2017屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何7.5垂直

1、【高考領(lǐng)航】2017屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章 立體幾何7.5垂直關(guān)系課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練理北師大版A級基礎(chǔ)演練1. （2016 佳木斯名校聯(lián)考）已知直線 m l ,平面a , 3 ,且mu a , l 3 ,給出下 列命題：若 a / 3 ,則ml l ；若a，3 ,則m/ l ；若ml l ,則a ± 3 ；若m/ l , 則a ± 3 ,其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 （）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：中，a/3,且mLa,則ml3,因?yàn)閘 3 ,所以ml l ,所以正確； 中，a，3 ,且ml “，則m/ 3或m 3 ,又l 3 ,則m與l可能平行，可能異面，可 能相交，所

2、以不正確；中， ml l ,且ml a , l 3 ,則a與3可能平行，可能相交， 所以不正確；中， m/ l ,且ml “，則l，“，因?yàn)閘 3 ,所以a，3 ,所以正確， 故選B.答案：B2. （2014 高考廣東卷）若空間中四條兩兩不同的直線l1, l 2, l 3, l 4,滿足l 1 _L l 2, l 2±l 3, l 3±l 4,則下列結(jié)論一定正確的是 （）A. l 山4B. l 1 / 14C. l1與l4既不垂直也不平行D. l1與l4的位置關(guān)系不確定解析：如圖，在長方體 ABCDA1B1CD中，記l 1=DD, lz = DC l 3= DA若L=AA,

3、滿足 l1±l2, l 2±l 3, l 3±l 4,此時(shí)l1/l4,可以排除選項(xiàng) A和C.若l4=DC,也滿足條件，可以排 除選項(xiàng)B.故選D.答案：D3. （2016 重慶模擬）在一個(gè)45°的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45。，則此直線與二面角的另一個(gè)面所成的角為（）A. 30°B, 45°C. 60°D. 90°解析：如圖，二面角 a l 3為45。，AB 3 ,且與棱l成45°角，過A作AOL & 于Q彳A也l于H連接OH OB則/ AH/二面角a -1 - 3的平面角，/ AB

4、M AB與 平面也所成角.不妨設(shè) AH= R 在RtAOHK易得AO= 1;在RtAABH!,易得AB= 2.一，AO 1，一 八一故在RtABO中，sin Z ABO= -,. / AB住30 ,為所求線面角.B 2答案：A4 .設(shè)1 , m n為三條不同的直線，a為一個(gè)平面，給出下列命題若1，a ,則1與a相交若 m a , n a , 1 ±m l,n,則 la若 H m m/ n, 1，a ,貝U n, a若 1 / m vmL a , n，a ,貝U 1 / n其中正確命題的序號為 .解析：由于垂直是直線與平面相交的特殊情況，故正確；由于mi n不一定相交，故不正確；根據(jù)平

5、行線的傳遞性，故 1/n,又1，a,故na從而正確；由 ml a , n ± a知m/ n,故1 / n,故正確.答案：5 .已知 ABC勺三邊長分別為 AB= 5, BC= 4, AC= 3, M是AB邊上的點(diǎn)，P是平面 ABC 外一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題：若PAL平面ABC則三棱錐P-ABC勺四個(gè)面都是直角三角形；若PML平面 ABC且M是AB邊的中點(diǎn)，則有 PA= PB= PC15若PC= 5, PCL平面ABC則 PCMM積的最小值為 萬；若PC= 5, P在平面ABC±的射影是 ABS切圓的圓心，則點(diǎn) P到平面ABC勺距離為23.其中正確命題的序號是 .（把你認(rèn)為正

6、確命題的序號都填上 ）解析：由題意知 ACL BC對于，若 PAL平面 ABC則PA! BC又PAO AC= A b BC ，平面PAC BCLPC因此該三棱錐 RABC勺四個(gè)面均為直角三角形，正確；對于， 由已知得 M為 ABC勺外心，所以 MA= MB= MC . PML平面 ABC則PML MA PML MB PMh MC由三角形全等可知 PA= PB= PC故正確；對于，要使 PCM勺面積最小，只需 CM 一一,121 12一一，一最短，在RtAABC, CMin = > .$ PCn = -xX5=6,故錯(cuò)誤；對于，設(shè) P點(diǎn)在平525面ABS的射影為 Q且O為 ABC勺內(nèi)心，由

