第一章偏微分方程定解問(wèn)題

1、 第一章 偏微分方程定解問(wèn)題引言：在研究、探索自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到各種微分方程。如 牛頓定律 -(1) 波動(dòng)方程 -(2) 熱傳導(dǎo)方程 -(3)靜電場(chǎng)位方程 -(4)激波方程 -(5)等等。其中(1)為一維常微分方程；(2)-(4)為三維偏微分方程；(5)為一維偏微分方程。這些數(shù)學(xué)中的微分方程均來(lái)自物理問(wèn)題，有著各自的物理背景，從數(shù)量關(guān)系上反映著相應(yīng)的物理規(guī)律，稱為數(shù)學(xué)物理方程，簡(jiǎn)稱數(shù)理方程。數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)與物理學(xué)的交叉分支學(xué)科。從物理上講它是理論物理的基本工具；在數(shù)學(xué)上屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的(偏)微分方程分支。本課程主要研究和討論三類數(shù)理方程(2)，(3)，(4)的建立(導(dǎo)出)以及幾種

2、常用的典型的求解方法。為了下面研究和討論的方便，先引入有關(guān)微分方程的幾個(gè)基本概念(術(shù)語(yǔ))。1. 常，偏微分方程 只含一個(gè)自變量，關(guān)于該變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對(duì)該變量的導(dǎo)數(shù)的微分方程為常微分方程，如(1)。 含有多個(gè)自變量，關(guān)于這些變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對(duì)這些變量的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程為偏微分方程，如(2)-(5)。2. 階上述(1)-(5)均可改寫成如下形式 -(1) -(2) -(3) -(4) -(5)其中 ，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。這些方程可歸納為如下形式=0，其中為導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，成為方程的階。 3.

3、 線性、非線性偏微分方程只涉及未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的線性組合(一次項(xiàng))的偏微分方程稱為線性偏微分方程。如(2)-(4)。含有未知函數(shù)及欺騙導(dǎo)數(shù)二次或二次以上乘積項(xiàng)的偏微方程稱為非線性偏微分方程。如(5)。1.1 三個(gè)典型方程的導(dǎo)出本課程中研究問(wèn)題的方式是：先將物理問(wèn)題裝化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；再求解數(shù)學(xué)模型；最后由所得解來(lái)分析，解釋，揭示實(shí)際物理問(wèn)題出現(xiàn)的結(jié)果。1.1.1：弦的(微小)橫振動(dòng)(1) 相關(guān)的物理規(guī)律 牛頓第二定律 胡克定律 (2) 波動(dòng)方程的導(dǎo)出微元分析法：(x, x+dx)已知外力 ，均勻線密度為 弦內(nèi)部張力 導(dǎo)數(shù)的基和意義：， 由牛頓第二定律得到如下矢量關(guān)系式即 由此可得：

4、，即 ， 又由小振動(dòng)條件知 而 故最終有一維波動(dòng)方程為，用同樣的方法可導(dǎo)出： 二維波動(dòng)方程(如鼓膜小振動(dòng))： ， 三維波動(dòng)方程(如聲波)： 。(3) 說(shuō)明波動(dòng)方程反映了一類物理系統(tǒng)，如細(xì)弦、彈性桿、鼓膜、聲音，乃至電磁系統(tǒng)中的電流、電壓、電場(chǎng)、磁場(chǎng)隨時(shí)間演化的共同規(guī)律。這些物理系統(tǒng)的狀態(tài)(方程的解)隨時(shí)間的變化是可逆的。而在數(shù)學(xué)上該方程屬于一類典型的偏微分方程-雙曲型方程。1.1.2: 熱傳導(dǎo)問(wèn)題(1) 相關(guān)的物理規(guī)律 傅立葉定律(熱傳導(dǎo)) 其中 為沿方向的熱流強(qiáng)度，k>0， 能量轉(zhuǎn)化與守恒定律(熱平衡) 牛頓冷卻定律(熱交換) ， 其中 為邊界面積，為外界溫度。(2) 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出

