數(shù)學(xué)建模論文-投資規(guī)劃

1、東華理工大學(xué)項(xiàng)目?jī)?nèi)容滿分實(shí) 評(píng)選題能結(jié)合所學(xué)課程知識(shí)、有一定的能力訓(xùn)練。符合選題要求（3人一題）5工作量適中，難易度合理10能力水平能熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，有一定查閱文獻(xiàn)及運(yùn)用文獻(xiàn)資料能力10理論依據(jù)充分，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，公式推導(dǎo)正確10能應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行編程、資料搜集錄入、加工、排版、制圖等10能體現(xiàn)創(chuàng)造性思維，或有獨(dú)特見解15成果質(zhì)量模型正確、合理，各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)符合要求。15摘要敘述簡(jiǎn)練完整，假設(shè)合理、問題分析正確、數(shù)學(xué)用語準(zhǔn)確、結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)合理；問題處理科學(xué)、條理分明、語言流暢、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、版面清晰15論文主要部分齊全、合理，符號(hào)統(tǒng)一、編號(hào)齊全。格式、繪圖、表格、插圖等規(guī)范準(zhǔn)確，符合論文要求10字?jǐn)?shù)不

2、少于2000字，不超過15000字5總 分100指導(dǎo)教師評(píng)語： 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日摘要目前，證券在我國(guó)得到了迅速健康的發(fā)展，并且為我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展作出了很大貢獻(xiàn)。本文針對(duì)目前流行的各種不同的證券發(fā)行方案，建立線性規(guī)劃模型，得出最佳的證券組合投資方案。問題一中假設(shè)該經(jīng)理有1000萬資金可以進(jìn)行投資支配，在滿足題目給出的各限制范圍內(nèi)，以最大收益為目標(biāo)函數(shù)，建立三個(gè)線性規(guī)劃模型，分別為冒險(xiǎn)模型、保守模型和一個(gè)折中模型，但是前兩個(gè)不符合題目給出的約束條件，綜合考慮，應(yīng)選用折中模型，用Lingo求解得出了最大收益為29.83636萬元，各種證券的投資方案見表二。問題二中假設(shè)能以2.75%的利率借到

3、不超過100萬元資金，在相同的約束條件下，仍然建立線性規(guī)劃模型，采用Lingo求解，得出最大收益為 32.82000萬元，投資方案見表五。問題三中在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%，仍然建立線性規(guī)劃模型，通過Lingo解得最大收益相對(duì)問題一中增加了，為30.27273萬元，投資方案見表六；若證券C的稅前收益減少為4.8%，用同樣的方法求出最大收益相對(duì)問題一中減少了，為29.42400萬元，投資方案見表七。關(guān)鍵字：證券投資、線性規(guī)劃、Lingo求解軟件、投資風(fēng)險(xiǎn)問題重述證券投資目的:提高企業(yè)、個(gè)人閑置資金的使用效率,最大限度地實(shí)現(xiàn)投資效益,為其謀取更多的投資回報(bào)。收益和風(fēng)

4、險(xiǎn)是并存的，通常收益越高，風(fēng)險(xiǎn)越大。投資者只能在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間加以權(quán)衡，即在風(fēng)險(xiǎn)相同的證券中選擇收益較高的，或在收益相同的證券中選擇風(fēng)險(xiǎn)較小的進(jìn)行投資。為了實(shí)現(xiàn)證券投資的有效組合（降低風(fēng)險(xiǎn)和收益最大化），投資者要有正確的投資決策。某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購(gòu)進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益如下表所示。表一證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益（%）A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5投資哪一種證券都是任意的，其中市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。另外還受到三個(gè)約束條件的限制：（

5、1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬元；（2）所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過1.4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購(gòu)證券的平均到期年限不超過5年。選擇不同的證券組合投資，便會(huì)得到不同的收益。所以在投資時(shí)根據(jù)給出的已知條件進(jìn)行決策，在不虧損的情況下，又要保證收益最大。問題：1、假如該經(jīng)理有1000萬元資金，在給出的約束條件下，且各種證券的信用等級(jí)、到期年限、收益都不變，應(yīng)如何選擇購(gòu)進(jìn)證券種類，才能使得收益最大？2、如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，在其他條件不變的情況下及問題1的基礎(chǔ)上，又怎樣支配資金投放？3、在有1000萬元資金情況下：（1）若證券A的稅前

