第二章第三節(jié)有限與無限的問題

1、第三節(jié) 有限與無限的問題教學(xué)目標(biāo)1. 了解芝諾悖論的癥結(jié)和意義2. 理解有限和無限的聯(lián)系和區(qū)別3. 掌握潛無限和實(shí)無限的簡史教學(xué)重點(diǎn)理解有限和無限的聯(lián)系和區(qū)別教學(xué)過程一、 引入高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？更加全面；更加深刻；更加細(xì)微；更加本質(zhì)；更加理論化；更加系統(tǒng)化；從 研究“常量”發(fā)展到研究“變量”從 研究“有限”發(fā)展到研究“無限”初等數(shù)學(xué)更多地在“有限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“有限”為手段和工具進(jìn)行討論； 高等數(shù)學(xué)則更多地在“無限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“無限”為手段和工具進(jìn)行討論。 二、 新授1.芝諾悖論悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。悖論（parado

2、x）具體是指：由一個被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。例如：“甲 是 乙”與 “甲 不是 乙” 這兩個命題中總有一個是錯的；但 “本句話 是 七個字”與 “本句話 不是 七個字”又均是對的，這就是悖論。再如：“萬物皆數(shù)”學(xué)說認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。1. 外祖母悖論我會穿梭時空，回到過去，把我自己的外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有人殺我外祖母，我外祖母就不會死，那我又有了。而有了我

3、，外祖母就沒了，我也就沒了這就是悖論，自己與自己就有矛盾。2.說謊者悖論自指引發(fā)的悖論 “我正在說謊” 有克利特人中的一個本地中先知說：“克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶”(圣經(jīng)·提多書第一章)3.“說謊者循環(huán)” A說：“下面是句謊話。 B說：“上面是句真話?！保?）、芝諾悖論-由無限引出的芝諾（前490？前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。1） 兩分法向著一個目的地運(yùn)動的物體，首先

4、要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2如此類推，以至無窮，永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)。結(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動永遠(yuǎn)不可能開始的。 2） 阿基里斯(Achilles)悖論：阿基里斯追不上烏龜。3） 飛矢不動悖論一支飛行的箭是靜止的：由于每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運(yùn)動狀態(tài)。4） “操場或游行隊(duì)伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動。從靜止的C看來，比如說，A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里；可是，從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。由于B保持等速移動，所以移動2公里的時間應(yīng)該是移動4公里時間的一半。因而一半的時間等于兩倍的時間。2. 癥

5、結(jié)“有限與無限”的矛盾 無限段長度的和，可能是有限的； 無限段時間的和，也可能是有限的。3. 芝諾悖論的意義： 1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 2）較早的“反證法”及“無限”的思想 3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛病；所以，“運(yùn)動只是假象，不動不變才是真實(shí)”。芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。2、 “有無限個房間”的旅館有限和無窮的這個特點(diǎn)可以從下

6、面的小故事反映出來，這個故事?lián)f是希爾伯特說的。 某一個市鎮(zhèn)只有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，只是房間數(shù)不是有限而是無窮多間，房間號碼為 1，2，3，4，我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個旅館的房間可排成一列的無窮集合(1，2，3，4，)，稱為可數(shù)無窮集。 有一天開大會，所有房間都住滿了。后來來了一位客人，堅(jiān)持要住房間。旅館老板于是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起！”。正好這時候，聰明的旅館老板的女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。于是 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號房間的客人搬到 3 號房依此類推。最后

7、 1 號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。 1. “客滿”后又來1位客人（“客滿”？） 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了1號房間 。第二天，希爾伯特旅館又來了一個龐大的代表團(tuán)要求住旅館，他們聲稱有可數(shù)無窮多位代表一定要住，這又把旅館經(jīng)理難住了。老板的女兒再一次來解圍，她說：“您讓 1 號房間客人搬到 2 號，2 號房間客人搬到 4 號，k 號房間客人搬到 2k 號，這樣，1 號，3 號，5 號，房間就都空出來了，代表團(tuán)的代表都能住下了?！?. 客滿后又來了一個旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無窮個客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇數(shù)號房間 。3. 客滿后又來了一萬個

