高中數(shù)學第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念3.1.2復數(shù)的幾何意義教學案新人教A版選修2

1、31.2復數(shù)的幾何意義預習課本P104 105，思考并完成下列問題(1) 復平面是如何定義的，復數(shù)的模如何求出？(2) 復數(shù)與 復平面內(nèi)的點及向量的關(guān)系如何？復數(shù)的模是實數(shù)還是復數(shù)？ 新知初探 1復平面2復數(shù)的幾何意義(1) 復數(shù)zi(一一對應(yīng)復平面內(nèi)的點( ，)， R) ababZ a b(2) 復數(shù)i(， R)一一對應(yīng) 平面向量OZ .z aba b3復數(shù)的模(1) 定義：向量 OZ的模 r 叫做復數(shù) z abi( a， bR) 的模(2) 記法：復數(shù) z a bi 的模記為 | z| 或| a bi| .(3) 公式： | z| | abi| r a2 b2( r 0，r R) 點睛 實

2、軸、虛軸上的點與復數(shù)的對應(yīng)關(guān)系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為 (0,0)，它所確定的復數(shù)是z 0 0i 0，表示的是實數(shù) 小試身手 1 / 91判斷 ( 正確的打“”，錯誤的打“×”)(1) 在復平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上()(2) 在復平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復數(shù)都是純虛數(shù)()(3) 復數(shù)的模一定是正實數(shù)()答案： (1) (2) ×(3) ×2已知復數(shù)zi ，復平面內(nèi)對應(yīng)點Z 的坐標為 ()A (0,1)B (1,0)C (0,0)D (1,1)答案： A3向量 a (1 ， 2) 所對應(yīng)的復數(shù)是()B

3、 z1 2iA z1 2iD z 2 iC z 1 2i答案： B4已知復數(shù)z 的實部為 1，虛部為 2，則 | z| _.答案：5復數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系典例求實數(shù) a 分別取何值時，復數(shù)za2 a 62aR)對應(yīng)的點 ( a 2a 15)i(a 3Z 滿足下列條件：(1) 在復平面的第二象限內(nèi)(2) 在復平面內(nèi)的 x 軸上方 解 (1) 點 Z 在復平面的第二象限內(nèi)，a2a 6 0，則a 3a2 2a 15 0，解得 a 3.(2) 點 Z 在 x 軸上方，a2 2a 15 0，則a30，即 ( a3)( a 5) 0，解得 a 5 或 a 3.2 / 9 一題多變 1 變設(shè)問 本例中題設(shè)條件不

4、變，求復數(shù)z 表示的點在x 軸上時，實數(shù)a 的值解：點 Z 在 x 軸上，所以 a2 2a 15 0 且 a30，所以 a 5.故 a5 時，點 Z 在 x 軸上2 變設(shè)問 本例中條件不變，如果點Z 在直線 x y 7 0 上，求實數(shù)a 的值解：因為點Z 在直線 xy 7 0 上，a2 a 62所以a 2a 15 7 0，即 a3 2a2 15a 30 0，所以 ( 2)(a2 15) 0，故a2或a± 15.a所以 a 2 或 a±15時，點 Z 在直線 x y 70 上利用復數(shù)與點的對應(yīng)解題的步驟(1) 找對應(yīng)關(guān)系：復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z a bi( a， bR)可以

5、用復平面內(nèi)的點Z( a， b) 來表示，是解決此類問題的根據(jù)(2) 列出方程：此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程( 組 ) 或不等式(組)求解復數(shù)的模典例(1) 若復數(shù) z 對應(yīng)的點在直線 y 2x 上，且 | z| 5，則復數(shù) z ()A 12iB 1 2iC± 1±2iD 1 2i或 1 2i(2) 設(shè)復數(shù) z a2i ， z 2 i ，且 | z | | z| ，則實數(shù) a 的取值范圍是 ()1212A ( ， 1) (1 ， )B ( 1,1)C (1 ， )D (0 ， )解析(1) 依題意可設(shè)復數(shù)z a 2ai( aR)，由 | z| 5得a

