力法與位移法的比較及綜合應(yīng)用

1、力法與位移法的比較及綜合應(yīng)用作者：丁必成 摘要力法和位移法 是超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析的兩種基本方法。 本文從基本未知量、基本體系、典型方程及計(jì)算過(guò)程等方面對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較和總結(jié)，介紹了力法與位移法的聯(lián)合應(yīng)用及混合應(yīng) 用。根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況，綜合應(yīng)用力法或位移法，常能方便快捷地進(jìn)行超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析。關(guān)鍵詞力法位移法基本未知量 基本體系混合應(yīng)用聯(lián)合應(yīng)用1力法與位移法的比較1. 1基本未知量力法：是以多余未知力為基本未知量，基本未知量的數(shù)目等于結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。位移法：是以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移(結(jié)點(diǎn)角位移與獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移)為基本未知量，基本未知量的數(shù)目與超靜定的次數(shù)無(wú)關(guān)。例如：圖1中(a)圖為三次超靜

2、定結(jié)構(gòu)：(b)圖使用力法，基本未知量為3個(gè)(X1, X2, X3)(c)圖使用位移法，基本未知量為1個(gè)(乙)明1 . 2基本體系力法：從原結(jié)構(gòu)中去掉多余約束而代之以多余未知力所構(gòu)成的靜 定結(jié)構(gòu)作為基本體系。位移法：在原結(jié)構(gòu)各剛性結(jié)點(diǎn)上附加剛臂，在有獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 的方向附加鏈桿，形成 一系列單跨超靜定梁作為基本體系1 . 3典型方程與計(jì)算過(guò)程力法和位移法的典型方程是相似的：力法：MX1+ 如 X? +，二二十 小國(guó) + -'+ 3g工 + 5介=0MX + 出土 +* + 力黑 +熊凡 + H0MKi + MX"+ 為禹 +t 與=061X1 + 6房 X?+ 6K 十 +

3、&nX + d# = 0位移法：F©* 冬 *77:777+ 丁1,乙 +工+ % =04 + 2% + 2昌-+ + nZ + 尺h(yuǎn)=o+門必+1扇+4十月吁 =0r,iZi + “許+ qZ + + f 高制 + Rm =0 i )h «_iriI上述典型方程中的X1 X2. Xi .和乙Z2.乙 分別代表多 余未知力和結(jié)點(diǎn)未知位移。方程右邊為零，分別表達(dá)變形協(xié)調(diào)條 件與力的平衡條件。(2)典型方程中，在基本未知量前面都存在系數(shù)。力法中°為柔度系數(shù)，它表示第j個(gè)單位多余未知力在i處所引起的相應(yīng)位移，當(dāng)i j時(shí)，0恒為正值，當(dāng)i j時(shí)，根據(jù)位移互等定理有

4、°小位移 法中中為剛度系數(shù)，代表由于第n個(gè)單位位移在i處引起的相應(yīng)反力或反力偶，當(dāng)i j時(shí)，9恒為正值；當(dāng)i j時(shí)，根據(jù)反力互等定理 有rj巾。此外，兩者的典型方程中都存在自由項(xiàng)ip和Rp分別代表由荷載在i處引起位移和力或力偶。方程中系數(shù)建立后，從基本方程就可解出基本未知量。力法 和位移法的典型方程的計(jì)算過(guò)程都是先直接求出基本未知量，然 后計(jì)算內(nèi)力。1 . 4變形協(xié)調(diào)條件與平衡條件兩種方法的分析過(guò)程中都同時(shí)考慮了平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件， 只是先后次序有所不同。在力法中，基本體系在荷載與多余未知力共同作用下處于平衡 狀態(tài)，實(shí)質(zhì)上就是先滿足了平衡條件，然后在建立力法方程時(shí)又 滿足了變形協(xié)

