(2)(教師版)考點(diǎn)專題二--平面向量和復(fù)數(shù)

1、考點(diǎn)專題二平面向量與復(fù)數(shù)（ 2）【考情分析】從近四年高考試卷分析來看，本專題知識(shí)理科每年考查1 2 題，所占分值比例約為4.8% ，難易度以容易題、中等題為主，文科每年考查1 2 題，所占分值比例約為 4.5%，難易度以容易題為主，此知識(shí)是高考中的必考內(nèi)容.此知識(shí)在近四年常以填空題、 選擇題、 解答題的形式在高考題中出現(xiàn)，主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)平面等相關(guān)知識(shí).復(fù)數(shù)在高考試卷中的考查形式比較單一.【知識(shí)梳理】重難點(diǎn) 1.復(fù)數(shù)的相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1 a bi (a, bR), z2cdi (c, d R) ，當(dāng)且僅當(dāng)ac 且bd 時(shí)， z1 z2 . 特別地，當(dāng)且僅當(dāng)a b0 時(shí)， abi 0.

2、2.復(fù)數(shù)的模： 復(fù)數(shù) z1a bi (a, bR) 的模記作 z 或 abi ，有 za bia 2b 2 .3.共軛復(fù)數(shù)： 當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)記作z, z 、 z 互為共軛復(fù)數(shù) .如果 zabi , zabi (a, bR) ，則有 zR 的充要條件是zz; z是純虛數(shù)的充要條件是 zz 且 z0.4.復(fù)平面在平面直角坐標(biāo)系中，可以用點(diǎn) Z ( a, b) 表示復(fù)數(shù) z1abi (a, bR) ，建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，在復(fù)平面上， 稱 x 、 y 軸分別為實(shí)軸和虛軸，并且復(fù)數(shù)集C 和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合

3、建立一一對應(yīng)關(guān)系.5.實(shí)系數(shù)一元二次方程實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中恒有解，當(dāng)判別式b 24ac0時(shí)，實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2bxc0( a, b, cR 且 a0) 在 復(fù) 數(shù) 集 中 有 一 對 互 相 共 軛 的 虛 數(shù) 根b4acb 2xi.2a2a易錯(cuò)點(diǎn) 1 / 61.在進(jìn)行復(fù)數(shù)計(jì)算時(shí)，要靈活利用i 和13(i) 的性質(zhì)，會(huì)適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件，22從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于i 和的計(jì)算問題，并注意以下結(jié)論的靈活運(yùn)用： (1 i ) 22i ； 1ii ,1ii ； i 4n1,i 4n 1i , i 4 n 21,i 4n 3i (n Z ) ；1i1i213 i1，31,120.222.在進(jìn)

4、行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)集的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論，當(dāng) zC 時(shí)不總是成立的：zmnzmnm n 為分?jǐn)?shù)）；mn；()(,zzm n(z1)220z1z20 ， z2z2 .z1z2【基礎(chǔ)練習(xí)】1.若復(fù)數(shù) (1bi )(3i ) 是純虛數(shù)（ i 是虛數(shù)單位， b 為實(shí)數(shù)），則 b_ .2.設(shè) z( 2i) 2 (i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 的模為 _.【答案】 5（ 2013 江蘇）3.已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù) z12i （ i 為虛數(shù)單位），則 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于 （）A 第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【解析】 z 的共軛復(fù)數(shù) z 12i ，則 z1

5、2i，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2) ，故答案為 D （ 2013福建理）4.已知集合 M1,2, zi ,i 為虛數(shù)單位，N3,4， MN4，則復(fù)數(shù) z（）A.2iB.2iC.4iD.4i解析：因?yàn)?M1,2, zi ， N3,4 ，由 MN4 ，得4M ，所以 zi4 ，所以z4i.答案： C【命題立意】知識(shí)：集合的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算.試題難度：較小 .（ 2013江西理）5.若向量，滿足 | | ，則與所成角的大小為 _【答案】 90°（ 2001 上春）6.已知 zC ，且 z2 2i1,i 為虛數(shù)單位，則z2 2i的最小值是 (B)（A） 2.（B） 3.（C）4.（D） 5 .（

6、 2009 上春）7.“2a2 ”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2ax10 有虛根”的（）（ A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（ C）充要條件（D ）既不充分也不必要條件2 / 6解： 由實(shí)系數(shù)一元二次方程x2ax 10有虛根 ,可得a240 ,即可得 a(2,2),(2,2)2,2,“2a 2 ”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2ax10 有虛根”的必要不充分條件,故應(yīng)選 A（ 2009 上文）8. 設(shè) z1 、 z2 是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）【答案】 D（ 2013 陜西理）A. 若 z1z20 ，則 z1z2B. 若 z1z2 ，則 z1z2C. 若 z1z2 ，則 z1 z1z2z2

7、D .若 z1z2 ，則 z12z22【 解 析 】 設(shè) z1abi , z2cdi, 若 | z1z2 |0， 則 | z1z2 |(ac) (bd )i，ac, bd ，所以 z1z2，故 A 項(xiàng)正確；若 z1z2，則 ac,bd ，所以 z1z2 ，故B 項(xiàng)正確；若 | z1 | z2|，則a2b2c2d 2，所以 z1 .z1z2.z2 ，故 C 項(xiàng)正確；當(dāng) | z1| | z2 |時(shí)，可取 z11, z2i ，顯然 z121, z221，即 z12z22，假命題 .【例題精講】例 1.已知復(fù)數(shù) z1 滿足 (z12)(1i ) 1i （ i 為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù) z2的虛部為 2 ，

