11-12數(shù)值分析報(bào)告材料試A卷答案詳解

1、上海海事大學(xué) 2011-2012 學(xué)年第_2_學(xué)期研究生 數(shù)值分析 課程考試試卷 A(答案)學(xué)生姓名： 學(xué)號： 專業(yè)： 填空題(每小格2分共30 分)1. 利用Jacobi迭代法求解Ax=b時(shí)，其迭代矩陣是Bj D 1(L U );當(dāng)系數(shù)矩陣A滿足嚴(yán)格對角占優(yōu)時(shí)，Jacobi迭代法收斂x01242. 已知函數(shù)f(x)有數(shù)據(jù)f19233則:其 3 次Lagra nge 插值多式的基函數(shù)l°(x)137 2xx-x 1插值余項(xiàng)為-宀)x(x1)(x 2)(x 4)8 844!3. 求解常微分方程初值問題Iy f(x,y), a x by(a)的Euler公式為yi 1%hf(Xj,yJ

2、,它是1階方法。4. 設(shè) f (x)7x8 5x44x3 1,則差商 f50,511.,587019f 2 ,2 ,.2 0_5.對于求解Ax=b，如果右端有b的擾動存在而引起解的誤差為x，則6.相對誤差xINIGauss型數(shù)值求積公式Con d(A)卑 lbllbnf (x)dxAf(xJai 0b的代數(shù)精度具有2n+1 次，求積系數(shù)的表達(dá)式為li2(x)dx,且ab- a7.8.幕法是求矩陣*模最_特征值和特征向量的計(jì)算方法.Jacobi法是計(jì)算實(shí)對稱矩陣的所有特征值和特征向量的計(jì)算方法對于給定的正數(shù) k, Newt on 法解二次方程x2 k 0的迭代公式為Xn 1 Xn設(shè)函數(shù)f(x)

3、2x4，已知T4(x) 8x4 8x2 1,試?yán)们斜妊┓蚨囗?xiàng)式最小零偏差的性質(zhì)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間-1，1上的次數(shù)低于4的最佳一致逼近。(5 分)解：由切比雪夫多項(xiàng)式最小零偏差的性質(zhì)得:2f (x)P2(x)T8(x)8故：P2(x) f(x) 8T4(x)2x-4(7 分)三用代數(shù)精度確定求積公式的求積系數(shù)，并指出其具有的代數(shù)精度。2o f (x)dxw0 f (0) w1 f (1) w2 f (2)解:四當(dāng)21410 f (x)dx 3f(o)3f(1) £f(2)具有三次代數(shù)精度。解:f (Xo) 丄f(Xo h) 2f(Xo) f(Xo h) h的截?cái)嗾`差R(h) of

4、 (Xo h)f (Xo) hf(Xo)h2!2f (Xo)h3!3f (Xo)4!(4)1押 f(xo h) 2f(Xo)f (Xoh) f (xo)£12(4)()故：R(h)(h2)五設(shè)li(X)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)Xi0,1,2，n的Lagrange插值基函數(shù),(6分)1,2 )試證明:nli(0)Xiki 010(1)nXoX1Xnk 01,2, nn 1(7 分)f(x)具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，試求出二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式解：設(shè)f (x)的n+1階導(dǎo)數(shù)存在，則有:nf (x)f (Xi)li(x)i 0(n 1)(n 1)!(xXo)(x Xn)當(dāng) f(X) 1 時(shí)，1f(x)li(

5、x)i 1n0,所以有l(wèi)i(0)i 1nkf (x)Xi li (x) 0i 0又 f(x) xn 1 時(shí)，kk當(dāng) f (x) X 時(shí)(k 1,2, n ), Xn所以x'li(0) 0i 0nn 1n 1x f (x)Xi li(x) (X Xo) (x Xn)i 0n取 X 0 時(shí)，有Xin1|i(0) ( 1)n XoX1 Xn oi 0六. 設(shè)有方程組Ax=b，其中A為對稱正定矩陣，迭代公式x(k 1) x(k) - (Ax(k)-b)x(x)為使迭代序列收斂到Ax=b的解，試討論參數(shù)的取值范圍。(7分)證明:可以得x(k °(I-A)x(k)b迭代矩陣B IA，特征

6、值為(B)1(A)，又A對稱正定，所以特征值非負(fù)，設(shè)01.n如(B)| 1(A)1，則02(A)，故0時(shí)，0n2 2n(A)，成立(B)1，所以迭代收斂。七. f(x)在0, 2上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，已知f(°)0，f(1)1，f(2)1和f (1) 3試用Newton-Hermite插值法求滿足上列條件的一個(gè)次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式H(X)，并估計(jì)誤差。(7分)1 235解：H(x) N2(x) Ax(x 1)( x 2) ,N2(x)-x - x,由 f (1) 3 得 A -5 327H (x)x 7xx2 21又 R(x) f(x) H(x) = ；f ()x(x 1)2(x

7、2) ,(0,2)4!八. 對于迭代函數(shù)(x)x C(x 2)，試討論：1) 當(dāng)C取何值時(shí)，產(chǎn)生的序列 Xk局部收斂于2。2) C取何值時(shí)迭代至少具有二階收斂速度。(7分)2解:(x) x C(x 2)，(x)1 2Cx，且連續(xù)。由定理得又：當(dāng) 1(-2) 1 2C 2 0，即C= 時(shí)，迭代至少是二階收斂的。22C 0時(shí)迭代局部收斂。(J2)1 2C 1，也即九.設(shè)f c1a,b，證明：右矩形求積公式a f (X)dX(b a)f(b)(b a)2 32當(dāng)f (x)0，試從幾何上說明右矩形求積公式與實(shí)際積分?jǐn)?shù)值大小關(guān)系；試以此構(gòu)造復(fù)合求積公式，并說明該復(fù)合求積公式是收斂的。(9分) 解：因?yàn)椋?/p>

8、f(x) f (b) f ( )(x b)；b故：a f (X)dxbba f (b)dx a f ( )(x b)dx=(b a)f(b)匕址f()b當(dāng) f (x) 0時(shí)，f (x)dx (b a) f (b)a又：分劃a,b得：Xki,Xk, k=1,2,n得復(fù)合公式:f(x)dxXkXk 1f (x)dx(Xkk 1Xk 1)f (Xk)(XkXk 1)22k)nh2 f (Xk)n 2yf (k 1 2k)所以：Rk)=hf ()其中：h (Xk Xk 1),匚 hn有:h叫R 0y f (x,y)十.求系數(shù)a，b，使求解常微 分方程初值問題yx a s的數(shù)值解公式y(tǒng)n 1ynh(ay

9、nbyn 1)的局部誤差為y(Xn1) yn1 °(h)(7 分)2因 yn 1 yn hyn O(h )，又 y(Xn 1)y(Xn) hy(Xn)1h2y (Xn) O(h3)，比較得 a |, b對于初值問題y f(x,y)yx a s若函數(shù)f (x, y)在區(qū)域a x b ,滿足f (x,y)f (x,y*) L y y* 條件，試說明二階 Runge-Kuttayn 1 ynk2方法k2k hf(Xn,yn) hf (xn 號,yn在0 h h0條件下是收斂的。 并用該方法求解初值問題 y 2ay, (a 0)， y(0) s討論絕對穩(wěn)定性對步長的限制(8分)h k解：因?yàn)椋?x,y,h) f (x , y 亍)所以： (x, y, h) (x, z, h) L(1 號丫 z ， 其中 o h h°由收斂定理得：二階 Run ge-