5、調(diào)條件在位移法中，確定基本未知量時(shí)，認(rèn)為匯交于剛結(jié)點(diǎn)處的各桿端轉(zhuǎn)角相等及受彎桿兩端間距不變，實(shí)際上已先滿足了變形協(xié)調(diào)條件，然后在建立位移法方程時(shí)，又滿足了平衡條件 2力法與位移法的綜合應(yīng)用具體結(jié)構(gòu)應(yīng)該具體分析，靈活地選用力法和位移法，力求使未知量的數(shù)目較少、求解簡(jiǎn)潔。一般地說(shuō)，力法適用于多余約束少而結(jié)點(diǎn)較多的剛架，位移法適用于多余約束多而結(jié)點(diǎn)位移少的剛 架。止匕外，某些問(wèn)題可將力法和位移法綜合應(yīng)用，包括兩者的混 合應(yīng)用和聯(lián)合應(yīng)用。2 . 1力法與位移法的混合應(yīng)用某些結(jié)構(gòu)在進(jìn)行內(nèi)力分析時(shí)，單純的使用力法或是位移法，分析過(guò)程都比較復(fù)雜，這時(shí)可考慮將兩種方法混合使用，即在結(jié)點(diǎn)位移多而多余約束少的結(jié)構(gòu)

6、局部撤去多余約束，在結(jié)點(diǎn)位移少而多余約束多的結(jié)構(gòu)局部的結(jié)點(diǎn)附加約束。這樣，基本未知量中既有 多余約束力，又有結(jié)點(diǎn)位移，力和位移分區(qū)混合。下面以實(shí)例來(lái) 說(shuō)明兩者的混合應(yīng)用 。例：試作圖2(a)結(jié)構(gòu)的彎矩圖此結(jié)構(gòu)假設(shè)用一般力法求解，有四個(gè)基本未知量，用一般位移法 求解，有三個(gè)基本未知量。其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是上部結(jié)點(diǎn)位移多，外部 約束少，下部結(jié)點(diǎn)位移少，外部約束多；因此對(duì)結(jié)構(gòu)上部撤去多 余約束E,對(duì)下部的結(jié)點(diǎn)B附加轉(zhuǎn)動(dòng)約束，這樣，基本體系如圖 2(b)所示，基本未知量的數(shù)目只有兩個(gè)，既有多余約束力(E處 水平反力Xi),又有結(jié)點(diǎn)位移(B結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角Z2)?；痉匠虨椋篔 臺(tái) iiM + SzZ2 + 二

7、76;121X1 + 廠二。先作該結(jié)構(gòu)的M P和M1,而2如圖2(c)、(d)、(e)所示，其中M P圖 考慮DE段作用有均布荷載時(shí)，由于 B處增加了附加約束 (剛臂)， 故只有上部BDE段存在彎距；M；圖同理也是如此；M；圖中由于 BDE部分是懸臂部分，所以只有下部存在彎距。基本方程中系數(shù)ii和3, ip和R2p可以從彎距圖中求出，系數(shù) I表示由于單位荷載Xi 1所引起的附加約束處的反力偶，可從圖中求出，12表示由于單位轉(zhuǎn)角Z2 1所引起的多余約束力方向的位移，可從圖2(e)中觀察求出。故得：2M iM p?M i "11-?ds 110.31- - ?ds 3400EIpEIr2

8、2 2力法與位移法聯(lián)合應(yīng)用 某些問(wèn)題單純地使用力法或位移法都比較復(fù)雜，兩者混合應(yīng)用時(shí)也不方便，這時(shí)可考慮將兩者聯(lián)合應(yīng)用。力法和位移法聯(lián)合應(yīng)用時(shí)，基本未知量仍是部分多余約束力或部分結(jié)點(diǎn)位移，但不混用 應(yīng)用時(shí)兩種形式，即力法思路形式和位移法思路形式。下面仍以 上例來(lái)說(shuō)明兩者的聯(lián)合應(yīng)用(1)力法思路形式求解 ： 取上述X1為力法基本未知量，基本體系如圖3(b)所示，與一般力r21法不同的是這個(gè)體系為超靜定結(jié)構(gòu)，基本方程為：代入基本方程，有：110.3X1 7Z2 3400 07X1 4Z2 160 012160解得 X1 30.02KNZ212.5511X11p 0由M MpX1M? Z2M7作出M