8、旅游團(tuán)，每個團(tuán)中都有無窮個客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001×k 空出了一萬個、又一萬個的空房間 。全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答是容易推廣的。4. 該旅館客滿后又來了無窮個旅游團(tuán)，每個團(tuán)中都有無窮個客人，還能否安排？ “無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個其他觀點(diǎn)都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清”-Hilbert（希爾伯特）3、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系 1. 區(qū)別 1） 在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下， 部分總是小于全體。當(dāng)初的伽利略悖論

9、，就是因?yàn)闆]有看到“無限”的這一個特點(diǎn)而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。2.） “有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立 （1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律 在“有限”的情況下，加法結(jié)合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， 在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如（2）有限級數(shù)一定有“和”。 是個確定的數(shù) 無窮級數(shù)一定有“和”。 × 則不是個確定的數(shù)。稱為該 級

10、數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。2. 聯(lián)系 在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。 1）數(shù)學(xué)歸納法 通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。 2）極限 通過有限的方法，描寫無限的過程。 如： ； 自然數(shù)N，都 ，使 時， 。 3）無窮級數(shù) 通過有限的步驟，求出無限次運(yùn)算的結(jié)果，如4）遞推公式 , n= 2,3, 3. 數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映 1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的。（整體看又是圓的） 2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直的 （許多刀合在一起的效果又是光滑的）3） 不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面

11、積不規(guī)則圖形的面積？法.用方格套（想像成透明的）。方格越?。ǜ褡拥臄?shù)目越多），所得面積越準(zhǔn)。 法.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形若干個曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：4、 潛無限與實(shí)無限 1潛無限與實(shí)無限簡史 潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實(shí)體。從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，寫起，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋

12、子看作一個實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。亞里士多德只承認(rèn)潛無限，不承認(rèn)直線是由點(diǎn)構(gòu)成。 但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實(shí)體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。 康托的工作是劃時代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時的處境和待遇都不太好。 高斯反對實(shí)無限：反對把無窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體，認(rèn)為無限只不過是一種說話的方式。實(shí)無限、潛無限只是一個硬幣的兩個面兩種無窮思想經(jīng)歷了此消彼長，兩種無限在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都是有用武之地。微積分采用潛無限，非標(biāo)準(zhǔn)分析采用實(shí)無限。無窮本身是一個矛盾體，既是一個需無窮逼近的過程，也

13、是一個可供研究的實(shí)體。Hilbert（希爾伯特）認(rèn)為：無窮是一個永恒之謎，無窮是人類心情寧靜的最大敵人。 由于康托爾的無窮學(xué)說從根本上否定了“整體大于部分”的觀念，而且他在無限王國走得如此遠(yuǎn)，以至于同時代的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都不能理解他的觀點(diǎn)，懼怕集合論。有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院。1918年 1月6日，康托爾在一家精神病院去世。 康托的無窮集合論也導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。“無窮集合”的本質(zhì)“無窮集合”中一定可以找到一個真子集，與全集一一對應(yīng)。如

14、果一個集合中能夠找到一個真子集，與全集一一對應(yīng)，這個集合一定是“無窮集合” 。5關(guān)于無限的思考（1） 哲學(xué)對無限的興趣物質(zhì)是無限的；時間與空間是無限的；物質(zhì)的運(yùn)動形式是無限的。一個人的生命是有限的；一個人對 客觀世界的認(rèn)識是有限的。（2） 數(shù)學(xué)對無限的興趣 數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對無限的認(rèn)識成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶。一個人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會充滿樂趣。思 有無窮個房間的旅館，客滿后又來了無窮個旅游團(tuán)，每個團(tuán)中都有無窮個客人，還能否安排？ 答