7、平面幾何知識得 ABC勺內(nèi)切圓半徑r = 1,且OC=也,在RtPO計(jì)，P0=PC OC = 匹，點(diǎn)P到平面ABC勺距離為而，故正確.答案：6 .已知點(diǎn)P, A, B, C, D是球O表面上的點(diǎn)，P4平面ABCD四邊形 ABC虛邊長為243的正方形.若PA= 2®則4 OAB勺面積為 解析：將直四棱錐補(bǔ)成長方體如圖：2+ 2V3 2+ 2 鄧 2=4®R= 2 涂& OAB=；X23x3= 3/3.答案：3 37.(2016 山東高考預(yù)測題)如圖，已知直三棱柱 ABCABCi中，Z ACB= 90° , AC= BC =2, AA=4, D是棱 AA上的任

8、一點(diǎn)， M N分別為 AB BC的中點(diǎn).10(1)求證：MN/平面DCC;解：(1)證法一：如圖，連接(2)試確定點(diǎn) D的位置，使得 DC，平面DBCAC,因?yàn)?M N分別為AB BC的中點(diǎn)，故 MN AC,又AC 平面DCC，mN平面DCC，故MN/平面DCC證法二：如圖，取 BC的中點(diǎn)G,連接GN GM則GN/ CC,又CC?平面DC£ GN?平面DCC故GN/平面DCC同理可知GMT平面DCC，又GN GM1平面NM吶的兩條相交直線，故平面NMG平面 DCC又MN平面NMG故MN/平面DCC(2)當(dāng)點(diǎn)D為AA的中點(diǎn)時(shí)，滿足 DC，平面DBC證明：由題意可知 BCL AC, BC

9、L CC,而AC CC是平面AAGC內(nèi)的兩條相交直線，故BCL平面 AACG 又 DC2 平面 AACC,故 DC，BC在CDC43, CD= 2#, DC= 2小，CC= 4,滿足 CD+DC= CC,所以 DC，DC 又 BC DC是平面DBC!的兩條相交直線，故 DC，平面DBC8 . (2014 高考新課標(biāo)全國卷n )如圖，四棱錐 P ABCDK底面 ABC時(shí)矩形，PAL 平面ABCD E為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB/平面AEC(2)設(shè)二面角D- AE- C為60° , AA 1, AD= 網(wǎng) 求三棱錐E ACDW體積.解析：(1)證明：連接BD AC于點(diǎn)Q連接EO因?yàn)锳B

10、C時(shí)矩形，所以 O為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，所以EO/ PB因?yàn)镋O 平面 AEC P1平面 AEC所以PB/平面 AEC(2)因?yàn)镻AL平面ABCD ABCM矩形，所以AB AD, AP兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB勺方向?yàn)閤軸的正方向，|AP為單位長，建立空間直角坐標(biāo) 系 A- xyz,則 D(0 ,小,0), E 0,乎,2 , AE= io,乎,21.設(shè) B(m,0,0)( m>0),則 C(m) 5/3, 0), AC= (mj 班,0).f 一n1 , AC= 0,設(shè)m=(x, y, z)為平面 ACE勺法向量，則5 AE= 0,m)x+ 3y = 031忤y+2

11、z=?？扇i =1 一 31 一又n2=（1,0,0）為平面DAE勺法向重，由題設(shè)|cosm, n2> | =-,即、/3q74m=2，解/曰 3得 m= 2.，一 ,1因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD勺圖為2,， 1 1三棱錐E ACD勺體積7=鏟乂中3 213 13x-x-= J2 28B級能力突破1.如圖，在正方體 ABCDABGD中，P為對角線BD的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（）山B. 4個(gè)A. 3個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)解析：畫出幾何圖形，利用空間線面關(guān)系定理定性分析.C4 如圖，取底面 ABCD勺中心 O,連接 PA PC PO ACL¥面 DD

12、B,又PO 平面DDB,.AC! PO又O是BD的中點(diǎn)，PA= PC同理，取BC與BC的交點(diǎn)H,易證BCL平面DCB,. .BC± PH 又 H是 BC的中點(diǎn)，. . PB=PC. PA= PB=PC 同理可證 PA=PC=PD 又 P是BD的三等分點(diǎn)，PA PDw PBwPD故點(diǎn)P到正方體的頂點(diǎn)的不同距離有 4個(gè).答案：B2. （2016 山西四校聯(lián)考）在空間內(nèi),E n是三條不同的直線，a , 3, 丫是三個(gè)不同的平面，則下列命題中為假命題的是A.a _L y , 3_Ly, ari3=l,則 l_LB.l / a , l / 3 , a n 3 = m 則 l / mC.“3=1

13、, 3門丫=斤|,y d a = n,D. cc_Ly, 3，丫，則00，3或00日3解析：對于A, .如果兩個(gè)相交平面均垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面，該命題是真題；對于B,二.如果要一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么該直線平行于它們的交線，該命題是真命題；對于C, .如果三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，那么這三條交線交于一點(diǎn)或相互平行，該命題是真命題；對于D,當(dāng)兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面時(shí)，這兩個(gè)平面可能不垂直也不平行，D是假命題.綜上所述，選 D.答案：D3 .如圖，已知六棱錐 P-ABCDEF底面是正六邊形， PA1平面ABC PA= 2AB則下列 結(jié)論正確的是（）A.

