《有限差分法在微分方程中的應(yīng)用》課程論文

1、有限差分法在微分方程中的應(yīng)用本學(xué)期學(xué)習(xí)了微分方程數(shù)值解，本書(shū)中有限差分法給我留下的印象比較深刻，下邊說(shuō)說(shuō)自己在方面的一點(diǎn)理解，請(qǐng)老師指正。1 .有限差分法的基本思想：當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，我們面對(duì)的主要問(wèn)題就是微分積分方程的求解。 基本思想是用離散的只含有限個(gè)未知量的差分方程組去近似地代替連續(xù)變量的 微分方程和定解條件，并把差分方程組的解作為微分方程定解問(wèn)題的近似解。將 原方程及邊界條件中的微分用差分來(lái)近似， 對(duì)于方程中的積分用求和或及機(jī)械求 積公式來(lái)近似代替，從而把原微分積分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化成差分方程組。2 .有限差分法求解偏微分方程的步驟：區(qū)域離散，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由

2、有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。逼近求解，換而言之，這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代 替偏微分方程的解的過(guò)程。從原則上說(shuō)，這種方法仍然可以達(dá)到任意滿意的計(jì)算精度。因?yàn)榉匠痰倪B續(xù)數(shù)值 解可以通過(guò)減小獨(dú)立變量離散取值的問(wèn)格， 或者通過(guò)離散點(diǎn)上的函數(shù)值進(jìn)行插值 計(jì)算來(lái)近似得到。理論上，當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨近于零時(shí)，差分方程組的解應(yīng)該收斂于 精確解，但由于機(jī)器字節(jié)的限制，網(wǎng)格步長(zhǎng)不可能也沒(méi)有必要取得無(wú)限小， 那么 差分法的收斂性或者說(shuō)算法的穩(wěn)定性就顯得至關(guān)重要。因此，在運(yùn)用有限差分法時(shí)，除了要保證精度外，還必須要保證其收斂性。3

3、.構(gòu)造差分法的幾種形式：主要草用的是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法。其基本差分表達(dá)式主要有三種形式：一 階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等。其中前兩種形式 為一階計(jì)算精度，后一種為二階計(jì)算精度。4 .有限差分法的應(yīng)用：4.1 拋物線形的差分法中的一維常系數(shù)拋物線型方程 考慮最簡(jiǎn)單的以為常系數(shù)拋物線型方程2Lu- au2 = f (x) (x ,t )FtFx其中Q是(x.t)平面內(nèi)的給定區(qū)域，可以是有節(jié)區(qū)域或無(wú)解區(qū)域；a>0是常數(shù)，L是微分算子。根據(jù)定解條件的不同，可以將上述方程分為兩類：1.初值問(wèn)題在區(qū)域( =( x,t) | -co <x <+oc,t >0

4、上求解方程滿足初始條件u(x,0) = 4(x),<x < +OC 的解。2,初邊值問(wèn)題(混合問(wèn)題)在區(qū)域C=(x,t)|0<x<l,0 <x <T內(nèi)求方程滿足初始條件u(x,0) =4(x),0 Wx Ml和下列邊界條件之一的解。第一邊屆條件u(0,t)=1,u(l,t) =20 MtMT第二邊界條件Ux(0,t) ”,Ux(l,t)，20 <t <T第三邊界條件(u -：i(t)ux) |xz0 = ri(t)(u -： 2(t)ux)|x£ = r2(t)= i -0j = 1, 2,。訂用適當(dāng)?shù)牟钌檀娣匠讨邢鄳?yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，可得到

5、以下幾種最簡(jiǎn)差分格式: 古典顯示格式：k 1 k k _ uj - u jLh uj =akk kuj 1 -2u j uj 4 kh27古典隱式格式:k 1 k k 1 _ uj- u jLh uj -aTk 1 八 k 1 k 1uj 1 -2uj uj k 1h二 L加權(quán)六點(diǎn)隱式格式:k 1 k - klkl k 1k k k kLh3)uk 三 juL_ aeUj2u2 +Uj,+'5¥22 + Uj= f二+( fjt Ih2h2 i j4.2橢圓型方程邊值問(wèn)題的差分法 考慮如下兩點(diǎn)邊值問(wèn)題-au . bu cu = fu(0) =u0U1) =u1x J =(0,