5、 微元分析法 dV=dxdydz 已知dV中dt內(nèi)產(chǎn)生的熱量為g(t,x,y,z)dVdt 經(jīng)面1流入dV的熱量滿足： ， 經(jīng)面2流入dV的熱量滿足： tt+dt內(nèi)沿x軸流入dV中的凈熱量為 ，同理，tt+dt內(nèi)沿y軸流入dV中的凈熱量為 ， tt+dt內(nèi)沿z軸流入dV中的凈熱量為 故tt+dt內(nèi)dV中增加的凈熱量為 這些熱量用來(lái)使dV內(nèi)的物質(zhì)在tt+dt內(nèi)升溫，升溫所需的熱量為 ，c為物質(zhì)的比熱，由能量守恒定律知：即 化簡(jiǎn)后可得三維熱傳導(dǎo)方程 其中 ，。同理可得出二維、一維熱傳導(dǎo)方程為：二維(如溫度分布、變化與高度無(wú)關(guān)的柱體) ；一維(如側(cè)面絕熱細(xì)桿) 。(3)說(shuō)明熱傳導(dǎo)方程也反映了一類物理

6、現(xiàn)象的共同特征。只要機(jī)理與熱傳導(dǎo)相似(有源，流等)，如氣體擴(kuò)散、雜質(zhì)擴(kuò)散、濃度擴(kuò)散等，均滿足該形式的方程，故熱傳導(dǎo)方程也常稱為擴(kuò)散方程。這類現(xiàn)象(方程的解)隨時(shí)間的演化是不可逆的。在數(shù)學(xué)上，該方程也屬于一類典型的偏微分方程-拋物型方程。1.1.3: (靜電)場(chǎng)位方程(1)相關(guān)物理規(guī)律高斯定律 (積分形式) (微分形式)法拉弟定律 (積分形式) (微分形式)(2)場(chǎng)位方程的導(dǎo)出若則 反之，數(shù)學(xué)上可以證明：若，則必有標(biāo)量函數(shù)，使。由法拉弟定律可知 代入高斯定律有 ，化簡(jiǎn)后即得三維場(chǎng)位方程 其中 ，相應(yīng)的二維和一維方程分別是： 和 。(3)說(shuō)明場(chǎng)位方程也反映了一類物理現(xiàn)象，即穩(wěn)定分布現(xiàn)象的共同特征。

7、這些現(xiàn)象是不隨時(shí)間變化的(方程的解中不含時(shí)間變量)，故也常成為穩(wěn)定分布方程。例如，熱傳導(dǎo)問(wèn)題中可以出現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)某物體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量恰好等于傳出體外的熱量，此時(shí)體內(nèi)溫度的分布便不隨時(shí)間變化，在熱傳導(dǎo)方程中有，熱傳導(dǎo)方程自然轉(zhuǎn)化為溫度的穩(wěn)定分布方程。在數(shù)學(xué)上，場(chǎng)位方程(有時(shí)稱為Poisson方程)屬于又一類典型的偏微分方程-橢圓型方程。1.2 定解問(wèn)題及其適定性在完成了建立偏微分(數(shù)理)方程后，接下來(lái)的任務(wù)就是求解這些方程。為此還要介紹幾個(gè)有關(guān)微分方程解的基本概念。1.2.1: 解，通解和特解如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程(取代未知函數(shù))后，原方程變成一個(gè)恒等式，該函數(shù)就稱為原方程的解。微分方程的

