(整理)平面向量第一講

1、汪博教育5398006平面向量第一講向量的加減法、實數(shù)與向量的積、平面向量的坐標運算主講：龔榮峰 要點掃描1向量是既有又有的量，向量常用 線段來表示，向量 AB的長度記作;長度為零的向量叫做 ，記作，長度為1的向量叫做 ；方向相反或相同的向量叫做 也叫做，長度相等且方向相同的向量叫做2實數(shù)k與向量a的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|ka|=(2)當k>0時，ka與a的方向；當k<0時，ka與a的方向;當k=0時，ka=3向量b與向量a共線的的充要條件是 其中a不為零向量4向量加法的運算律：(1)；實數(shù)與向量的積的運算律-5在平面直角坐標系中，設(shè)i , j分別是方

2、向與x軸、y軸正向相同的單位向量，a是平面內(nèi)任一向量，且a=x i +yj，則稱為a的坐標，記作a=(，)6 設(shè) a= ( c, d) , b=(e, f)貝V a+b=(,) ,a-b= (,)ka=(,)7設(shè) A= (c, d), B= (e, f),貝U AB =, | AB |=8 a= (c, d) , b= (e, f)，貝U a/b 等價于考題熱身1 在厶 ABC 中，AB=c , AC = b ,若點 D 滿足 BD =2 DC，求 AD2 已知平面向量 a= (1, 2) , b= (-2, m),且 a/b ,求 2a+3b考點解讀 考點1向量的概念(1 )向量的表示方法向

3、量的起點為A，終點為B,則記為AB，若只研究向量的大小和方向，不關(guān)心起點時，可 用a、 b來表示(2 )向量的模如果AB =a,那么AB的長度表示向量a的大小，也叫做向量 a的模，記作| AB |=|a|(3 )對零向量、相等向量、共線向量的說明零向量的方向不確定，任意，兩個零向量相等，模為零的向量一定是零向量；任意兩個相等的非零向量，都可以用一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān)；共線向量也叫平行向量，任一向量都與自身是平行向量，并且規(guī)定零向量與任一向量都是平行向量 考點2向量的加減法（1）向量的加法可以按照平行四邊形法則、三角形法則（2）向量的減法實質(zhì)是向量加法的逆運算考點3實數(shù)與向量

4、的乘積實數(shù)k與向量a的積是一個向量，記作 ka考點4實數(shù)與向量的積滿足的運算律設(shè)入謨實數(shù)，則有X a =（入）a（入+ p） a =入 a+Xa+ b）=入a Xb考點5向量共線的條件平行向量基本定理：若 a=kb,則a/b，若a/b（ b不為零向量）則一定存在一個實數(shù)k使a=kb考點6平面向量的坐標表示已知 a=xi+yj，則 a=（,）考點7兩向量平行的條件的坐標表示（1）設(shè) a=（e, f）, b=（g, h）則 a/b 等價于（2）設(shè)a=（e,f）,b=（g,h）, b不平行于標軸，則a/b等價于 典例精析 題型一考查基本概念例1如圖51,在平行六面體 ABCD A1B1C1D1 中,

5、 M為AC與BD的交點，若AB =a, A D11 1A. a+ b+c2 21 1B. a+ b+c2 211C. a b+ c2211D. a b+ c22題型二向量加法、減法及數(shù)乘的應(yīng)用圖5 1例2若a、b、c為任意向量,mR，則下列等式不一定 成立的是A. (a+b) +c=a+ (b+c)C. m (a+b) =ma+mbB. (a+b) c=a c+b cD. (a b) c=a (b c)DC 2BD ,題型三共線向量與三點共線問題例3設(shè)D、E、F分別是三角形ABC的三邊BC,CA,AB的點，且CE 2EA , AF 2FB 則 AD BE BC 與 BC 的關(guān)系題型四 平面向量

6、的基本定理及運用例4在三角形 ABC中點M是BC的中點，點 N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相 交于點P求AP:PM的值題型五 坐標值的運算例5若向量a= (3, 2), b= (0, 1),則向量2b a的坐標是()A. (3, 4)C. (3, 4)B. ( 3, 4)D. ( 3, 4)AB , AC例6已知 A(1,-2),B=(2,1),C=(3,2 )和 D(2,3 )以為一組基底來表示AD BD CD題型六 向量平行的充要條件的運用例7已知A( 4,0) B(4,4) C( 2,6)求AC和OB的交點P的坐標題型七數(shù)學(xué)思想法例8在三角形 ABC中，D、E、F分別是 AB、

7、BC、CA的中點，G是它的重心，已知D( 1,2)，E (3,5)，F(xiàn) (2,7)求 A、B、C、G 的坐標反饋訓(xùn)練1設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共線,則 ( a b) c( c a) b=0 |a| |b|<|a b| 3( b c) a( c a) b 不與 c垂直 3a+2b) ( 3a 2b) =9|a|2 4|b|2 中，是真命題的有()A.B.C.D.2如果直線I沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來的 位置，那么直線I的斜率為( )11A. -B. 3C. -D.3333 已知 a+b=2i 8j, a b= 8i+16j，那么 a

8、 b=.4 已知 a=(2, 1), b=(_3 , 4)，求 a+b, a-b, 3a+4b 的坐標5已知平行四邊形ABCD的三個頂點 A、B、C的坐標分別為（-2, 1）、（-1 , 3）、（3, 4），求 頂點D的坐標.6 已知點 A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1），求證：AB / CD .7 已知 A(-1 , -1), B(1 , 3), C(2, 5),求證 A、B、C 三點共線8 已知兩點 M ( 1 , 0), N (1 , 0),且點 P 使 MP MN ,PM PN, NM NP成公差小于零的等差數(shù)列求點P的軌跡是什么曲線？9四棱錐PABCD中，底面AB

9、CD是一個平行四邊形，AB =2 , 1, 4, AD =4 ,2 , 0, AP = 1 , 2 , 1.對于向量 a=x1 ,y1 ,Z1,b=x2 ,y2 ,Z2,c=x3,y3 ,z3,定義一種運算：(a x b ) C=X1y2Z3+X2y3Z1 + X3y1Z2 X1y3Z2 X2y1Z3 X3y2Z1 ,試計算( AB XAD) AP的絕對值的值10已知向量a, b的坐標，求a+b, a-b的坐標.a=(-2 , 4) , b=(5, 2);(2)a=(4, 3) , b=(-3 , 8);(3)a=(2 , 3), b=(-2 , 3);a=(3, 0), b=(0 , 4);11 已知 a=(3