9、圖如圖2(f)所示 求11和ip所用的M；和Mp圖用位移法求解，結(jié)果如圖 3(c)、(d)所 示，上部BDE段彎距可直接求出，下部 BA, BC干的桿端彎距可由 B結(jié)點(diǎn)力矩平衡，根據(jù)桿件的相對(duì)線剛度分配得到桿端彎距。則 有：211？ds 122581PP?M ?ds 3680EIpEI代入方程求得：X1 30.02 KN由M M P X1M；作出Mg|如3 e所示。(2)位移法思路形式求解：取上述Z2為位移法基本未知量，基本體系如圖 4(b)所示。其中BDE部分為子結(jié)構(gòu)，AB和BC干為單桿，基本方程為：r22Z2R2P求r22和R2P所用的M2和Mp圖可用力法求得。 M2和M P如圖4(c)、

10、(d) 所示，圖中由于 B點(diǎn)附加剛臂的存在，所以只需求出上部BDE段的彎距，B端相當(dāng)于固定端，可由力法求出BDE的彎距，M2圖中當(dāng)B結(jié)點(diǎn)發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，下部AB、BC干件的桿端彎距可由轉(zhuǎn)角 位移方程直接得出，上部BDE段可根據(jù)力法(由于支座位移引起 的一次超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算)求出。則有：r22 4.44R2P 55.71代人基本方程求得：Z212.55由M M P Z2Mz作出M圖如圖4(e)。此外，在對(duì)稱結(jié)構(gòu)計(jì)算中將兩種方法聯(lián)合應(yīng)用也可以簡(jiǎn)化計(jì)算。如圖5(a)所示對(duì)稱剛架，可將一般荷載分解為對(duì)稱與反對(duì)稱兩組分量如圖5(b)(C)示。在對(duì)稱荷載作用下用位移法計(jì)算半剛架， 只有一個(gè)基本未知量；

11、在反對(duì)稱荷載作用下用力法計(jì)算半剛架，也只有一個(gè)基本未知量。分別計(jì)算后將兩組內(nèi)力疊加可得最后內(nèi)力圖5總結(jié)比較力法與位移法的混合應(yīng)用與聯(lián)合應(yīng)用（合稱綜合應(yīng)用），都可以使內(nèi)力分析得到簡(jiǎn)化，但也有所區(qū)別?；旌蠎?yīng)用時(shí)，基本未 知量有兩類：即力法的多余未知力和位移法的結(jié)點(diǎn)位移；而聯(lián)合 應(yīng)用時(shí)，基本未知量的性質(zhì)單一，或是不完全多余未知力，或是 不完全結(jié)點(diǎn)位移。如果原結(jié)構(gòu)可以劃分為多個(gè)子結(jié)構(gòu)，并且各子 結(jié)構(gòu)內(nèi)力及各種系數(shù)都能用力法或位移法簡(jiǎn)單求解，選擇混合應(yīng) 用方法比較方便；如果原結(jié)構(gòu)中存在單個(gè)多余約束力或者單個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移，使用某一方法（力法或位移法）并可以配合使用另一種方法（位移法或力法）求解出相應(yīng)系數(shù)時(shí)，宜選擇聯(lián)合應(yīng)用方法。通過(guò)力法與位移法的混合應(yīng)用與聯(lián)合應(yīng)用，對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi) 力分析在傳統(tǒng)的力法和位移法的基礎(chǔ)上可以引申開(kāi)去，可以先求 解其中的一部分未知量，然后再求解其余未知量；對(duì)于基本體系 的選擇可以是靜定結(jié)構(gòu)，也可是超靜定結(jié)構(gòu)。兩者混合應(yīng)用時(shí)， 基本體系是超靜