2018人教A版數(shù)學(xué)必修二《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》教案

1、四川省米易中學(xué)校高中數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教A版 必修二）：21空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系教案自主探究學(xué)習(xí)能夠從日常生活實例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”；理解平面的無限延展性； 正確地用圖形和符號表示點、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；初步掌握文字語言、圖形語言與符號語言三種語言之間的轉(zhuǎn)化；理解可以作為推理依據(jù)的三條公理1 .平面通常用希臘字母 a、3、丫等表不，如平面 a、平面3等，也可以用表不平面 的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC平面ABC四.2 .如果幾個平面畫在一起，當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)畫成虛線或不畫（打出投影片）3 .公理1 :如果

2、一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)4 .公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面5 .公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直 線.6 .公理2的三條推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .點A在直線上，記作A w a ;點A在平面a內(nèi)，記作AW” ；直線a在平面a內(nèi)，記作 a 二".2.平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下:公理1公理2公理3圖形語言7金/

3、L/Z37 y仁”/文字語言十 在如果一條直線上的兩點在 個平面內(nèi)，那么這條直線 此平面內(nèi).過小在一條直線上的二點， 有且只L個平囿.如果兩個不重合的平囿 有一個公共點，那么它們有 且只什-條過該點的公共 直線.何語日A 引，B m上l uaA = a,B亡久JA,B,C不共線二A,B,C確7E十回aD,b ,np=iP = o(, Purn 4 (PWl3.公里的作用（1）公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)；（2）公理2作用：確定一個平面的依據(jù)；（3）公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)【經(jīng)典例題】【例】在正方體 ABCD A1B1C1D1中.（1） AA與Cg是否在同一平面內(nèi)？ （2）點B

4、,G,D 是否在同一平面內(nèi)？ （3）畫出平面 AC1與平面BC1D的交線，平面 ACD1與平面BDC1的交線.【分析】 利用公理1、公理2、公理3及公理2的推論來判定.【解】（1）在正方體 ABCD A1B1clD1中，%_ _r護.AA/CC1,由公理2的推論可知，AA與CC1可確定AA與CCi在同一平面內(nèi).(2)二點B,G,D不共線，由公理 3可知，點B,G,D可確定平面B&D , ，點B,Ci,D在同一平面內(nèi).(3) ACP1BD =O , DiCADCi=E, .點 O W 平面 ACi , OW 平面 BCD一又G W平面ACi , Ci W平面BCiD ,平面 ACiPl

5、平面 BCiD =OCi,同理平面 ACDi n平面BDCi =OE【點撥】確定平面的依據(jù)有公理 2 (不在同一條直線上的三點)和 3個推論(兩條平行 直線、兩條相交直線、直線和直線外一點).對公理及推論的作用，應(yīng)清楚明白.2.i.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系自主探究學(xué)習(xí)了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.i.兩條直線的三種位置關(guān)系(i)相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；(2)平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；(3)異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點 .2 .公理4:平行于同一條直線的兩條直線互

6、相平行.3 .等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個 角相等.名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .空間兩條直線的位置關(guān)系：Lk 士 3卜目交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 北面直線 /C ' 步行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；、異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點2 .已知兩條異面直線 a,b ,經(jīng)過空間任一點 O作直線a'a,b'b ,把a：b所成的銳角 (或直角)叫異面直線 a,b所成的角(或夾角).a：b所成的角的大小與點 O的選擇無關(guān)， 為了簡便，點O通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為(0,90 1 ,如果

7、兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作a.Lb.求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點一平移一定角一計算3 .公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù).【經(jīng)典例題】【例i】判斷下列命題的真假，真的打，假的打“x”(i)平行于同一直線的兩條直線平行()(2)垂直于同一直線的兩條直線平行()(3)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行()(4)與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條()(5)若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等()(6)若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等()【分析】依據(jù)公理4、異面直線所

