概率論及數(shù)理統(tǒng)計多維隨機變量ppt課件

1、第三章第三章 多維隨機變量多維隨機變量 普通地，我們稱n個隨機變量的整體X=(X1, X2, ，Xn)為n維隨機變量或隨機向量. 3.1二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)定義的二維分布函數(shù)。的二維分布函數(shù)。為隨機變量為隨機變量則稱則稱對任意的對任意的),(),(),(,YXyYxXPyxFRyx性質(zhì)3. ()1;( ,)0,(, )0F,F xFy 2.0 F(x,y) 11. F(x,y)是變量是變量x,y的單調(diào)不減函數(shù)。的單調(diào)不減函數(shù)。對于恣意對于恣意y,x1x2,F(x1,y) F(x2,y)對于恣意對于恣意x,y1X2)假設(shè)二維隨機變量假設(shè)二維隨機變量X,Y具有概率密度具有概率密度2211222

2、11221()2() 2(1)2121( , )21xxyyf x ye那么稱那么稱 X,Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為其中其中均為常數(shù)均為常數(shù),且且, 0, 0211|,21211212(, ) (,)X YN ,2121的二維正態(tài)分布的二維正態(tài)分布.記作記作二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布3.2 二維隨機變量二維隨機變量X,Y分布函數(shù)為分布函數(shù)為F(x,y),而而X,Y都是隨機變量，各自具有分布函數(shù)，分別都是隨機變量，各自具有分布函數(shù)，分別記為記為FX(x)和和FY(y),依次稱為依次稱為X,Y關(guān)于關(guān)于X和和關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。的邊緣分布函數(shù)。( )()XFxP Xx( )()YFyP Yy(,)(

3、 ,)P Xx YF x (,)(, )P Yy XFy 二維離散型隨機變量的邊緣分布密度二維離散型隨機變量的邊緣分布密度,),(ijjipbYaXPi, j =1,2, 設(shè)設(shè)X,Y為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，那么那么(X,Y)關(guān)于關(guān)于X、Y的邊緣概率分布分別為的邊緣概率分布分別為, 2 , 1,)(ipaXPpjijii, 2 , 1,)(jpbYPpiijij邊緣分布密度邊緣分布密度XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.pjpip1 p2 pjp1p2 .pi .1例例1：設(shè)袋里有五個同類產(chǎn)品，其中有兩個是：設(shè)袋里有五個

4、同類產(chǎn)品，其中有兩個是正品?，F(xiàn)依次抽取兩個正品?，F(xiàn)依次抽取兩個,設(shè)設(shè)X、Y份表示第一次、份表示第一次、第二次抽取的產(chǎn)品。在無放回抽取和有放回第二次抽取的產(chǎn)品。在無放回抽取和有放回抽取兩種情況下分別求抽取兩種情況下分別求X,Y的關(guān)于的關(guān)于X,Y的的邊緣分布密度。邊緣分布密度。設(shè)設(shè)X,Y的分布密度為的分布密度為f(x,y),那么關(guān)于那么關(guān)于X和和關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度分別為的邊緣分布密度分別為dyyxfxFdxdxfXX),()()(dxyxfyFdydyfYY),()()(二維延續(xù)型隨機變量的邊緣分布密度二維延續(xù)型隨機變量的邊緣分布密度隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 假設(shè)二維隨機變量假設(shè)二維

5、隨機變量X,Y滿足滿足,對恣意對恣意x,y有有)()(),()()(),(yFxFyxFyYPxXPyYxXPYX即 那么稱那么稱X,Y相互獨立相互獨立 .離散型離散型jipppjiij,對一切延續(xù)型延續(xù)型yxyfxfyxfYX,)()(),(例例2 知知X、Y獨立獨立,完成下面表格。完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/61例例4：設(shè)：設(shè)X,Y在區(qū)域在區(qū)域G0y2x+2,-1x 0，那么稱，那么稱為在為在Y=yj條件下隨機變量條件下隨機變量X的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù).P(X=xi|Y=yj)=)(),(jjiyYPyYxXPjjipp，i=1,2, 結(jié)合分布結(jié)合分布邊緣

6、分布邊緣分布 條件分布是一種概率分布，它具有概率條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì)分布的一切性質(zhì). 正如條件概率是一種概率，正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì)具有概率的一切性質(zhì)., 0)|(jiyYxXP例如：例如：1)|(1ijiyYxXPi=1,2, XY10101/103/103/103/10例例1 知知X,Y的分布密度如下，分別求在的分布密度如下，分別求在X=1和和X=0條件下，條件下，Y的分布密度。的分布密度。延續(xù)型延續(xù)型r.v的條件分布的條件分布00|0( -)0.lim(| -)(, -)lim( -)X(|),( | ).X YP yYyP Xx yYyP

7、 Xx yYyP yYyYyP Xx YyFx y 設(shè)對于任意給定的，有若存在，則乘此極限為在條件下 的條件概率分布函數(shù)。記作或定義定義dyyxfyxfxfyxfxyfXXY),(),()(),()|(| 設(shè)設(shè)X和和Y的結(jié)合概率密度為的結(jié)合概率密度為 f (x,y),邊緣概率密度為邊緣概率密度為 ，那么對一切，那么對一切使使)(),(yfxfYX0)(xfX 的的x , 定義知定義知 X=x下，下，Y 的條件的條件密度函數(shù)為密度函數(shù)為dxyxfyxfyfyxfyxfYYX),(),()(),()|(|同樣，對一切使同樣，對一切使 的的 y, 定義定義0)(yfY為知為知 Y=y下，下，X的條件密度函數(shù)的條件密度函數(shù) .定義定義 例例2：設(shè)二維隨機變量：設(shè)二維隨機變量X,Y的分布密度為：的分布密度為：)2()1 (21exp121),(2222yxyxyxf求求(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的條件分布密度。的條件分布密度。例例3 3：設(shè)