2010-2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及答案詳解

1、2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：此題總分值42分，每題7分1. 假設(shè)均為整數(shù)且滿足，那么 B A1. B2. C3. D4.2假設(shè)實數(shù)滿足等式，那么可能取的最大值為 C A0. B1. C2. D3.3假設(shè)是兩個正數(shù)，且 那么 C A. B. C. D.4假設(shè)方程的兩根也是方程的根，那么的值為 A A13. B9. C6. D 0.5在中，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，,那么 ( B )A15°. B20°. C25°. D30°.6對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如， D A28062. B28065. C28067

2、. D28068.二、填空題：此題總分值28分，每題7分1實數(shù)滿足方程組那么 13 .2二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C，那么 3在等腰直角ABC中，ABBC5，P是ABC內(nèi)一點，且PA，PC5，那么PB_4將假設(shè)干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_15_個球.第二試 A一此題總分值20分設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解 由等式可得 令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只

3、有兩組：和1當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.2當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5611.二此題總分值25分等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分線與AB邊交于點P，M為ABC的內(nèi)切圓I與BC邊的切點，作MD/AC，交I于點D.證明：PD是I的切線.證明 過點P作I的切線PQ切點為Q并延長，交BC于點N

4、.因為CP為ACB的平分線，所以ACPBCP.又因為PA、PQ均為I的切線，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.又因為MD/AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在I上，所以點Q和點D重合，故PD是I的切線.三此題總分值25分二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點P，Q.1如果都是整數(shù)，且，求的值.2設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.如果關(guān)于的方程的兩個根都是整數(shù)，求ABC的面積.解 點P、Q在二次函數(shù)的圖象上，故，解得，.1由知解得.又為整數(shù)，所以，.(2) 設(shè)是方程的兩個整數(shù)根，

5、且.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，消去，得，兩邊同時乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，二次函數(shù)的解析式為.易求得點A、B的坐標(biāo)為1,0和2,0，點C的坐標(biāo)為0,2，所以ABC的面積為.第二試 B一此題總分值20分設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)全等的三角形只計算1次.解 不妨設(shè)，由等式可得 令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和1當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)

6、可得到5個符合條件的三角形.2當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5611.二此題總分值25分題目和解答與A卷第二題相同.三此題總分值25分題目和解答與A卷第三題相同.第二試 C一此題總分值20分題目和解答與B卷第一題相同.二此題總分值25分題目和解答與A卷第二題相同.三此題總分值25分設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)至少有一個為整數(shù)，求k的值解 由題意知，方程的兩根中至少有一個為整數(shù)由根與

7、系數(shù)的關(guān)系可得，從而有 1假設(shè)，那么方程為，它有兩個整數(shù)根和2假設(shè)，那么.因為為整數(shù)，如果中至少有一個為整數(shù)，那么都是整數(shù).又因為為質(zhì)數(shù)，由式知或不妨設(shè)，那么可設(shè)其中m為非零整數(shù)，那么由式可得，故，即又，所以，即 如果m為正整數(shù)，那么，從而，與式矛盾.如果m為負(fù)整數(shù)，那么，從而，與式矛盾.因此，時，方程不可能有整數(shù)根綜上所述，2021年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 副題題  號一二三總  分1561011121314得  分       評卷人  

8、60;    復(fù)查人       答題時注意： 1用圓珠筆或鋼筆作答； 2解答書寫時不要超過裝訂線； 3草稿紙不上交. 一、選擇題共5小題，每題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分 1. 小王在做數(shù)學(xué)題時，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：由上，我們可知第100行的最后一個數(shù)是 

9、0;  A10000      B10020      C10120      D10200 2. 如圖，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，那么在這個表格中包含黑色小方格的矩形個數(shù)是    A11      B12      

10、C13      D14第2題 3如果關(guān)于的方程有兩個有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)是    A1        B2      C3       D4 4. 假設(shè)函數(shù)y=k21x2k+1x+1k為參數(shù)的圖象與x軸沒有公共點，那么k的取值范圍是

11、0;   Ak，或k1      B1k，且k1Ck，或k1      Dk，或k1 5. ABC中，分別為上的點，平分，BM=CM，為上一點，且，那么與的大小關(guān)系為         A      BC      

12、60;D無法確定 二、填空題共5小題，每題7分，共35分 6. 如圖，正方形ABCD的面積為90點P在AB上， ；X，Y，Z三點在BD上，且，那么PZX的面積為         第6題 7甲、乙、丙三輛車都勻速從A地駛往B地乙車比丙車晚5分鐘出發(fā)，出發(fā)后40分鐘追上丙車；甲車比乙車晚20分鐘出發(fā)，出發(fā)后100分鐘追上丙車，那么甲車出發(fā)后       分鐘追上乙車 8. 