8、成角的定義及等角定理進行判斷【解】(i) (，)；(2) ( X ); (3) (，)；(4) ( X ); (5) ( X ); (6) (，).【點撥】注意在空間中思考問題， 如問題（4）,與已知直線平行且距離等于定長的直線 在一個平面內(nèi)是只有兩條，（!在空間中就有無數(shù)條【例】如圖中，正方體 ABCD-ABCD, E, F分別是AQ AA的中點.（1）求直線AB和CC所成的角的大小；（2）求直線AB和EF所成的角的大小.【分析】依據(jù)異面直線所成角的定義，借助正方體本身的性質(zhì)，依照選點、平移、定角、11算的步驟進行解答【解】（1）如圖，連接 DC,DC/ AB,DC和CC所成的銳角/ CCD

9、就是AB和CC所成白角. / CCD=45 , AB 和 CC所成的角是 45° .（2）如圖，連接DA, AG,EF/ AD, AB/DC,，/ AiDC 是直線 AB 和 EF 所成的角 A ADC是等邊三角形，/ADG=60o,即直線 AB和EF所成的角是60o.【點撥】 求解異面直線所成角時，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩 異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運用化歸思想將陌生問題熟悉化.2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系自主探究學(xué)習(xí)了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的

10、概念，了解平面與平面的兩種位置關(guān)系.1 .直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交一一有且只有一個公共點（3）直線在平面平行一一沒有公共點2 .兩個平面之間有兩種位置關(guān)系：（1）兩個平面平行沒有公共點（2）兩個平面相交一一有且只有一條公共直線名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1.直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；（2）直線與平面相 交（有且只有一個公共點）；（3）直線與平面平行（沒有公共點）.分別記作：l心口 ； 1口久=P ；1 / : .2.兩平面的位置關(guān)系： 平行（沒有公共點）；相交（有一條公共直線）.分別記作otP;：- r - =

11、1.【經(jīng)典例題】【例1】a/ b且a與平面ct相交，那么直線 b與平面ot的位置關(guān)系是（）A.必相交B.有可能平行C.相交或平行D .相交或在平面內(nèi)【分析】可借助手邊的模型進行判定./ 【解】A【點撥】解題時利用手邊的模型或教室中的長方體模型可快速解入1決問題.二二,【例2】如右圖，設(shè) AB/口 ABC的三對對應(yīng)頂點的連線 AA, 為、AO BO CO 2S abcBB, CC相父于一點 Q 且=一.試求 的值.OA OB1 OC13 Sabc【分析】利用相似三角形面積的比等于相似比的平方進行計算【解】依題意，因為 AA, BB, CC相交于一點O,且公0 =里=生，OAi OBi OCi所以

12、 AB/ Ai Bi, AC/ AC, BC/ BiCi.由平移角定理得/ BAG/BiAiCi, /ABG/AiBC, ABSABC,所以 %BC = ( 2) 2=土SAiB1ci39【點撥】利用平移角定理，可證明空間兩個角相等或兩個三角形相似、全等；利用平行 公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問題2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定自主探究學(xué)習(xí)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識 和理解空間中線面平行的判定，理解直線與平面平行判定定理，初步掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行二線面平行”.直線與平面平行的判定定理：平面外一

13、條直線與此平面，內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行，則線面平行名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .判定定理的符號表示為：a <Zot,bUot,ab= a /a .2 .證明線面平行的根本問題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，此時常用 ，中位線 定理、成比例線段、射影法、平行移動、補形等方法，具體用何種方法要視條件而定.【經(jīng)典例題】【例i】如果平面支外有兩點A, B,它們到平面口的距離都是a,則直線AB和平面口的位直天系 TEtE ()A.平行B.相交C.平行或相交D A0【分析】的卜有兩點A B,它們到平面口的距離都是a,并不能說明直線 AB一定與以平 行，因為兩點A,

