《有限差分法在微分方程中的應(yīng)用》課程論文

1、有限差分法在微分方程中的應(yīng)用本學(xué)期學(xué)習(xí)了微分方程數(shù)值解，本書中有限差分法給我留下的印象比較深刻，下邊說說自己在方面的一點(diǎn)理解，請老師指正。1 .有限差分法的基本思想：當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，我們面對的主要問題就是微分積分方程的求解。 基本思想是用離散的只含有限個(gè)未知量的差分方程組去近似地代替連續(xù)變量的 微分方程和定解條件，并把差分方程組的解作為微分方程定解問題的近似解。將 原方程及邊界條件中的微分用差分來近似， 對于方程中的積分用求和或及機(jī)械求 積公式來近似代替，從而把原微分積分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化成差分方程組。2 .有限差分法求解偏微分方程的步驟：區(qū)域離散，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由

2、有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。逼近求解，換而言之，這一過程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來代 替偏微分方程的解的過程。從原則上說，這種方法仍然可以達(dá)到任意滿意的計(jì)算精度。因?yàn)榉匠痰倪B續(xù)數(shù)值 解可以通過減小獨(dú)立變量離散取值的問格， 或者通過離散點(diǎn)上的函數(shù)值進(jìn)行插值 計(jì)算來近似得到。理論上，當(dāng)網(wǎng)格步長趨近于零時(shí)，差分方程組的解應(yīng)該收斂于 精確解，但由于機(jī)器字節(jié)的限制，網(wǎng)格步長不可能也沒有必要取得無限小， 那么 差分法的收斂性或者說算法的穩(wěn)定性就顯得至關(guān)重要。因此，在運(yùn)用有限差分法時(shí)，除了要保證精度外，還必須要保證其收斂性。3

3、.構(gòu)造差分法的幾種形式：主要草用的是泰勒級數(shù)展開的方法。其基本差分表達(dá)式主要有三種形式：一 階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等。其中前兩種形式 為一階計(jì)算精度，后一種為二階計(jì)算精度。4 .有限差分法的應(yīng)用：4.1 拋物線形的差分法中的一維常系數(shù)拋物線型方程 考慮最簡單的以為常系數(shù)拋物線型方程2Lu- au2 = f (x) (x ,t )FtFx其中Q是(x.t)平面內(nèi)的給定區(qū)域，可以是有節(jié)區(qū)域或無解區(qū)域；a>0是常數(shù)，L是微分算子。根據(jù)定解條件的不同，可以將上述方程分為兩類：1.初值問題在區(qū)域( =( x,t) | -co <x <+oc,t >0

4、上求解方程滿足初始條件u(x,0) = 4(x),<x < +OC 的解。2,初邊值問題(混合問題)在區(qū)域C=(x,t)|0<x<l,0 <x <T內(nèi)求方程滿足初始條件u(x,0) =4(x),0 Wx Ml和下列邊界條件之一的解。第一邊屆條件u(0,t)=1,u(l,t) =20 MtMT第二邊界條件Ux(0,t) ”,Ux(l,t)，20 <t <T第三邊界條件(u -：i(t)ux) |xz0 = ri(t)(u -： 2(t)ux)|x£ = r2(t)= i -0j = 1, 2,。訂用適當(dāng)?shù)牟钌檀娣匠讨邢鄳?yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，可得到

5、以下幾種最簡差分格式: 古典顯示格式：k 1 k k _ uj - u jLh uj =akk kuj 1 -2u j uj 4 kh27古典隱式格式:k 1 k k 1 _ uj- u jLh uj -aTk 1 八 k 1 k 1uj 1 -2uj uj k 1h二 L加權(quán)六點(diǎn)隱式格式:k 1 k - klkl k 1k k k kLh3)uk 三 juL_ aeUj2u2 +Uj,+'5¥22 + Uj= f二+( fjt Ih2h2 i j4.2橢圓型方程邊值問題的差分法 考慮如下兩點(diǎn)邊值問題-au . bu cu = fu(0) =u0U1) =u1x J =(0,

