余式定理,因式定理之歐陽(yáng)物創(chuàng)編

1、余式定理時(shí)間：2021.02.07命題人：歐陽(yáng)物1公式整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)除以(xa)商為q(x)，余式為r，則 f(x)=(x-a)q(x)+r °如果多項(xiàng)式r=0，那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式(xa) °反過 來，如果f(x)含有因式(x-a) 那么，r=0 °2概念當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式f(x)除以(x-a)時(shí)，所得的余數(shù)等于f(a)。 例如：當(dāng)f(x)二xT+x+2除以(x - 1)時(shí)，則余數(shù) =f(l) = lA2 + l+2=4。3推論當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式f(x)除以(mx - n)時(shí)，所得的余數(shù)等于 f(n/m) °例如:求當(dāng)9xA2+6x-7除以(3x

2、+ 1)時(shí)所得的余數(shù)。 設(shè) f(x) = 9xA2 + 6x-7，則余數(shù) f(-l/3)=l-2-7=-8。4例題(全國(guó)港澳臺(tái)華僑聯(lián)合招生考試題型)設(shè)f(x)以(xl)除之，余式為8，以(x2+x+l)除之的余式為 (7x+16)，求(xA3-l)除之的余式為多少？解：根據(jù)題意，得 f(l)=8，f(x)=(xA2+x+l)g(x)+7x+16 ° 因?yàn)?xA3-l=(x-l)(xA2+x+l)所以 f(x) = (x-l)(xA2+x+l)g(x)+a(xA2+x+l)+7x+16 (其 中 a(x2+x+l)+7x+16 為余式)又 f(l)=8所以 f(l)=3a+7+16=8

3、所以a二5，因此余式為-5xA2+2x+ll因式定理1定義為余式定理的推論之一:如果多項(xiàng)式f(a)=0，那么多項(xiàng) 式f(x)必定含有因式x-a °反過來，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0 °分解因式心一卅+(> Z)'+(Z7) 解;.當(dāng)xy時(shí)，原式為0原式含有因式(xy)又.原式為3次對(duì)稱多項(xiàng)式原式還含有因式(yz)(z-x) 設(shè)原式=k(xy)(yz)(zx)令 x = 0. y = 1, z = 2得k = 3原式=3( x - y)(y - z)(z-x)2例題如圖，此題可以利用完全立方公式解答 但較為繁瑣。仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x二y時(shí)，

4、原式的值為0。根據(jù)因式定理可知：原式必有因式xy同樣的，可以得到原 式必有因式y(tǒng)z和z-x (也可以由原式為對(duì)稱多項(xiàng)式直接得 到)然后再用待定系數(shù)法(結(jié)合賦值法)求出待定系數(shù)即可3意義熟練掌握因式定理后，可以運(yùn)用試根法（結(jié)合因式定理） 找到因式（大多試±1，±2，±3，±% ），再用待定系數(shù)法（結(jié)合賦值法）求出待定系數(shù)，或綜合除法直接求出剩下 的因式，這樣就可以較便利的分解因式了。同時(shí)，將因式定理與待定系數(shù)法配合使用往往可以更簡(jiǎn)便 的進(jìn)行因式分解，也可以用來判斷能否進(jìn)行因式分解。4多項(xiàng)式的因式分解因式定理普遍應(yīng)用于找到一個(gè)多項(xiàng)式的因式或多項(xiàng)式方程 的根的兩類問題。從定理的推論結(jié)果，這些問題基本上是 等價(jià)的。若多項(xiàng)式已知一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)，因式定理也可以移除多項(xiàng) 式中已知零點(diǎn)的部份，變成一個(gè)階數(shù)較低的多項(xiàng)式，其零 點(diǎn)即為原多項(xiàng)式中剩下的零點(diǎn)，以簡(jiǎn)化多項(xiàng)式求根的過 程。方法如下：先設(shè)法找出多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)。利用因式定理確認(rèn)是多項(xiàng)式的因式。利用長(zhǎng)除法計(jì)算多項(xiàng)式。中，所有滿足條件的根都是方程式的根。因?yàn)榈亩囗?xiàng)式階 數(shù)較要小。因此要找出多項(xiàng)式的零點(diǎn)可能會(huì)比較簡(jiǎn)單。另外欲使A二BQ+R成立，就令除式BQ=0,則被除式A=R,能 使此方程式成立，被除式二（商式）（除式）+余式or被除式/除式=商式+余式/除式1推論：（一）若多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)為