13、;設(shè)an=n為正整數(shù)，那么a1+a2+a2021的值        1.填“，“或“ 9紅、黑、白三種顏色的球各10個把它們?nèi)糠湃爰住⒁覂蓚€袋子中，要求每個袋子里三種顏色的球都有，且甲、乙兩個袋子中三種顏色的球數(shù)之積相等， 那么共有           種放法 10. ABC中，且b=4， 那么a+c=    

14、60;    . 三、解答題共4題，每題20分，共80分 11. cba，且，求的最小值 12. 求關(guān)于a，b，c，d的方程組   的所有正整數(shù)解. 13. 如圖，梯形ABCD中，ABCD，AC，BD相交于點OP，Q分別是AD，BC上的點，且，求證：OPOQ第13題 14.1 三個數(shù)中必有兩個數(shù)的積等于第三個數(shù)的平方，求的值.2設(shè)為非零實數(shù)，為正整數(shù)，是否存在一列數(shù)滿足首尾兩項的積等于中間項的平方？3設(shè)為非零實數(shù)，假設(shè)將一列數(shù)中的某一項

15、刪去后得到又一列數(shù)按原來的順序，滿足首尾兩項的積等于中間項的平方. 試求的所有可能的值.2021-04-16  人教網(wǎng)2021年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題副題參考答案一、選擇題 1D 解：第k行的最后一個數(shù)是，故第100行的最后一個數(shù)是 2.  B 解：這個表格中的矩形可由對角線的兩個端點確定，由于包含黑色小方格，于是，對角線的一個端點確定，另一個端點有3×4=12種選擇. 3B 解：由于方程的兩根均為有理數(shù)，所以根的判別式0，且為完全平方數(shù) 0，又2，所以， 當(dāng)時，解得

16、  ； 當(dāng)時，解得   4.  C 解：當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，有                     k210，                 &

17、#160;      =(k+1)24(k21)0.      解得k，或k1  當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，k=1，此時y=2x+1與x軸有公共點，不符合題意      當(dāng)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時，k=1，此時y=1與x軸沒有公共點.      所以，k的取值范圍是k，或k1. 5.  B  第5題 解

18、：如圖，設(shè)，作BKCE，那么 ， 于是A，B，E，C四點共圓. 因為是的中點，所以，從而有 ， 即平分. 二、填空題 6.  30  第6題 解：如圖，連接PD，那么  7180 解：設(shè)甲、乙、丙三車的速度分別為每分鐘x，y，z米，由題意知 ，     消去z，得 設(shè)甲車出發(fā)后t分鐘追上乙車，那么，即 ， 解得 8 解：由an=， 得&#

19、160;a1+a2+a2021= =1. 925 解：設(shè)甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數(shù)分別為，那么有 19， 且 ，                  1 即               ， 

20、;           2 于是 因此中必有一個取5不妨設(shè)，代入1式，得到  此時，y可取1，2，8，9相應(yīng)地z取 9，8，2，1，共9種放法同理可得y=5，或者z=5時，也各有9種放法但時，兩種放法重復(fù)因此共有 9×32 = 25種放法 10.  6  第10題 解：如圖，設(shè)ABC內(nèi)切圓為I，半徑為r，I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接IA，IB，IC

21、，ID，IE，IF. 由切線長定理得 AF=pa，BD=pb，CE=pc，其中p=(a+b+c). 在RtAIF中，tanIAF=，即 tan. 同理，  tan， tan. 代入等式，得 . 因此 a+c=. 三、解答題 11. 解：，又，且，所以b，c是關(guān)于x的一元二次方程               &

22、#160;                                 的兩個根. 故              &

23、#160;    0， 0， 即                         0， 所以20 于是-10，10，從而10，故 30， 當(dāng)時，等號成立 12. 解：將abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得 

24、;10ab+10bc+10ca=9abc. 因為abc0，所以，. 不妨設(shè)abc，那么 0. 于是，                ， 即                     

25、     ， a. 從而，a=2，或3. 假設(shè)a=2，那么. 因為，所以，b5.  從而，b=3，4，5. 相應(yīng)地，可得 c=15，(舍去)，5. 當(dāng)a=2，b=3，c=15時，d=90； 當(dāng)a=2，b=5，c=5時，d=50. 假設(shè)a=3，那么. 因為，所以，b. 從而，b=2舍去，3. 當(dāng)b=3時，c=(舍去). 因此，所有正整數(shù)解為 (a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2