8、解可分為兩類：通解和特解。例1.2.1 求解 ，其中 。分析：若，則 為與無(wú)關(guān)的任意常數(shù)。 但當(dāng)時(shí)，雖然由形式上仍可得，但此處的常數(shù)C應(yīng)該僅僅只是與無(wú)關(guān)。因是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故一般說(shuō)來(lái)，C可以與有關(guān)，即為與無(wú)關(guān)的任意函數(shù)。 解：將原方程兩邊對(duì)積分，得。例1.2.2 求解，其中 。解：原方程可寫為 ， 兩邊對(duì)積分一次得 ， 兩邊再對(duì)積分一次得 其中 均為任意可微函數(shù)。上述兩例中方程的解均含有任意函數(shù)。例1.2.1含一個(gè)，而方程為1階；例1.2.2中含兩個(gè)，而方程為2階。這種m階偏微分方程的含有m個(gè)任意函數(shù)的解稱為偏微分方程的通解。與常微分方程通解相比，它們要復(fù)雜得多。 這就從數(shù)學(xué)上表明僅有偏微分

9、方程本身，充其量只能求得其通解，不能確定其中任意函數(shù)的具體形式。 具體問(wèn)題的解釋不能含有不確定的任意函數(shù)或任意常數(shù)的，這種解稱為方程的特解。 以波動(dòng)方程為例從物理上看，在獲得這一方程時(shí)僅考慮到任一時(shí)刻弦內(nèi)部及外力對(duì)弦內(nèi)部的作用而未考慮初始時(shí)刻弦的運(yùn)動(dòng)以及外部環(huán)境對(duì)弦震動(dòng)的影響，因此，不管是初始時(shí)不動(dòng)的弦還是初始時(shí)運(yùn)動(dòng)的弦；不管是無(wú)限長(zhǎng)的弦還是有限長(zhǎng)的弦，它們的運(yùn)動(dòng)均滿足同一個(gè)波動(dòng)方程。換句話說(shuō)，這些不同情況的弦的運(yùn)動(dòng)都是波動(dòng)方程的解。因此，僅有一個(gè)波動(dòng)方程最多就能解出反映各種弦運(yùn)動(dòng)共同特征的通解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦運(yùn)動(dòng)的特解。 前述分析表明實(shí)際上單靠一些數(shù)理方程是不能完全決定

10、一個(gè)具體問(wèn)題的解的，因此，數(shù)理方程本身被稱為泛定方程。1.2.2: 定解條件 前面已說(shuō)明，要解決一個(gè)具體的數(shù)理問(wèn)題，單給泛定方程是不夠的。更為嚴(yán)重的是，實(shí)際上只有極少數(shù)極其簡(jiǎn)單的泛定方程能求出其通解，求解一般的偏微分方程的通解是極其困難的，也不實(shí)用。通常情況是根據(jù)方程的物理背景或數(shù)學(xué)特點(diǎn)求出某些特定形式的特解，這除了需要泛定方程外，還要有具體問(wèn)題找出相應(yīng)的定解條件。泛定方程+定解條件=定解問(wèn)題。常見(jiàn)的定解條件如下1. 初始條件 系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的變化是個(gè)歷史過(guò)程。某時(shí)刻(t=0或t=)的狀態(tài)對(duì)今后時(shí)刻(t>0或t>)的狀態(tài)是會(huì)有影響的，該時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)表式即為初始條件。到底怎樣

11、才算給出了初始條件，以自由弦的波動(dòng)方程為例來(lái)說(shuō)明。自由弦的波動(dòng)方程為，關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)為2。若僅給出，則僅能由方程得出任意x處的值，并不能得出x處的值，故下一時(shí)刻()的不知，推求進(jìn)程無(wú)法繼續(xù)。若同時(shí)給出，則下一時(shí)刻()x處的值可知，同時(shí)由方程可知的值，因此下一時(shí)刻()x處的的值也可知，再由已知的、同理可推出更下一時(shí)刻的的值，等等。這樣，任一時(shí)刻t>0之u值可求出。由此推廣可知，偏微分方程中關(guān)于t的最高騙到的最高階數(shù)為m,則出數(shù)條件應(yīng)為：給出之值。給定初始條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題。注意：初始條件需給出t=0時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)而非某一處的狀態(tài)值。 2. 邊界條件系統(tǒng)的狀態(tài)變化