6、1)其中U0 , ui為常數(shù)，系數(shù)a=a(x),b=b(x),c=c(x),f=f(x)為一致的充分光滑函數(shù)，且滿足 a(x)>0, c(x)>0.首先將區(qū)間 維離散化,我們采用剖分部分，取正整數(shù)M,將區(qū)間MC等分，的M+1個(gè)節(jié)點(diǎn)：0 = x0 ：二 x1 ：二 | H ：二 xM = 1 1.其中xj = jh (j =0,1J|M ), h = M。設(shè)U為定義在下點(diǎn)xj = jh( j = 0,1,1 |M )上的網(wǎng)格函數(shù)并用Ui近似u(xj)。下邊可以得到兩點(diǎn)邊值問題的有限差分：I U i4 -2U j U j 1 U j 1 -U i4AhUjL-ajM也-yUj =fjh

7、2hU0=u0,U1=u1j=0,1(lM- 1上述方程組成為差分方程，它的解就是兩點(diǎn)邊值問題的差分解，當(dāng) j =0,1,| M -1時(shí)憂傷 出差分方程可得：1212,- 2hbj)Uj(2aj h&)Uj -2hbj)Uj1 =h2fj由此得出線性代數(shù)方程：AU = g其中 U =(U1,U2"Um J,g =§2,|® J ,因此 awr(M4)(M22a +h2h1Ya2 +2hb2) A = (aj)=，1,、 (a1 2hh)2a2 h2b1-(a3 2hb3)，1、-(a2 - hb2)2a3 h2b32aM _1 h2bMh2f1，1,.、(

8、a 2hb)u。h2f2 h fM _221h fM 1 ' (aM J - - hbM j)u1顯然，當(dāng)h充分小的時(shí)候矩陣 A為按行對角占優(yōu)的矩陣，即1,I2M -且存在i0,使得：,0 >Z聞|j 04.3:雙曲線方程的有限差分法我們考慮線性對流方程的初值問題a =0, (x,t) 'J.t二 xu(x,0) = ' (x),-二二 x ；二用差分法求解該微分方程的過程和用差分法求解拋物線型方程相類似。以下我們看看用差分法求解該方程的幾種格式，不一一寫出具體步驟，只列出結(jié)果。1。 Courant-Isaacson-Rees格式(迎風(fēng)格式)其中 a：、1。a|

9、a)2k 1 kk kk kuj uj +a +uj uj= a_uj 卡uj =0 hh2.Lax-Friedrichs 格式。k 11 k kuj- 5 (uj1 uj) uk 1-uk 12 auj1 uj-=02h3。Lax-wendroff 格式。2ukk1 =u： 一23：.1 .u：) r2(u：.1.2ujk u：)4 .蛙跳(Leap-Frog)格式。k kk ku u- u uuj書 uj+ a uj4 uj_ 022h 一5 .Crank-Nicolson 格式。k 1 k r,k1 k 1 k k、u j=uj-(uj1-ujluj1- ujj.)4只是一些概括性的知識

10、點(diǎn)，下以上是本書中差分法在解決不同類型的初邊值問題中的應(yīng)用, 邊我們僅用一個(gè)具體的實(shí)例來說明差分法的求解問題過程?？紤]擴(kuò)散方程的第一初邊值問題：.2當(dāng) 0 :二 x ：二 1,t 0_u二u二 2，.-t二 xu(x,0) =sinx,當(dāng)0 _x _1時(shí)u(0,t) =u(1,t) =0,當(dāng)t _0用分離變量法可得其解析式為：u(x,t) = e_2tsin二x,0 £xE1； t -0取j =10,h =0.1,毛=jh(j =0,1J|J), £為時(shí)間步長，r=：為網(wǎng)比，對于不同的r,h用加權(quán)六點(diǎn)隱式格式:k 1 k .(3) k _ uj - uj Lh uj k 1

11、 八 k 1 k 1-aBum-2) uj+a(16)h2kk ku j 1 -2u j u jh2-fjk1(1-) fjk計(jì)算上述問題的解u(x,t)在(0.5,0.5)處的近似值，計(jì)算結(jié)果如下表所示，上述問題的解析式在該點(diǎn)的值為 u (0.5,0.5) =0.00719188。用加權(quán)六點(diǎn)隱式格式計(jì)算解u (0.5,0.5)得近似值re =0古典顯示格式0 =0.5六點(diǎn)對稱格式0 =0.8加權(quán)六點(diǎn)隱式格式日=1古典隱式格式0.250.007046460.007486960.007758880.007943340.50.006616560.007481470.008030890.008409901.01.1056e+0.0060.007459540.008580110.009378182.0-2.058e+0030.007371960.009695640.011449145.00.001376620.006766860.013110770.0186116510.0-0.000000000.004733130.018664550.03295445 5.總結(jié)：