6、收益增加為4.5%，其他證券稅前收益不改變的情況下，要使得收益最大，該經(jīng)理如何投資？（2）若證券C的稅前收益減少為4.8%，其他證券稅前收益不改變的情況下，要使得收益最大，該經(jīng)理又如何投資？模型假設(shè)1. 假設(shè)在有價(jià)證券到期前，該經(jīng)理不會(huì)中斷投資。2. 假設(shè)在投資過程中，可供購(gòu)買的各種證券的信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益固定不變，以及其納稅稅率不變。3. 假設(shè)借款利率在證券到期前沒有波動(dòng)。4. 信用等級(jí)可以視為風(fēng)險(xiǎn)的一種情況。符號(hào)說明mi: 第i種證券的投資金額（i=15）；si: 第i種證券的到期稅前收益（%）（i=15）；xi: 第i種證券的信用等級(jí)（i=15）;yi： 第i種證券的到期年

7、限（i=15）；ti: 第i種證券需交納的稅率（%）（i=15）；Z： 證券到期時(shí)獲得的總收益；（證券A、B、C、D、E分別用編號(hào)）問題分析仔細(xì)考慮問題的要求和條件，這是一類考慮因素較簡(jiǎn)單，算法要求較低的問題，具體表現(xiàn)在兩方面：一是考慮因素簡(jiǎn)單。在進(jìn)行證券投資決策時(shí)，只需考慮各種證券的信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益、納稅稅率，合理組合證券投資，來求出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。二是算法要求較低。由于考慮因素較多，變量也多，明顯不方便用人工計(jì)算，但是可以將模型輸入相關(guān)軟件直接求解，算法較簡(jiǎn)單。問題一中給出了總資金1000萬元，由于投資受到各種證券不同的信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益的影響，投資者需要合

8、理地進(jìn)行投資。證券交易的最終目標(biāo)是取得最大收益，但在進(jìn)行證券交易時(shí)，也存在著較大的風(fēng)險(xiǎn)。為了更好地了解其中的風(fēng)險(xiǎn)，我們提供了三種方法，即折中法、冒險(xiǎn)法和保守法。采用何種方法取決于決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。我們知道，一個(gè)投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)和其投資對(duì)象的信用等級(jí)有密切關(guān)系。首先，考慮所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)必須不超過1.4，所購(gòu)證券的平均到期年限不超過5年，除此之外，還要在滿足其他約束條件的前提下，建立相應(yīng)的模型解出最大收益，這是折中法。其次，在不考慮信用等級(jí)的影響下，其他約束條件不變，得出的最大收益，這是冒險(xiǎn)法。最后，針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，運(yùn)用保守法建立風(fēng)險(xiǎn)最小的最大收益模型，即當(dāng)所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)最小時(shí)，

9、其他約束條件不改變所得的線性模型。問題二中的解決方法與問題一相同，只是在本問題中能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，所以相當(dāng)于可用資金增加了，這時(shí)在問題一的收益基礎(chǔ)上，還要償還投資期間所累積的利息。當(dāng)增加的收益大于所要償還的利息時(shí)，則收益增加。問題三中在有1000萬元資金情況下，證券A的稅前收益變?yōu)?.5%，其他數(shù)據(jù)沒有改變，所用模型和解題思路與問題一相同。同樣的，當(dāng)證券C的稅前收益減少為4.8%時(shí)，解題思路同上?；谝陨戏治觯际墙⒕€性規(guī)劃模型，使用Lingo軟件運(yùn)行結(jié)果。模型的建立與求解1 問題一的求解（1）該經(jīng)理擁有1000萬資金用來本次投資，在以上的約束條件下求出最大收益

10、。在符合約束條件的情況下，投資方案有很多種，應(yīng)該從中選出收益最大的方案。在這些證券種類當(dāng)中，信用等級(jí)、到期年限、稅前收益不盡相同：x1x5對(duì)應(yīng)證券AE的信用等級(jí)，y1y5對(duì)應(yīng)證券AE的到期年限，s1s5對(duì)應(yīng)證券AE的稅前收益，具體數(shù)據(jù)見表一。由已知條件可以建立折中模型：目標(biāo)函數(shù) max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1