12、除了本身的內(nèi)在因素，還要受到周圍環(huán)境的影響。這種影響在數(shù)理方程的求解問(wèn)題中就表現(xiàn)為邊界條件。邊界條件有多種，常見(jiàn)的有以下三類：第I類邊界條件：直接給出系統(tǒng)在邊界處的狀態(tài)值，如；第II類邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)值，如； 第III類邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)值的線性組合潪。如。到底采用何種邊界條件要由具體問(wèn)題決定。給出邊界條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。注意：邊界條件需要給出系統(tǒng)邊界處所有時(shí)刻之值而不是某時(shí)刻之值。同時(shí)給出初始條件和邊界條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱為混合問(wèn)題。3：銜接條件系統(tǒng)由若干個(gè)性質(zhì)或參數(shù)不同部分組成時(shí)，各部分交界處的物理量要滿足一定的數(shù)值關(guān)系，此即

13、銜接條件。如：固、液體界面處的壓強(qiáng)，不同材料連成的彈性桿，不同金屬連成的電阻，不同介電常數(shù)組成的系統(tǒng)，等等。1.2.3: 定解問(wèn)題的適定性如果一個(gè)定解問(wèn)題的解存在，唯一且穩(wěn)定(初始條件有微小變化時(shí)，相應(yīng)的解也只有微小的變化)，就稱該定解問(wèn)題是適定的。今后我們只討論適定的定解問(wèn)題，直接承認(rèn)其適定性而不作證明。1.3 三類數(shù)理方程常見(jiàn)的定解問(wèn)題1.3.1：波動(dòng)方程的定解問(wèn)題下面以一維方程為例來(lái)說(shuō)明。因方程中對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為2，故需要兩個(gè)初始條件：，。三類邊界條件如下： I 直接給出邊界處的振動(dòng)情況。II 給出邊界處的外力，相當(dāng)于給出邊界處的偏微商。 取微元(),已給出處的負(fù)荷外力為，則 又 ，

14、 故， 即。III 邊界處除外力，還有彈力，相當(dāng)于給出邊界處的函數(shù)值與其偏微商的線性組合值。 取微元(),已給出處的負(fù)荷外力和彈力，則用與上述II相同的方法，可得 移項(xiàng)后即有。注意：無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題不需要邊界條件； 半無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題需要一個(gè)(端)邊界條件； 有限長(zhǎng)弦問(wèn)題需要兩個(gè)(端)邊界條件。1.3.2: 熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題下面以三為方程為例來(lái)說(shuō)明因方程中對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為1，故需要一個(gè)初始條件：。 三類邊界條件如下：I 直接給出邊界面上的溫度值，其中為體積V的邊界。II 給出邊界面上的沿方向的熱流。相當(dāng)于給出邊界面上的偏微商。 在邊界面運(yùn)用法拉第熱傳導(dǎo)定律 即有。III 給出邊界面內(nèi)外熱交換，

15、面外溫度為，面內(nèi)溫度為，相當(dāng)于給出邊界面上的函數(shù)值與其偏微商的線性組合值。 在邊界面上運(yùn)用牛頓熱交換定律和傅立葉熱傳導(dǎo)定律，沿方向在dt內(nèi)流經(jīng)dS的凈熱量為，而熱量在界面上是不能積累的， 故有：， 即： 1.3.3：場(chǎng)位方程的定解問(wèn)題因方程中不含對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，故問(wèn)題無(wú)初始條件。三類邊界條件如下 I 直接給出邊界上的電勢(shì)值。II 由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系式(比較電容器中勻強(qiáng)電場(chǎng)情況)可知。若給出邊界面的場(chǎng)強(qiáng)分量值，則相當(dāng)于給出。III 在時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，熱傳導(dǎo)體系處于溫度穩(wěn)定分布，有。仿照前述，若體系外界溫度為，則有。1.4 波動(dòng)方程的行波解1.4.1: 一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程的通解及其處置問(wèn)題的達(dá)朗貝