26、，15，3，90)，(3，2，15，90)， (3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)， (2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50). 13. 證明：延長DA至，使得，那么，于是 DPC， 故 ， 所以PO  第13題 又因為DPO ，所以  同理可得           ， 而ABCD，所以，故

27、OPOQ 14. 解：1由題設(shè)可得 ，或，或 .     由，解得 ；     由，解得 ；     由，解得 .     所以滿足題設(shè)要求的實數(shù).     2不存在. 由題設(shè)整數(shù)1滿足首項與末項的積是中 間項的平方，那么有   

28、                 ， 解得 ，這與矛盾.     故不存在這樣的數(shù)列.     3如果刪去的是1，或者是，那么由2知， 或數(shù)列均為1，1，1，即，這與題設(shè)矛盾. 如果刪去的是，得到的一列數(shù)為，那么 ，可得.     

29、;如果刪去的是，得到的一列數(shù)為，那么 ，開得.     所以符合題設(shè)要求的的值為1，或.2021年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案一、選擇題1設(shè)非零實數(shù)，滿足那么的值為 ABCD【答案】A【解答】由得，故于是，所以2，是實常數(shù)，關(guān)于的一元二次方程有兩個非零實根，那么以下關(guān)于的一元二次方程中，以，為兩個實根的是 ABCD【答案】B【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，那么因為，且，所以，且 ，于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個實根的一元二次方程是，即第3題3如圖，在RtABC中，O是斜邊AB的中點，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E假

30、設(shè)AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，那么線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為 AODBOECDEDAC【答案】D【解答】第3題答題因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OAOBOC是有理數(shù)于是，ODOAAD是有理數(shù)由RtDOERtCOD，知，都是有理數(shù)，而AC不一定是有理數(shù)第4題4如圖，ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，那么圖中陰影局部的面積為 A3B4C6D8【答案】C【解答】因為DCFE是平行四邊形，所以DE/CF，且EF/DC第4題答題連接CE，因為DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原來

31、陰影局部的面積等于ACE的面積連接AF，因為EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因為，所以SABC = 4SACF故陰影局部的面積為65對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*為：，且，那么的值為 ABCD【答案】C【解答】設(shè)，那么，于是二、填空題6設(shè)，b是的小數(shù)局部，那么的值為 【答案】【解答】由于，故，因此第7題7如圖，點D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與CE交于點F，CDF，BFE，BCF的面積分別是3，4，5，那么四邊形AEFD的面積是 【答案】【解答】如圖，連接AF，那么有：第7題答題，解得，所以，四邊形AEFD的面積是8正整數(shù)a，b，c滿足，那么的最大值

32、為 【答案】【解答】由，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及66，可得1a3假設(shè)，那么，無正整數(shù)解；假設(shè)，那么，無正整數(shù)解；假設(shè)，那么，于是可解得，i假設(shè)，那么，從而可得；ii假設(shè)，那么，從而可得綜上知的最大值為9實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，那么所有滿足條件的數(shù)組為 【答案】，為任意實數(shù)【解答】由韋達(dá)定理得由上式，可知假設(shè)，那么，進(jìn)而假設(shè)，那么，有為任意實數(shù)經(jīng)檢驗，數(shù)組與為任意實數(shù)滿足條件10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2021元那么他

33、至少賣出了 支圓珠筆【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，那么所以，于是是整數(shù)又，所以，故y的最小值為207，此時三、解答題第11題11如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OBOC3OA直線與軸交于點D求DBC-CBE【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直線過點B第11題答題將點C(0，)的坐標(biāo)代入，得拋物線的頂點為(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因為BC2CE2BE2，所以，BCE為直角三角形，因此tan=又tanDBO=，那么DBO所以，12設(shè)的外心，垂心分別為，假設(shè)共圓，對于所

34、有的，求所有可能的度數(shù)【解答】分三種情況討論i假設(shè)為銳角三角形因為，所以由，可得，于是第12題答題ii第12題答題iii假設(shè)為鈍角三角形當(dāng)時，因為，所以由，可得，于是。當(dāng)時，不妨假設(shè)，因為，所以由，可得，于是iii假設(shè)為直角三角形當(dāng)時，因為為邊的中點，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時，不妨假設(shè)，此時點B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及13設(shè)，是素數(shù)，記，當(dāng)時，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論【解答】不能依題意，得因為，所以又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，當(dāng)時，進(jìn)而，與，是素數(shù)矛盾；當(dāng)時，所以，不能構(gòu)成三角形的三邊長14如果將正整數(shù)M放在正