14、B有可能在平面a的異側(cè).【解】C【點撥】思考問題時，思維要發(fā)散，不能定向思維 .【例2】如圖，已知 P是平行四邊形 ABC哧在平面外一點， M N分別是AB PC的中點.(i)求證：Ml/平面PAD(2)若MN =BC =4, PA =4>/3 ,求異面直線 PA與MN成的 角的大小.【分析】利用中位線或平行四邊形找平行線，再利用線面平行 的判定定理.【解】(i)取PD的中點H,連接AH由N是PC的中點， i NH/ZDC .由 M是 AB的中點，NH/AM 即AMNH;平行四邊形. MN / AH .由MN平面PAD, AH仁平面PAD ,MN 平面 PAD .(2)連接AC并取其中點

15、為 Q連接OM ON八.，1 一 八.，1 _OM/ - BC ON/ - PA 一 2 一 2所以ZONM就是異面直線 PA與MN/f成的角，且 MQ NO由 MN =BC=4, PA =45/3，得 OM2, ON=2VS.所以NONM =30° ,即異面直線 PA與MN 30°的角.【點撥】已知中點，牢牢抓住中位線得到線線平行， 或通過找平行四邊形得到線線平行， 再通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行.求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或 者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得2.2.2 平面與平面平行的判定自主探究學(xué)習(xí)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點

16、，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識 和理解空間中面面平行的判定，理解兩個平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行名師要點解析 要點導(dǎo)學(xué)1 .面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩a - L"b- "a|b =P|- -個平面平仃.用將方表不為：P / a .a 、工,b：|2 .垂直于同一條直線的兩個平面平行.3 .平面a上有不在同一直線上的三點到平面3的距離相等，則 a與3的位置關(guān)系是平行或相交.【經(jīng)典例題】【例1】判斷下列命題的真假，真的打，假的打“X”(1)平面a內(nèi)有一

17、條直線與平面 P平行，則a與p平行()(2)平面a內(nèi)有兩條直線與平面 P平行，則a與P平行()(3)平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與平面 P平行，則口與P平行()(4)平面a內(nèi)有兩條平行直線與平面 P平行，則G與P平行()(5)平面a內(nèi)任一條直線與平面 P平行，則a與P平行()【分析】依據(jù)面面平行的定義與判定定理進行判斷.【解】(1) ( X ) ; (2) ( X ); (3) ( X )； (4) ( X ); (5)(，).【點撥】可借助于教室中的長方體模型進行面面平行的判斷【例2】已知四棱錐 P-ABC珅,底面ABC四平行四邊形.點M N、Q分別在PA BD PD上,且PM M/=BN ND=P

18、Q QD求證：平面 MNQ平面PBC【分析】利用平面與平面平行的判定定理進行證明，可尋找滿足定理的5個條件.【證明】v PM MABN NDPQ QDMQ AD NQ/ BP而BPu平面PBC NQ0平面PBCNQ/平面PBC又ABC四平行四邊形，BC/ AD,MQ BC而BC=平面PBC MQS平面PBC MQ平面PBC由MQ NQQ,根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面MNQ平面PBC【點撥】由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行.一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與 線的平行.2.2.3 直線與平面平行的性質(zhì)自主探究學(xué)

19、習(xí)通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面平行的性質(zhì)定理， 靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線” “線面”平行的轉(zhuǎn)化.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行a二 I即：a二.a/ b .二.： =b I名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行.2 .直線和平面平行的判定定理及性質(zhì)定理在解題時往往交替使用.證線面平行往往轉(zhuǎn)化為證線線平行，而證線線平行又將轉(zhuǎn)化為證線面平行.循環(huán)往復(fù)直至證得結(jié)論為止.【經(jīng)典例題】【例1】（1）直線a/