6、1)其中U0 , ui為常數(shù)，系數(shù)a=a(x),b=b(x),c=c(x),f=f(x)為一致的充分光滑函數(shù)，且滿足 a(x)>0, c(x)>0.首先將區(qū)間 維離散化,我們采用剖分部分，取正整數(shù)M,將區(qū)間MC等分，的M+1個(gè)節(jié)點(diǎn)：0 = x0 ：二 x1 ：二 | H ：二 xM = 1 1.其中xj = jh (j =0,1J|M ), h = M。設(shè)U為定義在下點(diǎn)xj = jh( j = 0,1,1 |M )上的網(wǎng)格函數(shù)并用Ui近似u(xj)。下邊可以得到兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的有限差分：I U i4 -2U j U j 1 U j 1 -U i4AhUjL-ajM也-yUj =fjh

7、2hU0=u0,U1=u1j=0,1(lM- 1上述方程組成為差分方程，它的解就是兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的差分解，當(dāng) j =0,1,| M -1時(shí)憂傷 出差分方程可得：1212,- 2hbj)Uj(2aj h&)Uj -2hbj)Uj1 =h2fj由此得出線性代數(shù)方程：AU = g其中 U =(U1,U2"Um J,g =§2,|® J ,因此 awr(M4)(M22a +h2h1Ya2 +2hb2) A = (aj)=，1,、 (a1 2hh)2a2 h2b1-(a3 2hb3)，1、-(a2 - hb2)2a3 h2b32aM _1 h2bMh2f1，1,.、(

8、a 2hb)u。h2f2 h fM _221h fM 1 ' (aM J - - hbM j)u1顯然，當(dāng)h充分小的時(shí)候矩陣 A為按行對(duì)角占優(yōu)的矩陣，即1,I2M -且存在i0,使得：,0 >Z聞|j 04.3:雙曲線方程的有限差分法我們考慮線性對(duì)流方程的初值問(wèn)題a =0, (x,t) 'J.t二 xu(x,0) = ' (x),-二二 x ；二用差分法求解該微分方程的過(guò)程和用差分法求解拋物線型方程相類似。以下我們看看用差分法求解該方程的幾種格式，不一一寫(xiě)出具體步驟，只列出結(jié)果。1。 Courant-Isaacson-Rees格式(迎風(fēng)格式)其中 a：、1。a|

9、a)2k 1 kk kk kuj uj +a +uj uj= a_uj 卡uj =0 hh2.Lax-Friedrichs 格式。k 11 k kuj- 5 (uj1 uj) uk 1-uk 12 auj1 uj-=02h3。Lax-wendroff 格式。2ukk1 =u： 一23：.1 .u：) r2(u：.1.2ujk u：)4 .蛙跳(Leap-Frog)格式。k kk ku u- u uuj書(shū) uj+ a uj4 uj_ 022h 一5 .Crank-Nicolson 格式。k 1 k r,k1 k 1 k k、u j=uj-(uj1-ujluj1- ujj.)4只是一些概括性的知識(shí)

10、點(diǎn)，下以上是本書(shū)中差分法在解決不同類型的初邊值問(wèn)題中的應(yīng)用, 邊我們僅用一個(gè)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明差分法的求解問(wèn)題過(guò)程。考慮擴(kuò)散方程的第一初邊值問(wèn)題：.2當(dāng) 0 :二 x ：二 1,t 0_u二u二 2，.-t二 xu(x,0) =sinx,當(dāng)0 _x _1時(shí)u(0,t) =u(1,t) =0,當(dāng)t _0用分離變量法可得其解析式為：u(x,t) = e_2tsin二x,0 £xE1； t -0取j =10,h =0.1,毛=jh(j =0,1J|J), £為時(shí)間步長(zhǎng)，r=：為網(wǎng)比，對(duì)于不同的r,h用加權(quán)六點(diǎn)隱式格式:k 1 k .(3) k _ uj - uj Lh uj k 1

11、 八 k 1 k 1-aBum-2) uj+a(16)h2kk ku j 1 -2u j u jh2-fjk1(1-) fjk計(jì)算上述問(wèn)題的解u(x,t)在(0.5,0.5)處的近似值，計(jì)算結(jié)果如下表所示，上述問(wèn)題的解析式在該點(diǎn)的值為 u (0.5,0.5) =0.00719188。用加權(quán)六點(diǎn)隱式格式計(jì)算解u (0.5,0.5)得近似值re =0古典顯示格式0 =0.5六點(diǎn)對(duì)稱格式0 =0.8加權(quán)六點(diǎn)隱式格式日=1古典隱式格式0.250.007046460.007486960.007758880.007943340.50.006616560.007481470.008030890.008409901.01.1056e+0.0060.007459540.008580110.009378182.0-2.058e+0030.007371960.009695640.011449145.00.001376620.006766860.013110770.0186116510.0-0.000000000.004733130.018664550.03295445 5.總結(jié)：