35、整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術(shù)數(shù)【解答】假設(shè)n6，取1，2，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個正整數(shù)M是7的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|()，7|()那么有7|()，但06，矛盾故n7又當(dāng)為1，2，7時，對任意一個正整數(shù)m，設(shè)其為位數(shù)為正整數(shù)那么，7被7除的余數(shù)兩兩不同假設(shè)不然，存在正整數(shù)，7，滿足7|(，即，從而7|，矛盾故必存在一個正整數(shù)7，使得7|(，即為m的魔術(shù)數(shù)所以，n的最小值為7202

36、1年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試題一、選擇題：此題總分值42分，每題7分1為整數(shù)，且滿足，那么的可能的值有 【 】A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個2非負(fù)實數(shù)滿足，那么的最大值為 【 】 A B C D3在中，為的中點，于，交于，那么 【 】 A B C D46張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，那么這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率是 【 】 A B C D5設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令.實數(shù)滿足，那么 【 】A B C D16在中，在上，在上，使得為等腰直角三角形, ,那么的長為 【 】 AB C D二、填空題：此題總分值28分，每題7分

37、1實數(shù)滿足，那么_2使得不等式對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為 3為等腰內(nèi)一點，為的中點，與交于點，如果點為的內(nèi)心，那么 4正整數(shù)滿足:，那么 三、此題總分值20分設(shè)實數(shù)滿足，求的值四、此題總分值25分如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點，且滿足, 的延長線與的外接圓交于點. 證明：五、此題總分值25分設(shè)是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，那么稱具有性質(zhì).1試判斷1，2，3是否具有性質(zhì)；2在1，2，3，2021，2021這2021個連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)有多少個？2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試題和參考答案一、選擇題：此題總分值42分，每題7分1為整數(shù)，且滿足，那么的可能的值有 【 】A. 1個 B.

38、 2個 C. 3個 D. 4個【答】 C.由等式得，顯然均不為0，所以0或.假設(shè)，那么.又為整數(shù)，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個.2非負(fù)實數(shù)滿足，那么的最大值為 【 】 A B C D【答】 A.，易知：當(dāng)，時，取得最大值.3在中，為的中點，于，交于，那么 【 】 A B C D【答】 B.因為，所以四點共圓，所以，又，所以，所以.又易知，所以，從而可得.46張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，那么這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率是 【 】 A B C D【答】 B.假設(shè)取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同，有2×2×28種取

39、法；假設(shè)取出的3張卡片上的數(shù)字有相同的，有3×412種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有81220種取法.要使得三個數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長，只可能是：2，4，4，4，4，6，2，6，6，4，6，6，由于不同的卡片上所寫數(shù)字有重復(fù)，所以，取出的3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的情況共有4×28種.因此，所求概率為.5設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令.實數(shù)滿足，那么 【 】A B C D1【答】 D.設(shè)，那么，所以，因式分解得，所以.由解得，顯然，所以1.6在中，在上，在上，使得為等腰直角三角形, ,那么的長為 【 】 AB C D【答】 A.過作于，易知

40、，.設(shè)，那么，故，即.又，故可得.故.二、填空題：此題總分值28分，每題7分1實數(shù)滿足，那么_【答】 0.由題意知，所以整理得，所以0.2使得不等式對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為 【答】144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當(dāng)時，由可得，可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整數(shù)的最大值為144.3為等腰內(nèi)一點，為的中點，與交于點，如果點為的內(nèi)心，那么 【答】.由題意可得，而，所以，從而可得.又，所以，從而.所以，所以4正整數(shù)滿足:，那么 【答】36.設(shè)的最大公約數(shù)為，均為正整數(shù)且，那么，所以，從而，設(shè)為正整數(shù)，那么有，而，所以均為完全平方數(shù)，設(shè)，那么，均為正整數(shù)，且，.又，故，即.注

41、意到，所以或.假設(shè)，那么，驗算可知只有滿足等式，此時，不符合題意，故舍去.假設(shè)，那么，驗算可知只有滿足等式，此時，符合題意.因此，所求的.三、此題總分值20分設(shè)實數(shù)滿足，求的值解 由條件可得，.設(shè)，那么有， 5分聯(lián)立解得或. 10分假設(shè)，即，那么是一元二次方程的兩根，但這個方程的判別式，沒有實數(shù)根； 15分假設(shè)，即，那么是一元二次方程的兩根，這個方程的判別式，它有實數(shù)根.所以. 20分四、此題總分值25分如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點，且滿足, 的延長線與的外接圓交于點. 證明：證明 由是平行四邊形及條件知.5分又A、B、F、 D四點共圓，所以， .10分所以， 15分所以. 20分又，

