第1章函數(shù)極限與連續(xù) §13 極限的性質(zhì)

1、第第1章章 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù) 1.3極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)一、極限的基本性質(zhì)極限的基本性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì).,)(則則其其極極限限是是唯唯一一的的的的極極限限存存在在或或函函數(shù)數(shù)若若數(shù)數(shù)列列證明：)(反證法反證法,lim,limbabxaxnnnn且且設(shè)設(shè). 0|,|dbad則則令令，對(duì)對(duì)于于020d ，分分別別存存在在正正整整數(shù)數(shù)21,NN，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)01| axNnn,由極限定義知由極限定義知，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0| bxNnn1 . 3 . 1性質(zhì))(唯一

2、性 1.3極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)，取,max21NNN 有時(shí)當(dāng),Nn | )()( |nnxbxaba |bxaxnn |,|bad即即.|矛矛盾盾與與badd00 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì),limaxnn設(shè)設(shè)有時(shí)當(dāng)存在正整數(shù),NnN ,21| axn,2|1nnxx但但證明證明 ,反證法.) 1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列nnx1例例),21,(,axNnn所所有有的的時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng).,1故故與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾不不可可能能同同屬屬于于該該鄰鄰域域及及因因此此nnx

3、x,21 則則對(duì)對(duì)于于高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì);,lim) 1 (有有界界則則數(shù)數(shù)列列存存在在若若nnnxx;)(,)(lim)2(00的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界必必在在則則存存在在若若xxfxfxx.)(,|, 0,)(lim) 3(有有界界時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在存存在在若若xfMxMxfx證明證明 ,lim) 1 (axnn設(shè)設(shè)1| axn于是于是,|1|,|,| |,|max21axxxMN取取. 2 .3 .1性性質(zhì)質(zhì))(有有界界性性, 1 則則對(duì)對(duì)于于, 0N有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn |nx|aaxn|1a|)( |aaxn高等數(shù)學(xué)

4、高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì);,lim) 1(有界則數(shù)列存在若nnnxx ;)(,)(lim)2(00的某去心鄰域內(nèi)有界必在則存在若xxfxfxx.)(,|, 0,)(lim)3(有界時(shí)當(dāng)則存在存在若xfMxMxfx 有有對(duì)于對(duì)于, n.有有界界故故數(shù)數(shù)列列nx注注 有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列，如數(shù)列有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列，如數(shù)列.) 1(1n. 2 . 3 . 1性質(zhì))(有界性.|Mxn ,|1|,|,| |,|max21axxxMN取取高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì), 0, 0,)(lim)2(00 對(duì)對(duì)于于

5、由由定定義義設(shè)設(shè)Axfxx0|)(| Axf00)( AxfA或有時(shí)使得當(dāng),|00 xx.)(,0的某去心鄰域內(nèi)有界在即成立xxf證明證明 ;,lim) 1(有界則數(shù)列存在若nnnxx ;)(,)(lim)2(00的某去心鄰域內(nèi)有界必在則存在若xxfxfxx.)(,|, 0,)(lim)3(有界時(shí)當(dāng)則存在存在若xfMxMxfx 2 . 3 . 1性質(zhì))(有界性用極限用極限M 定義可證（定義可證（3）. ,limlim)1(時(shí)當(dāng)，則存在正整數(shù)且，若NnNbabyaxnnnn ；恒恒有有nnyx ,lim,lim) 1 (babyaxnnnn且且由于由于使得分別存在,21NN，有時(shí)當(dāng)01|, ax

6、Nnn,00 axn即即，有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)02|, byNnn,00 ayn即即有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)取取,max21NnNNN.,2nnnnxyxbay即即證明證明 )(3 . 3 . 1局部保號(hào)性性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì),2baxn從而從而, 020ba 對(duì)于對(duì)于,2bayn從而從而高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì). )()(xgxf 鄰域內(nèi)恒有的某去心，則在且若0)(lim,)(lim)2(00 xBABxgAxfxxxx 證明證明 )(略. 0)(,0,.)(xfBBxf有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特特別別地地內(nèi)內(nèi)恒

7、恒有有., )()(,BAxgxf 則在此鄰域內(nèi)鄰域的某去心鄰域，則在且若0,)(lim0 xBAAxfxx 1 . 3 . 1推論去心的某且存在若0)(lim,)(lim00 xBxgAxfxxxx 2 . 3 . 1推論（局部保號(hào)性）（局部保號(hào)性）3 . 3 . 1性質(zhì)注的情形也有類似于性對(duì)于),(00* xxxx.3 . 3 . 1及其推論的結(jié)論質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)二、收斂數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)系二、收斂數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)系,21nxxx：在數(shù)列nx,21knnnxxx：任取無窮多項(xiàng)得一數(shù)列中,knx)(21 knnn.列列的的

8、一一個(gè)個(gè)子子數(shù)數(shù)列列或或一一個(gè)個(gè)子子為為稱稱nnxxkknkxn 是子數(shù)列是子數(shù)列其中其中.,kknnknxk 因此項(xiàng)的第是原數(shù)列項(xiàng)的第).(lim,lim為常數(shù)若aaxaxknknn 4 . 3 . 1性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)有時(shí)當(dāng), 0,0NnN 證明證明 ,lim知由于axnn ,| axn于是時(shí)則當(dāng)取,NnnnKkNKNKk ,| axkn.limaxknk 故).(lim,lim為常數(shù)若aaxaxknknn 4 . 3 . 1性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

9、三、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.)(lim)(lim0Axfxfxxnn 且必收斂則數(shù)列若且,)(,lim),(00nnnnxfxxNnxx 證明證明 ,)(lim0知知由由Axfxx,|)(| Axf,)( ,)(lim0定義域內(nèi)的一個(gè)數(shù)列為設(shè)xfxAxfnxx 5 . 3 . 1性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),|0, 0, 00 xx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.)(lim)(lim0Axfxfxxnn 且必收斂則數(shù)列若且,)(,lim),(00nnnnxfx

10、xNnxx ,lim0知知又又由由xxnn)(|000 xxxxnn |)(|Axfn從而有Axfnn)(lim故故,)( ,)(lim0定義域內(nèi)的一個(gè)數(shù)列為設(shè)xfxAxfnxx 5 . 3 . 1性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)1.3 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)上上述述的的, 0,NnN ).(lim0 xfxx證明證明 ,2 nxn取兩數(shù)列，則則 nnnnxxlim,lim),(無限增大無限增大時(shí)即當(dāng)nxn nxnnn2sinlimsinlim但)22sin(limsinlim nxnnn.sinlim不存在故xx .sinlim不存在證明極限xx 2 .3 .1例高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 函數(shù)