11、+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;用Lingo軟件進(jìn)行求解可以得到m1=218.1818, m2=0, m3=736.3636, m4=0,m5=45.45455,總收益Z=29.83636。在以上結(jié)果中可以確定，在符合約束條件下，投資的最大收益為29.83636萬元，證券B和證券D的投資額都為零，證券C的投資額最大，為736.3636萬元，證券A為218.1818萬元，證券E為45.45455萬元。結(jié)果如圖

12、一和表二。圖一表二證券類型M1M2M3M4M5投資數(shù)量218.18180.000000736.36360.00000045.45455總收益29.83636由于證券B的到期年限太長(zhǎng)，跟約束條件相比相差太遠(yuǎn)，經(jīng)過計(jì)算該證券的投資為零，而證券D的稅前收益太低，而且要繳納百分之五十的稅率，稅前的收益率是這幾個(gè)證券中較低的，為了獲得最大收益，因此證券D的投資額為零，證券C的信用較好，到期年限也不長(zhǎng)，稅前收益也較高，所以投資該證券的金額較高。（2）考慮到部分投資者比較厭惡風(fēng)險(xiǎn)，他們比較看重信用，保守投資。那么，我們就可以建立一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)最低的模型，即在求出風(fēng)險(xiǎn)最低的方案的前提下才進(jìn)行投資，這時(shí)平均信用等級(jí)的

13、約束條件變?yōu)榍笞畹推骄庞玫燃?jí)。風(fēng)險(xiǎn)模型如下：目標(biāo)函數(shù)Z= s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件min=(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;在此模型中，使用Lingo軟件可以求出m1=0，m2=0，m3=536.49，m4=463.51，m5=0

14、，總收益Z=23.60947，經(jīng)理只是投資了C證券和D證券，因?yàn)樵谶@么多證券中，這兩個(gè)證券的信用程度最高，這樣才符合這個(gè)模型的根本目標(biāo)。該模型結(jié)果如圖二和表三：圖二表三證券類型M1M2M3M4M5投資數(shù)量（萬元）0.0000000.000000536.4900463.5100 0.000000總收益（萬元）23.60947（3）然而少數(shù)投資者敢于冒險(xiǎn)，他們投資時(shí)不考慮各種證券的信用等級(jí)高低而只在乎是否獲得最大收益，因此在忽略平均信用等級(jí)1.4的條件下我們可以建立一個(gè)收益最大模型：目標(biāo)函數(shù)max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;約束條件m1+m2+m3+m4+m5&l

15、t;=1000;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0使用Lingo軟件可以解得：m1=0，m2=200，m3=200，m4=0，m5=600，總收益Z=37.4，在一定的約束條件下，B、C兩種證券分別都投資了200萬元，由于E證券到期稅前收益率較高且可以免稅，在投資額相同的情況下收益是最高的，則為了獲得最大的收益就把剩下的600萬元都投給了E證券也是合理的。結(jié)果見圖三和表四：圖三表四證券類型M1M2M

16、3M4M5投資數(shù)量（萬元）0.000000200.0000200.00000.000000600.0000總收益（萬元）37.40000在本問題當(dāng)中需要考慮題目中所給的約束條件：（1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬元；（2）所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過1.4；（3）所購(gòu)證券的平均到期年限不超過5年。在以上三個(gè)模型當(dāng)中，只有第一個(gè)模型符合題目的約束條件，這個(gè)模型相對(duì)來說比較合理，所以折中模型比較適合本問題的求解，綜合考慮，第一個(gè)模型的結(jié)果就是本問題的最優(yōu)解。 2 問題二的求解 這個(gè)問題的解題方法與問題一的解題方法相似，使用折中法進(jìn)行求解。該問題中，經(jīng)理可以以2.75%的利率接到不超過

17、100萬元的資金，極限地假設(shè)經(jīng)理借了一百萬元，則經(jīng)理的可用資金就是1100萬元，用這些資金在符合約束條件下進(jìn)行投資，我們可以建立一個(gè)最優(yōu)解的數(shù)學(xué)模型：目標(biāo)函數(shù)Max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1100;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>