14、 PBL ADB,平面PABL平面PBCC.直線BC/平面PAED.直線PD與平面ABC斤成的角為45°解析：.PB在底面的射影為 AB, AB與AK垂直，排除 A.又BDL AB, BDL PA . . BDX 面PAB但BD不在面PBCft,排除B.對于C選項(xiàng)，: BD/ AE BD）/面PAEBCW面PAE 不平行，排除 C.又PD與面 ABC所成角為/ PDA A> 2AB= PA，/ PD氏45° ,故選 D.答案：D4 .若四面體 ABCD勺三組對棱分另1J相等，即 AB= CD AC= BD, AD= BC則（寫 出所有正確結(jié)論的編號）.四面體ABCD!

15、組對棱相互垂直；四面體ABCD!個(gè)面的面積相等；從四面體 ABCDf個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180° ;連結(jié)四面體ABCD1組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；從四面體ABCD1個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長.B解析：把四面體ABC預(yù)置在如圖所示的長方體中，顯然命題錯(cuò)誤；因四個(gè)面對應(yīng)的三角形的三邊分別對應(yīng)相等，即它們?yōu)槿鹊娜切危?所以正確；當(dāng)ABCD;正四面體時(shí),夾角之和等于180。，所以錯(cuò)誤；因每組對棱中點(diǎn)的連線分別與長方體的棱平行，且都經(jīng) 過長方體的中心，所以正確；而命題顯然成立.故應(yīng)填答案：5 .如圖所示，正方體 ABCDABCD的

16、棱長是1,過A點(diǎn)作平面 ABD的垂線，垂足為點(diǎn) H,有下列三個(gè)命題：點(diǎn)H是ABD的中心；AH直于平面CBD;AC與BC所成的角是90。.其中正確命題的序號是.解析：由于ABCD- AB1CD是正方體，所以 A- ABD是一個(gè)正三棱錐，因此 A點(diǎn)在平面 ABD上的射影H是三角形 ABD的中心，故正確；又因?yàn)槠矫?CBD與平面ABD平行，所以 AHL平面CBD,故正確；從而可得 AC，平面CBD,即AC與BC垂直，所成的角等于90° .答案：6 . （2016 淮南模擬）已知四棱錐P ABCD勺底面ABCDI矩形，PAL底面ABCD點(diǎn)E、 F分別是棱PC PD的中點(diǎn)，則棱AB與PD所在的

17、直線垂直；平面PBCI平面 ABCD1直；PCD勺面積大于 PAB勺面積；直線AE與直線BF是異面直線.以上結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的編號 ）解析：由條件可得 AB!平面PAD所以ABL PQ故正確；: PAL平面ABCD，平面. _ ， _ ， _1PAB平面PADTB與平面ABCD1直，故平面PBCW能與平面 ABCD1直，錯(cuò)；&pc戶-CD- PD1,_、 &PAB= 2AB PA,由AB= CQ PD> PA知正確；由 E F分別是棱 PC PD的中點(diǎn)可得 EF/ CD又AB/ CD所以EF/ AB故AE與BF共面，故錯(cuò).答案：7.在四邊形 ABCEfr,

18、 ABL AD, AD/ BC AD= 6, BC= 4, AB= 2,點(diǎn) E, F 分別在 BC, AD上，EF/ AB現(xiàn)將四邊形 ABEFFgEF折起，使平面 ABEFL平面EFDC如圖，設(shè) AD的中點(diǎn)為P.當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：CP/平面ABEF(2)設(shè)BE= x,問當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐 A-CD用勺體積取最大值？并求出這個(gè)最大值.- 一 1解：(1)證法一：取 AF的中點(diǎn) Q 連結(jié)QE QP則QP/ DF,且QP= DF一 ,11 ,一又 DF= 4, EC= 2,且 DF/ EC所以EC/ DF 且 EC= DF,所以PQ/ EC且 PQ= EC故四邊形PQECJ平行四邊形，所以 CP/ QE又QE平面ABEF CP平面ABEF所以CP/平面ABEF證法二：如圖，取 FD的中點(diǎn) M 連接PM CM在4AD葉，P, M分別為DA DF的中點(diǎn)， ,11所以 PM/ AF,且 PM= AF又 DF= 4, EC= 2,且 DF/ EC所以 FM/ EC,且 FM= EC即四邊形EFMCJ平行四邊形，所以EF