42、所以，故. 25分五、此題總分值25分設(shè)是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，那么稱具有性質(zhì).1試判斷1，2，3是否具有性質(zhì)；2在1，2，3，2021，2021這2021個連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)有多少個？解 取，可得，所以1具有性質(zhì)；取，可得，所以2具有性質(zhì)；5分假設(shè)3具有性質(zhì)，那么存在整數(shù)使得，從而可得，故，于是有，即，這是不可能的，所以3不具有性質(zhì). 10分2記，那么.即 15分不妨設(shè)，如果，即，那么有；如果，即，那么有；如果，即，那么有；由此可知，形如或或為整數(shù)的數(shù)都具有性質(zhì).20分又假設(shè)，那么，從而，進(jìn)而可知.綜合可知：當(dāng)且僅當(dāng)或為整數(shù)時，整數(shù)不具有性質(zhì).又20219×2237，所以

43、，在1，2，3，2021，2021這2021個連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)共有224×2448個. 25分 2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題 第一試 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、選擇題此題總分值42分，每題7分 (此題共有6個小題，每題均給出了代號為A,B,C,D的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi). 每題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個不管是否寫在括號內(nèi)，一律得0分.)1.用表示不超過的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)局部.，是的小數(shù)局部，是的小數(shù)局部，那么 2.三種圖書的單價分別為10元、15元和20元，某學(xué)校方案恰好用

44、500元購置上述圖書30本，那么不同的購書方案有 種 種 種 種 3(A). 如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù).如： 和均為“和諧數(shù).那么，不超過的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)之和為 3(B.二次函數(shù)的圖象的頂點在第二象限，且過點.當(dāng)為整數(shù)時， 4.的半徑垂直于弦,交于點，連接并延長交于點,假設(shè),那么的面積為 5.如圖，在四邊形中，,對角線的交點為，那么 ( ) 6.設(shè)實數(shù)滿足 那么的最大值為 ( ) 二、填空題此題總分值28分，每題7分(此題共有4個小題，要求直接將答案寫在橫線上.) 1.【1(A)、2B】 的頂點、在反比例函數(shù)的圖象上，,軸，點在點的上方

45、，且那么點的坐標(biāo)為 .1(B).的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，,那么 . 2(A).在四邊形中，,平分,為對角線的交點，那么 .3.【3(A)、4(B)】 有位學(xué)生忘記寫兩個三位數(shù)間的乘號，得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)恰好為原來兩個三位數(shù)的乘積的3倍，這個六位數(shù)是 . 3(B).假設(shè)質(zhì)數(shù)、滿足：那么的最大值為 .4(A).將5個1、5個2、5個3、5個4、5個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)每格填入一個數(shù)，使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個和的最小值為,那么的最大值為 . 第二試 (3月20日上午9:50 11:20) 一、此題總分值20分為正整數(shù)，

46、求能取到的最小正整數(shù)值. 二、此題總分值25分(A).如圖，點在以為直徑的上，于點,點在上，四邊形是正方形，的延長線與交于點.證明:. (B).： 求的值.三、此題總分值25分(A).正實數(shù)滿足： ,且 .(1) 求的值.(2) 證明:.(B).如圖，在等腰中,為邊上異于中點的點，點關(guān)于直線的對稱點為點,的延長線與的延長線交于點 求的值. 2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及詳解 第一試 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、選擇題此題總分值42分，每題7分 (此題共有6個小題，每題均給出了代號為A,B,C,D的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).

47、 每題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個不管是否寫在括號內(nèi)，一律得0分.)1.用表示不超過的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)局部.，是的小數(shù)局部，是的小數(shù)局部，那么 【答案】. 【解析】 即 又 應(yīng)選A. 2.三種圖書的單價分別為10元、15元和20元，某學(xué)校方案恰好用500元購置上述圖書30本，那么不同的購書方案有 種 種 種 種 【答案】C. 【解析】設(shè)購置三種圖書的數(shù)量分別為那么，即，解得 依題意得，為自然數(shù)非負(fù)整數(shù)，故有種可能的取值分別為，對于每一個值，和都有唯一的值自然數(shù)相對應(yīng). 即不同的購書方案共有11種，應(yīng)選C. 3(A). 如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù).如： 和均為“和諧數(shù).那么，不超過的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)之和為 【答案】B. 【解析】 其中為非負(fù)整數(shù)，由得， ，即得所有不超過2021的“和諧數(shù)，它們的和為應(yīng)選B.3(B.二次函數(shù)的圖象的頂點在第二象限，且過點.當(dāng)為整