20、b, a平面a ,則b與平面a的位置關(guān)系是 .（2）A是兩異面直線a, b外的一點，過A最多可作 個平面同時與a, b平行.【分析】（1）當(dāng)直線b在平面a外時，b/a ；當(dāng)直線b在平面a內(nèi)時，bca . （2）因為過A點分別作a , b的平仃線只能作一條，（分別稱a , b ）經(jīng)過a , b的平面也是惟一的.所以只能作一個平面；還有不能作的可能，當(dāng)這個平面經(jīng)過a或b時，這個平面就不滿足條件了.【解】（1） b/o（或bua. （2） 1.【點撥】考慮問題要全面，各種可能性都要想到，是解答本題的關(guān)鍵.【例2】如右圖，平行四邊形EFGH勺分別在空間四邊形 ABCD&邊A上，求證：BD/平面

21、EFGH分掣【分析】欲證BD/平面EFGH須證BD平行于平面內(nèi)一條直線，/ 顯然，只要證BD/EH即可.日4 【證明】: EH /FG , EH遼平面BCD , FG仁平面BCD ,VEH 平面 BCD.2又 EH U平面ABD ,平面BCD門平面ABD =BD , EH / BD .又 EH仁平面EFGH , BDS平面EFGH , BD 平面 EFGH.【點撥】證明線面平行的轉(zhuǎn)化思維鏈?zhǔn)恰坝梢阎€線平行一線面平行一線線平行一線面 平行”.2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì)自主探究學(xué)習(xí)通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面平行 的性質(zhì)定理，靈活運用面面平行的

22、判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線” “線面” “面面”平行的轉(zhuǎn)化.名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .面面平行的.性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行 用符號語言表示為：:卜-,Ch =a, rT：=b=a/b.2 .其它性質(zhì)： a P,l uo(n l P ; a P,l J_otn l J_ P ；夾在平行平面間的平行線段相等【經(jīng)典例題】【例1】已知三個平面 a , 3 , 丫，a / 3 / 丫，a, b是異面 直線，a與a , 3 , 丫分別交于A, B, C三點，b與a , 3 , 丫分別交于D, E, F三點，連接AF交平面3于G,連接C國平面3于H,則四邊形BGEH

23、5為.【分析】由a / 3 / 丫，a與AF相交于A有：BG=面ACF BG/ CF 同理有：HE/ CF BG/ HE 同理 BH/ GE一.四 邊形BGEH；平行四邊形.【解】平行四邊形【點撥】面面平行的性質(zhì)有三條，均應(yīng)熟記 .【例2】如圖，已知正方體 ABCD ABQ1D1中，面對角線 AB1 , F,且 B1E=CF .求證：EF/平面 ABCD【分析】 證明線面平行的根本問題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，此時常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動、補形等方法，本題可以用平行四邊形找平行線，也可以 用面面平行的性質(zhì)定理.【證明】證法一：過 E, F分別作AB, BC的垂線，

24、EM FN分別交AB BC于M N連接MN. BBL平面 ABCDBBXAB BBXBC； . . EM/ BB, FN/ BB, AB=BC, BE=GF, AE=BF,又/ BAB=/CBG45 ,BCi上分別有兩點E、EM/ FNRtAAMBRtBNF，EM=FN四邊形 MNFEi平行四邊形，EF/ MN又 MN=平面 ABCD EF/平面 ABCDBE _BiGRA - B1BBiE =CF ,CiF _ BiGC1B - B1BFG/ BC/ BC證法二：過 E作EG/ AB交BB于G,連接GF,又 EG FG =G, AB BOB,，平面 EFG/平面 ABCDb 又 EF二平面

25、EFG 1- EF/平面 ABCD【點撥】在熟知線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)之后，空間平行問題的證明，緊緊抓住“線線平行。線面平行。面面平行”之間的互相轉(zhuǎn)化而完成證明.2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定自主探究學(xué)習(xí)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識 和理解空間中線面垂直的判定，掌握直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理，并會用定義和判定定理證明直線與平面垂直的關(guān)系.掌握線面角的定義及求解.1 .如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線 l與平面a互相垂直，記作l 1«. l是平面口的垂線