16、爾公式一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程為，可化為，令-(i)，則-(ii)設(shè)想作變量變換以化簡(jiǎn)原方程。此時(shí)，有， ， -(iii)若能將(ii)化為，則易由積分求出，若再能將(i)化為=，則u也可由積分求出。先看(ii)：比較(iii)，若取且-(iv)則(ii)為=0-(a)，再看(i)：比較(iii)，若取且-(v)則(i)為-(b)，由(i)、(ii)、(a)、(b)知原方程化為，按照例1.2.2，對(duì)其積分兩次可得：-(c) 、均為可微函數(shù)。接著再確定的具體形式，由(iv)得， 把(vi)代入(v)得，解得：，代入(vi)有，反解出：， 不妨取 ， 即得：，-(d)式(d)代入式(c)，得到原方程最

17、終解為：，其中f，g均為任意可微函數(shù)。顯然，這是原波動(dòng)方程的通解。現(xiàn)討論其物理意義：如圖，以a=1為例，表明為左行波；，表明為右行波。故無(wú)限長(zhǎng)弦自由橫振動(dòng)的通解為左、右行波解。要具體確定f，g的形式需用初值條件。例1.4.1 無(wú)限長(zhǎng)弦自由橫振動(dòng)的初值問(wèn)題解：由上面的討論知的通解是 ， 。將初始值代入得 ，即 此即達(dá)朗貝爾公式。 達(dá)朗貝爾解的物理意義：反映出初始擾動(dòng)在體系中的傳播過(guò)程。(i)初始位移的擾動(dòng) , 僅由x+at，x-at兩處的值決定。(ii)初始速度的擾動(dòng)，由2x+at，x-at區(qū)間內(nèi)所有初速值共同決定，是一種積累效應(yīng)。令，則 分別為左、右傳播的位移行波，而即為兩者的反相疊加。依賴區(qū)

18、間，確定區(qū)域及影響區(qū)域1.4.2：半直線上的問(wèn)題延拓法例1.4.3 一端固定半無(wú)界弦的自由振動(dòng)因?yàn)橛羞吔?端點(diǎn))，故除了初始條件外，還有邊界條件，為混合問(wèn)題。解：因，僅在時(shí)有定義，時(shí)無(wú)意義。故不能直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式?？赏ㄟ^(guò)補(bǔ)充定義范圍中的初始條件而將，延拓至，再利用達(dá)朗貝爾公式。自然延拓后的初始條件在時(shí)有。延拓后按達(dá)朗貝爾公式有 因獨(dú)立，故。又由任意，故，均為奇函數(shù)。即。此時(shí)邊界條件與初始條件均能滿足，有 =。下面討論此解的物理意義(為方便起見(jiàn)令) 當(dāng)時(shí)， ， t時(shí)刻x處的位移由初位移的左行波與右行波決定。 由圖可知的左行波總能影響x點(diǎn)，的左行波在時(shí)對(duì)x點(diǎn)影響。當(dāng)時(shí)，, 仍是形成的左行波，而是由形成的右行波，t時(shí)刻x處的位移由該兩波決定。 下圖示意上述結(jié)論：到底是何右行波？因是先經(jīng)y軸反射為，再經(jīng)x軸反射而成，故是 的反相反射右行波，如下圖：由此有結(jié)論：該問(wèn)題中弦的波動(dòng)在時(shí)由初始擾動(dòng)形成的左、右行波決定；在時(shí)由初始擾動(dòng)形成的左行波及其經(jīng)端點(diǎn)反射形成的反相反射右行波決定。可見(jiàn)該問(wèn)題中端點(diǎn)的作用：形成于入射波反相的反射波。假想一無(wú)限長(zhǎng)弦，處并不固定，但初始位移為而非，如下圖由圖可知任一時(shí)刻t在處形成的左、右行波、互相抵消，處；而假想系統(tǒng)中部分是完全等同于實(shí)際研究的半無(wú)界系統(tǒng)，故假想系統(tǒng)解的部分即為所求解。同時(shí)也可見(jiàn)為的反相反射波。1.4.3: 中心對(duì)稱