18、=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;使用Lingo軟件進(jìn)行求解得到：m1=240，m2=0，m3=810，m4=0，m5=50，總收益Z=32.82，可以看出在增加100萬元的前提下，投資后的總收益比問題一增加了2.98364萬元，而借貸需要償還的利息為2.75萬元，即借貸后所獲得的最后收益有所增加，所以可以確定該經(jīng)理應(yīng)該借這100萬元。結(jié)果如圖四和表五所示：圖四表五證券類型M1M2M3M4M5投資數(shù)量2400.0000008100.00000050總收益32.820003 問題三的求解這個(gè)問題的求解方法與問題一得求解方法相同，第

19、一小問只是證券A的稅前收益增加到4.5%，其他的約束條件不變，現(xiàn)只需要建立一個(gè)折中模型：目標(biāo)函數(shù)max= s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=

20、0;m4>=0;m5>=0;用Lingo軟件求解可以得到：m1=218.1818，m2=0，m3=736.3636，m4=0，m5=45.45455，總收益Z=30.27273，用這個(gè)結(jié)果跟問題一的結(jié)果進(jìn)行比較可以知道，這個(gè)小問中對(duì)各個(gè)證券的投資跟問題一的方案一樣，而且收益有所增加。結(jié)果見圖五和表六：圖五表六證券類型M1M2M3M4M5投資數(shù)量（萬元）218.18180.000000736.36360.00000045.45456總收益（萬元）30.27273第二小問中的C證券的稅前收益減少了4.8%，其解法與第一小問的解法也相同，建立一個(gè)折中模型：目標(biāo)函數(shù)max= s1*m1*（

21、1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;使用Lingo求解得到：m1=336，m2=0，m3=0，m4=648，m5=1

22、6，總收益Z=29.424。分析這個(gè)結(jié)果和問題一的結(jié)果可以看出，由于C證券的稅前收益減少了0.2%，該證券的投資金額從問題一的最多變?yōu)榱?，?duì)D證券的投資金額變?yōu)樽疃啵瑢?duì)其他證券的投資金額都各有所改變，總的收益也減少了0.41236萬元。結(jié)果見圖六和表七：圖六表七證券類型M1M2M3M4M5投資數(shù)量（萬元）0.0000000.000000536.4900463.5100 0.000000總收益（萬元）23.60947模型的評(píng)價(jià)1、模型的優(yōu)點(diǎn)（1） 本文解決問題的模型都是比較簡(jiǎn)單的，但是這并不影響得到結(jié)果的準(zhǔn)確性，因?yàn)檫@些簡(jiǎn)單的模型都有很強(qiáng)的理論依據(jù)；（2）通過利用數(shù)學(xué)工具和Lingo編程的方法，

23、嚴(yán)格的對(duì)模型求解，具有科學(xué)性。（3）建立的模型能與實(shí)際較緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)所提出的問題進(jìn)行求解，是模型更貼近實(shí)際，通用性較強(qiáng)。（4）模型給出了快速計(jì)算投資分配的方法，計(jì)算方便、靈活。2、模型的缺點(diǎn)（1）、一些數(shù)據(jù)中，我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的處理時(shí)，如取整數(shù)據(jù)、舍去數(shù)據(jù)等，這些方法都會(huì)帶來一定的誤差。（2）在解決各問題時(shí)，都是假設(shè)在各種證券的信用等級(jí)、到期年限、稅前收益不變的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的，但是實(shí)際的市場(chǎng)變化無常，納稅稅率也會(huì)有所波動(dòng)。參考文獻(xiàn)【1】 吳建國(guó)等，數(shù)學(xué)建模案例精編，北京，中國(guó)水利水電出版社，2005【2】 姜啟源等，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京，高等教育出版社，2003【3】

24、葉其孝等，數(shù)學(xué)建模（原書第三版），北京，機(jī)械工業(yè)出版社，2005【4】 束金龍等，線性規(guī)劃理論與模型應(yīng)用，北京，科學(xué)出版社，2003附錄Lingo代碼mode1.max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m

25、1+m2+m3+m4+m5)<=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;mode2.max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5<=1100;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

26、(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;mode3.1max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.045;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4>=400;m1&