26、，a是直線l的垂面，它們的唯一公共點 P叫做垂足.2 .直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這 條直線與該平面垂直.符號語言表示為：若l,m, l ± n , m A n = B, mca , nca ,則 l，ot名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角.求直線和平面所成的角， 幾何法一般先定斜足， 再作垂線找射影，然后通過解直角三角 形求解，可以簡述為“作（作出線面角）一證（證所作為所求）一求（解直角三角形）”.通 常，通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的

27、關(guān)鍵.2 .斜線和平面所成的角的范圍是 a|06<a<90D.【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐P ABC中，PA _LBC, PB_LAC , PO _L平面 ABC垂足為Q求證：O為底面 ABCW垂心.【分析】可證O為三角形ABC勺兩條高線的交點.【證明】連接 OA OB OC PO _L平面ABCPO _BC, PO _ AC .又PA_LBC, PB _L AC ,BC，平面 PAO, AC _L平面 PBO ,得 AO _L BC, BO _L AC ,O為底面 ABC勺垂心.【點撥】此例可以變式為“已知 PA_LBC, PB _L AC ,求證PC _LAB "，其思

28、路是接著 利用射影是垂心的結(jié)論得到 OC _LAB后進行證明.三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可按同樣的思 路證出.【例2】如圖，ABCD是正方形，SA垂直于平面 ABCD , 過A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分別于點E, F G ,求證：AE _LSB, AG _L SD .SC，平面 AEFG .【分析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理， 以及線線垂直和線面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想.由于 圖形的對稱性，所以兩個結(jié)論只需證一個即可. 欲證AE S SB ,可證AE _L平面SBC ,為此須 證AE _L BC , AE_L SC,進而轉(zhuǎn)化證明 BC _L平面SAB【證明】 SA_L平面ABCD ,

29、BCu平面ABCD , SA_L BC .又 ABCD為正方形, BC _L AB .BC _L 平面 ASB . . AE u 平面 ASB , B BC _L AE .又SC _L平面 AEFG ,. SC .L AE .AE _L 平面 SBC .又.SBu平面SBC ,AE _LSB,同理可證 AG _L SD .【點撥】（1）證明線線垂直，常用的方法有：同一平面內(nèi)線線垂直、線面垂直的性質(zhì)定 理，三垂線定理與它的逆定理，以及與兩條平行線中一條垂直就與另一條垂直.（2）本題的證明過程中反復(fù)交替使用“線線垂直”與“線面垂直”的相互聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化思想的優(yōu)越性.2.3.2 平面與平面垂

30、直的判定自主探究學(xué)習(xí)通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面垂直的判定，正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個平面互相垂直”的概念；理會用所學(xué)知識求解平面與平面垂直的判定定理并會用判定定理證明平面與平面垂直的關(guān)系, 兩平面所成的二面角的平面角的大小.1 .定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.記作二面角ot- AB p.（簡記P ABQ）2 .二面角的平面角：在二面角 口一 lP的棱l上任取一點O,以點。為垂足，在半平 面Q, P內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB ,則射線OA和OB構(gòu)

31、成的ZAOB叫做二面角的 平面角.3 .定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂 直.記作a_Lp.4 .判定：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)5 .二面角alP的大?。?）二面角alP的大小是用它的平面角來度量的， 以點。為垂足，在半平面a,P 內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，在做二面角的平面角時，一定要有“0 A! l " ，OB! l ; /AOB的大小與點O在l上位置無關(guān).（2）當(dāng)二面角的平面角是直角時，這兩個平面互相垂直6 .自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線，它們所成的角與二兩角的平面角互補【經(jīng)典例題】【例