6、2 4a25，解得 a± 1，故 z 1 2i 或 z 1 2i.(2) 因為 | z | a2 4，| z| 415，12所以 a2 45，即 a2 4 5，所以 a2 1，即 1 a 1.答案(1)D(2)B3 / 9復數(shù)模的計算(1) 計算復數(shù)的模時，應(yīng)先確定復數(shù)的實部和虛部，再利用模長公式計算雖然兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小(2) 設(shè)出復數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解 活學活用 1如果復數(shù)z 1 ai 滿足條件 | z| 2，那么實數(shù)a 的取值范圍是 ()A( 22，22) B ( 2,2)C ( 1,1)D( 3， 3)解析：選 D因為 | z

7、| 2，所以1 a2 2，則 1 a24， a2 3，解得3 a 3.2求復數(shù) z1的模，并比較它們的模的大小1 68i 與 z2 2i21解： z1 6 8i ，z2 22i，|z | 6282 10，1| z2| 13 2( 2)2 .223 10>2，|z1|>| z2|.復數(shù)與復平面內(nèi)向量的關(guān)系典例 5 4i ，向量5 4i，則向量 OZ1 對應(yīng)的復數(shù)是OZ2 對應(yīng)的復數(shù)是 )OZ1 + OZ2 對應(yīng)的復數(shù)是 (A 10 8iB 10 8iC 0D 10 8i解析因為向量對應(yīng)的復數(shù)是54i，所OZ15 4i ，向量 OZ2 對應(yīng)的復數(shù)是以 5, 4), (5 ， 4) (

8、5,4) (0,0)，所OZ1 (OZ2 (5, 4) ，所以 OZ2以O(shè)Z1 + OZ2 對應(yīng)的復數(shù)是0.答案C(1) 以原點為起點的向量表示的復數(shù)等于它的終點對應(yīng)的復數(shù)；向量平移后，此向量表示的復數(shù)不變，但平移前后起點、終點對應(yīng)的復數(shù)要改變4 / 9(2) 復數(shù)的模從幾何意義上來講，表示復數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，類比向量的模，可以進一步引申 | z z1| 表示點Z 到點 Z1 之間的距離如| z i| 1 表示點Z 到點 (0,1) 之間的距離為1. 活學活用 在復平面內(nèi)畫出下列復數(shù)對應(yīng)的向量，并求出各復數(shù)的模13z1 1 i ； z2 2 2 i ； z3 2； z42 2i.解：在復

9、平面內(nèi)分別畫出點 Z (1 ， 1)，Z 132，2，12Z ( 2,0) ， Z (2,2) ， z ， z，則向量 OZ1， OZ2,OZ3 , OZ4 分別為復數(shù) z34123z4 對應(yīng)的向量，如圖所示各復數(shù)的模分別為： | z | 12 ( 1)2 2；1| z2| 132 2 2 21；| z3| ( 2)2 2； | z4| 22 22 22.層級一學業(yè)水平達標1與 x 軸同方向的單位向量e1 與 y 軸同方向的單位向量e2，它們對應(yīng)的復數(shù)分別是()A e1 對應(yīng)實數(shù)1，e2 對應(yīng)虛數(shù)iB e1 對應(yīng)虛數(shù)i ，e2 對應(yīng)虛數(shù)iC e1 對應(yīng)實數(shù)1， e2 對應(yīng)虛數(shù) iD e1 對應(yīng)

10、實數(shù)1 或 1， e2 對應(yīng)虛數(shù)i 或 i解析：選Ae1(1,0)，e2 (0,1)22當 3 m1 時，復數(shù)z (3 m2) ( m1)i在復平面上對應(yīng)的點位于()B第二象限A第一象限D(zhuǎn)第四象限C第三象限2解析：選D 3m 1， 3m 2 0， m 10， 點 (3 m 2， m 1) 在第四象限3已知 0 a 2，復數(shù) z ai(i是虛數(shù)單位 ) ，則 | z| 的取值范圍是 ()5 / 9B(1 ， 5)A(1， 3)D(1,5)C (1,3)解析：選 B| z| a2 1， 0 a 2， 1 a21 5，|z| (1 ， 5 ) 5 復數(shù) z 1 cos isin ( 2) 的模為 (

