(2)闡述建立數(shù)學(xué)模型全過(guò)程,就數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過(guò)程給出你的理解與認(rèn)識(shí).三（10分）、（1）簡(jiǎn)述建立汽車(chē)剎車(chē)距離模型的全過(guò)程.（2）建立雙層玻璃窗的模型，包括模型假設(shè)和建模過(guò)程,確定雙層玻璃間的空隙距離四(10分)建立森林救火模型,包括問(wèn)題敘述,模型假設(shè)和求解過(guò)程.五（15分）、（1）建立人口增長(zhǎng)的指數(shù)模型和阻滯增長(zhǎng)模型,并求解.（2）建立傳染病傳

11、播的模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫(huà)出相軌線并進(jìn)行分析。六（15分） (1)建立捕撈情況下的漁場(chǎng)魚(yú)量滿(mǎn)足的方程，分析平衡點(diǎn)，在平衡條件下確定捕撈強(qiáng)度以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量;(2) 在(1)的基礎(chǔ)上，建立效益模型，確定捕撈強(qiáng)度。七(15分)(1) 建立確定最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型;(2)假設(shè)成本隨著產(chǎn)量的增加而降低, 建立模型并求解.八(10分) 在考慮最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題時(shí)設(shè)銷(xiāo)售期為，由于商品的損耗，成本隨時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè)，為增長(zhǎng)率又設(shè)單位時(shí)間的銷(xiāo)售量為（為價(jià)格）。今將銷(xiāo)售期分為和兩段，每段的價(jià)格固定，記作，求的最優(yōu)值使銷(xiāo)售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大如果要求銷(xiāo)售期內(nèi)的總售量為，再求的最優(yōu)值參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一（15分

12、）、(1)簡(jiǎn)述模型概念及其模型的分類(lèi);(2)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念;(3)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn),包括各項(xiàng)的含義. 解:(1)模型是原型的替代物,根據(jù)特有的目的,反應(yīng)原型的某一層次某一方面的特征.模型可分為物質(zhì)模型與抽象模型,物質(zhì)模型可分為直觀模型與物理模型.抽象模型可分為思維思維模型,符號(hào)模型與數(shù)學(xué)模型.(2)數(shù)學(xué)模型可表述為:對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象,為了特定的目的,根據(jù)特有的規(guī)律,作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè),應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式.(3)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn):模型的逼真性與可行性,模型的漸進(jìn)性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的穩(wěn)健性等. 二（10）(1)簡(jiǎn)述建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，分析這

13、些方法在建模中的應(yīng)用;(2)闡述建立數(shù)學(xué)模型全過(guò)程,就數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過(guò)程給出你的理解與認(rèn)識(shí).解:解:(1)一般方法包括: 機(jī)理分析方法,根據(jù)客觀對(duì)象的本質(zhì)特征和規(guī)律,分析事物發(fā)展的數(shù)量關(guān)系; 測(cè)試分析方法,把客觀對(duì)象作為黑箱子進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn),根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),應(yīng)用擬合方法尋找擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最佳模型.一般這兩種方法相結(jié)合,機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu),其中包含未知的參數(shù),應(yīng)用測(cè)試分析方法確定參數(shù).能講機(jī)理時(shí)用機(jī)理,不能講機(jī)理時(shí)用數(shù)據(jù).(2)畫(huà)出數(shù)學(xué)建模全過(guò)程的流程圖,解釋四個(gè)環(huán)節(jié):從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的翻譯,即將現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題表示成數(shù)學(xué)問(wèn)題,問(wèn)題求解:應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.解釋:將得到的數(shù)學(xué)答

14、案解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)世界到現(xiàn)實(shí)世界的翻譯.驗(yàn)證:根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的解釋和實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比驗(yàn)證模型的正確性與有效性.三（10分）、（1）簡(jiǎn)述建立汽車(chē)剎車(chē)距離模型的全過(guò)程.（2）建立雙層玻璃窗的模型，包括模型假設(shè)和建模過(guò)程,確定雙層玻璃間的空隙距離解:(1)分為反應(yīng)距離與制動(dòng)距離,分別建立模型.(2)模型示意圖:,.四(10分)建立森林救火模型,包括問(wèn)題敘述,模型假設(shè)和求解過(guò)程.解:分析問(wèn)題,定義變量,考慮救援費(fèi)和損失費(fèi).由得到五（15分）、（1）建立人口增長(zhǎng)的指數(shù)模型和阻滯增長(zhǎng)模型,并求解.（2）建立傳染病傳播的模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫(huà)出相軌線并進(jìn)行分析。解:指數(shù)模型阻滯增長(zhǎng)模型:(2)SIR模型的方程為,相平面方程為, 相軌線為六（15分）(1)簡(jiǎn)述最優(yōu)化模型的一般形式;(2) 寫(xiě)出線性規(guī)劃的一般形式;(3)給出一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的例子,闡述建立模型與求解的全過(guò)程. 解:最優(yōu)化模型的一般形式線性規(guī)劃即為目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的優(yōu)化模型,其一般形式為七(10分)(1) 建立確定最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型