32、1】已知兩條不同直線 m , l ,兩個不同平面a , P ,給出下列命題:若l垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，則l，a ；若l / a ,則l平行于a內(nèi)的所有直線;若 muot, lu P 且 l，m,則o（，P；若luP,l_Lo（,則o（，P；若 mua, lu P 且 a/P,則 m/l；其中正確命題的序號是 .（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）【分析】若l垂直于a內(nèi)的兩條相交直線， 則l，口，正確；若l /支，則l平行于a 內(nèi)的所有直線，l與a還有可能異面；若 mua,luP且l，m,則a，P,a與P還有可能平行或不垂直的相交；若luP,l_La,則正確；若mu a , l u P且a /

33、P ,則m / l , m與l還有可能異面;【解】【點撥】根據(jù)線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)進行判斷.【例2】如圖，在正方體 ABCD AB1CQ1中，E是CC1的中點, 求證：平面A1 BD _L平面BED .【分析】 可證兩個平面所成的二面角是直角【證明】連接 AC交BDT F,連接 AF , EF, AE , AC1 .由正方體 ABCD ABGD ,易得 AD =AB , ED=EB, F是 BD的中點， 所以AF -L BD, EF 1BD ,得到A1FE是二面角A -BD -E的平面角.設(shè)正方體ABCD ABGDi的棱長為2,則AF2 =AA2 +AF2 =22 +（歷2 =6

34、, EF2 =CE2 +CF2 =12 +（揚2 =3 ,_2_ 22- 二 22AE 二ACi CE =(2 .2) 1 =9. 222一 AiF +EF =AE ,即 AF _LEF ,所以 平面 ABD _L平面 BED .【點撥】要證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角，這也是證兩平面垂直的常用方 法.此題由幾何圖形的特征，作出待證的兩個垂直平面所成二面角的平面角是解決問題的關(guān) Ir2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)自主探究學(xué)習(xí)通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)，掌握直 線與平面垂直的性質(zhì)定理；能運用性質(zhì)定理解決一些簡單問題；了解直線與平面垂直的判定定理和

35、性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系 .線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行名師要點解析要點導(dǎo)學(xué)1 .線面垂直性質(zhì)定理的符號語言：a_Lct,b_Lct=a/b2 .如果兩個平面都和一條直線垂直，那么這兩個平面平行【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐P -ABC中，三個側(cè)面與底面所成的二面角相等，PO _L平面ABC垂足為Q求證：O為底面 ABC勺內(nèi)心.可證點。到底面4 ABC勺三邊的距離相等.作 PD_LAB 于 D, PE_LBC 于 E, PF _LAC 于 PO _1平面 ABC PO _LOD, PO _LOE, PO 1OF , PO _AB, PO _BC, PO _ AC .又 PD _LA

36、B, PE IBC, PF ±AC , AB_L平面 PDO, BC_L平面 PEO, AC_L 平面 PFO.得 OD _AB, OE _BC, OF _ AC , /PDO,/PEO,/PFO為三個側(cè)面與底面所成的二面角的 平面角.即得 ZPDO =/PEO =/PFO , PO邊公共， APDO =NPEO mNPFO ,得 OD =OE =OF 又 OD _LAB, OE _LBC, OF _L AC .O為底面 ABC勺內(nèi)心.【點撥】這里用到了證明垂直問題的轉(zhuǎn)化思想，即“線線垂直一線面垂直一線線垂直”上述結(jié)論對于一般棱錐也成立，即棱錐的各側(cè)面與底面所成二面角均相等，或棱錐的頂點到底面各邊的距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的內(nèi)切圓的圓心【例2】在四棱錐P -ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD _L平面ABCD,PD = DC, E是PC中點，作 EF _L PB交PB于點 F .(1)證明：PA/平面EDB；B(2)證明：PB _L平面EFD ;(3)求二面角C - PB - D的大小.【分析】(1)用線面平行的判定定理，在平面EDB找與PA平行的直線；(2)用線面垂直的判定定理，在平面EFD中找與PB垂直的兩條相交直線；（3）先依據(jù)二面角的定義找出二面角C PB D的平面角，再證明并求出來.【解】（1）證明：連接AC交BD于O,連