11、)A 2cosB 2cos22D 2sin 2C 2sin 2解析 ：選 B | z| (1 cos )2 sin2 22cos 4cos2 2|cos22|. 2 ， 2 2 ， cos 20，于是 | z| 2cos 2 .6復數(shù) 3 5i,1 i和 2 ai在復平面上對應(yīng)的點在同一條直線上，則實數(shù)a 的值為 _解析：由點 (3 ， 5)，(1 ， 1)，( 2，) 共線可知 5.aa答案： 57過原點和 3 i對應(yīng)點的直線的傾斜角是_解析： 3 i在復平面上的對應(yīng)點是 (3， 1) ， 1035tan 3 03 (0)， 6 .5答案：9設(shè) z 為純虛數(shù)，且| z 1| | 1 i| ，

12、求復數(shù)z.解： z 為純虛數(shù)，設(shè)z ai( aR且 a0) ，6 / 9又 | 1 i| 2，由 | z 1| | 1 i| ，得 a2 1 2，解得 a ±1， z ±i.10已知復數(shù) z m( m 1) 2mR) ( m 2m 3)i(1) 若z是實數(shù)，求的值；m(2) 若 z 是純虛數(shù)，求m的值；(3)若在復平面內(nèi)， z 所對應(yīng)的點在第四象限，求m的取值范圍解： (1) z為實數(shù)， 2 230，mm解得 m 3 或 m 1.(2) z 為純虛數(shù)，m(m 1) 0，解得 m 0.m2 2m30.(3) z 所對應(yīng)的點在第四象限，m(m 1) 0，解得 3 m 0.m2

13、2m 30.故 m的取值范圍為 ( 3,0)層級二應(yīng)試能力達標1已知復數(shù)z1 2 i(R)對應(yīng)的點在直線x 3 40 上，則復數(shù)z2 2i對aaya應(yīng)的點在 ()B第二象限A第一象限D(zhuǎn)第四象限C 第三象限解析：選 B復數(shù) z 2 ai 對應(yīng)的點為 (2 ， a) ，它在直線 x 3y 40 上，故213a 4 0，解得 a 2，于是復數(shù) z2 2 2i ，它對應(yīng)點的點在第二象限，故選B.2復數(shù) z ( a22a) ( a2a 2)i 對應(yīng)的點在虛軸上，則()B a2且 a1A a2或 a1D a 2 或 a 0C a 0解析：選 D z 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上， a2 2a 0，解得 a

14、2 或 a 0.3若 x，yR， i為虛數(shù)單位，且xy ( xy)i 3 i ，則復數(shù)xyi在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在 ()B第二象限A第一象限D(zhuǎn)第四象限C第三象限解析：選 A x y ( x y)ix y 3， 3 i ， x y 1，7 / 9x 1， 復數(shù) 12i解得所對應(yīng)的點在第一象限y 2，4在復平面內(nèi)，復數(shù)z1， z2 對應(yīng)點分別為A， B. 已知 A(1,2)，| AB| 25 ， | z2 | 41，則 z ()2B5 4iA 4 5i132C 3 4iD5 4i 或 i55(x 1)2 (y 2)2 20，解析：選D設(shè)z2 x yi( x ， yR) ，由條件得，x2y2 41.

15、1x5，x ，或5y 432y 5 .故選 D.5若復數(shù)z (29) ( 22 3)i是純虛數(shù)，其中R，則 |z| _.mmmm解析：由條件知m2 2m30， m 3， z12i， |z| 12.m2 9 0，答案： 126已知復數(shù) z x 2yi 的模是2 2，則點 ( x，y) 的軌跡方程是 _解析：由模的計算公式得(x 2)2 y2 22，(x2) 2 y2 8.答案： ( x2) 2 y2 87已知復數(shù)z0i(，R)，( 3) (b2)i ，若 |0 | 2，求復數(shù)z對應(yīng)aba bzaz點的軌跡解：設(shè) z x yi(x， yR) ，則復數(shù) z 的對應(yīng)點為 P( x， y) ，由題意知x a 3，y b 2，a x 3，b y 2.z0 a bi ，| z0| 2， a2 b2 4.將 代入得 (3) 2( 2) 24.xy點 P的軌跡是以 (3 ， 2) 為圓心， 2為半徑的圓8 / 9138已知復數(shù)z13 i ， z2 2 2 i.(1) 求 | z1| 及 | z2| 并比較大??；(2) 設(shè) zC，滿足條件 | z2| |z| |z1| 的點 Z 的軌跡是