BB85對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分ppt課件

1、主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第二十五講第五節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念和性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念和性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第八章 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的

2、光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2.定義定義是定),(zyxf以下“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)假如 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(假如 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為考慮考慮:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么

3、問Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù). 此為一種新的和式極限。 定積分：分割對(duì)一元函數(shù)babaxxf,)(線積分： 分割。對(duì)二元函數(shù)LLyxyxf,軸上的一段時(shí)，在當(dāng)xLknkkxf)0 ,(lim10不是定積分。0kkxS3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf sdyxfsdy

4、xfABBA,5Lsyxfd),(kknkksf),(lim10由定義可知：此曲線積分不論積分弧段的方向如何，kS總?cè)≌担x中右端的和式極限不變，則有：換向不變號(hào)換向不變號(hào)tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元

5、法”. xdydsdxyox如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx那么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf小弧段的求法：22yxSxxy21yyx21ttytx22取極限得：lim0 xSdxxy21xdy21曲線：曲線： xy yx tytxSdlim0 yyyx21ydx21bxady

6、cSdlim0 tttytx22tdyx22t tytx曲線：syxfLd),(tttttfd)()()(),(22baxxf) )(,(xx d)(12 dcyyf),(yy d)(12)sin)(,cos)(rrfd)()(22rrsyxfLd),(極坐標(biāo)：).(,sin,cos:,象限第橢圓求tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaabI222)sin)(2222btbau令.)(3)(22bababaab例例1.tdbtbaab2222220sinsin)(2sin

7、)(sin)()(2222222222022btbadbtbabaab例例2. 計(jì)算計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B xdxxdxsd222121)41 (d41812102xx例例3. 計(jì)算計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd4140

8、22d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox例例4. 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(222dtt ktataka2022222)()sin()cos(ttkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatadsd)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線tkad22d d s例例5. 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2

9、(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y那么例例6：計(jì)算：計(jì)算：LsdyxIL 為圖示三角形周界BOABOALx0, 1Ay01 , 0B解：解：100:xxdsdyOA102111:2xxdxdsdxyAB100:yydsdxOBOBABOAI10 xdx1012xd10ydy21例例7：計(jì)算：計(jì)算,dLsyI其中曲線 L 為單位圓從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)23,21B解法一：解法一：23sincos:ttytxLtdsdtdtI03sintdt20sin2003coscostt231 , 0A0, 1C23,21B0 xyy

10、dyyxsdy222111ydy21121231yydyI20231yydy2101yydy02321y1021y2321:yxL123y解法二解法二1 , 0A0, 1C23,21B0 xy例例7：計(jì)算：計(jì)算,dLsyI其中曲線 L 為單位圓從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)23,21B例例7：計(jì)算：計(jì)算,dLsyI其中曲線 L 為單位圓從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)23,21B解法三：解法三：21:xyLxdxsd211CBACI210211xxdx2121211xxdx231 , 0A0, 1C23,21B0 xy例例8：計(jì)算：計(jì)算LyxsdeI22L 由0222aayx.0 xxxy軸如圖所圍成及x2,2aa

11、Ay00 , aB 解：解：xdsdxyoA2:02xattdasd43xdeaxOA0222xdeax20221aetdaeaAB43taytaxABsincos:BOABOALaea400:xaxdsdyBOx2,2aaAy00 , aB xdeaxBO0 xdeax010aaxee242aaLeaeI例例8：計(jì)算：計(jì)算LyxsdeI22L 由222ayx.0 xxxy軸如圖所圍成及例例9. 計(jì)算計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz

12、d2例例101. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:xyo例例111. 設(shè)設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202三幾何與物理意義三幾何與物理意義,),() 1 (的線密度時(shí)表示當(dāng)Lyx;),(LdsyxM;,1

13、),()2(LdsLyxf弧長(zhǎng)時(shí)當(dāng),),(),()3(處的高時(shí)柱面在點(diǎn)上的表示立于當(dāng)yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面積sL),(yxfz ,)4(軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸及曲線弧對(duì)yx.,22LyLxdsxIdsyI曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo))5(., LLLLdsdsyydsdsxx 考慮考慮: 例例9中中 改為改為0)1()1(2222zyxazyx如何計(jì)算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那么sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22例例1. 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧

14、 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2dsin2022RRdsin2023R0342sin22 R)cossin(3 R有對(duì)稱性則 )(sincos:RyRxLsdyId2dRds 02212zzyxxy和被平面截下部分的面積 A 。解：解：如下圖，先作柱面212xysdyxfAd,sdyx)2(sdyxfAAB,sdyxAB2yzxsdsB0 , 2AxdxxxA2202121220121:22xxdxsdxyAB32ln833316163例例2：求由拋物柱面：求由拋物柱面例例3：已知曲桿方程為：已知曲桿方程為

15、, 222xxy其上各點(diǎn)的密度241x求 1、曲桿的長(zhǎng) S . 2、質(zhì)量 M .3、質(zhì)心.,YXM4、曲桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.yIxy4 , 2A4 , 2B0解：解：xdxsd241LsdS. 1xdx20241274ln21122202412. 2xdxsdML376MsdyYXL0. 32 . 2)41 (27632022xdxxsdxIdy2. 4xdxxIy2022)41 (215848例例4 L為球面為球面2222Rzyx坐標(biāo)面的交線 , 求其形心 . 在第一卦限與三個(gè)解解: 如下圖如下圖 , 交線長(zhǎng)度為交線長(zhǎng)度為RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由對(duì)稱性 , 形心坐標(biāo)

16、為321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34RRdds 例例5 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為設(shè)其密度為 (常數(shù)常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)tkadsd22syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故質(zhì)心坐標(biāo)為),0,0(k內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d