8、z1 z2是實(shí)數(shù)，求 z2 .（ 2011 上）解： (z12)(1 i ) 1 iz12 i設(shè) z2a2i, aR ，則 z1z2(2i )(a2i )(2a2)(4a)i ， z1z2R ， z24 2i例 2.已知 z 是復(fù)數(shù)， z2 i 、 zi均為實(shí)數(shù)（ i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù) ( za i )2 在復(fù)平面上2對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .（ 2005 上春）設(shè) zxyi (x、yR) ，z2ix( y2)i ，由題意得y2 .2zx2i1 (x2i)( 2i)i2i51 (2x2)1 ( x4) i55由題意得x4 . z 42i . ( zai) 2(124aa 2

9、 )8( a2)i ，根據(jù)條件，可知124aa 20，解得2a6 ， 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (2, 6).8(a2)03 / 6例 3.已知復(fù)數(shù) za bi （ a 、 bR）( i 是虛數(shù)單位 ) 是方程 x24x 50的根復(fù)數(shù) wu 3i （ uR ）滿足 w z25 ，求 u 的取值范圍 （2009 上文）解：原方程的根為x1, 22i,a,bR,z2 i ,| w z | | (u 3i ) (2 i ) |(u 2) 242 5,2 u6例 4.對于復(fù)數(shù) a,b, c, d ，若集合 S a, b, c, d 具有性質(zhì)“對任意 x ，yS ，必有 xyS ”，a1,則當(dāng)b21 時(shí)，

10、 b cd 等于（ ）（2010 福建理）c2bA.1B.-1C.0D.i解法 1：由 b21，得 b1或 b1. 又a1,由集合中元素的互異性知b1. 由2，即21 ，得 ci 或 ci（ ）當(dāng)時(shí)，S1,1,i , d，cbc.a1, b1, ci1因?yàn)榧蟂 具有性質(zhì)“對任意x 、 yS ，必有 xyS ”，所以 aciS,bciS ，故 di ，bc d1（）當(dāng) a1,b1,ci時(shí)，S1,1, i , d，因?yàn)榧?2合 S 具有性質(zhì) “對任意 x 、 yS ，必有 xyS ”，所以 aciS, bciS ，故 di ，bcd1.a1,a1a1a1a1解法 2：b21 ，b1 或 b1或b

11、1或 b1 ，又因?yàn)榧现械脑鼐哂衏2bc 1c1c icia1a1互異性， 且對任意 x ， yS，必有 xyS ，所以b1b1，所以 bcd1 c或ciididi點(diǎn)評：（ 1）本題涉及復(fù)數(shù)與集合等知識(shí)點(diǎn)， 考查閱讀與理解、 信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力 , 考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于創(chuàng)新題型（ 2）解法 1 步步為營，借助“分類討論”求出不同情況下的c、 d的不同取值，進(jìn)而求出 bcd ；解法 2 直接解方程，然后驗(yàn)證條件，排除不滿足的條件；顯然解法1 優(yōu)于解法 2（ 3）主要考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、創(chuàng)新意識(shí)；考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化

12、思想4 / 6（ 4）與前三年的復(fù)數(shù)、 集合題型有很大的不同， 往年較少出現(xiàn)復(fù)數(shù)與集合的交匯題型，在題目的設(shè)計(jì)上更顯新意， 雖然題型新穎， 但是萬變不離其宗， 所以在復(fù)習(xí)中一定要掌握好基本知識(shí)（ 5）隨著高中新課程標(biāo)準(zhǔn)、新教材的使用，高考對考生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的要求逐步提高“出活題，考能力”就是要求學(xué)生能綜合靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，思想方法，對新概念、新知識(shí)、 新信息、 新情景、 新問題進(jìn)行分析， 探索、創(chuàng)造性地解決問題 所以“新定義問題”將是高考創(chuàng)新題中一種命題趨勢【能力強(qiáng)化】1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2i ) 2 對應(yīng)的點(diǎn)位于 ()（ 2013北京理）【答案】 DA. 第一象限B. 第二象限C

13、.第三象限D(zhuǎn). 第四象限2.若復(fù)數(shù) z 滿足 (34i ) z43i ，則 z 的虛部為（）（ 2013 全國新課標(biāo) I 理）A .4B .4C . 445D .5【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，是容易題.【解析】由題知z| 4 3i |4232 (3 4i ) 3 44，故選 D.=4i=4i )(3 4i )=5i ，故 z 的虛部為3(3553.z2 mi, mR，若 1z 對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則m 的取值范圍為 _.1i4.在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3i 、 2i 、0，則第四個(gè)頂1i點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 _.5.已知 z 為復(fù)數(shù)，則 zz2 的一

14、個(gè)充要條件是z 滿足. （2003 上春）【答案】6.設(shè)集合 My y cos2 xsin2x , x R ， Nx x12,i為虛數(shù)單位，xR , 則iMN 為 _. 【答案】0,1 （ 2011 陜西理）7.（ 2013 福建理第5 題）滿足 a, b1,0,1,2，且關(guān)于 x 的方程 ax22xb0 有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對 (a, b)的個(gè)數(shù)為（）A14B13C 12D 10【答案】 B【解析】方程 ax 22xb0有實(shí)數(shù)解，分析討論當(dāng) a0 時(shí)，很顯然為垂直于x 軸的直線方程，有解此時(shí)b 可以取4 個(gè)值故有 4 種有序數(shù)對當(dāng) a0 時(shí)，需要44ab 0 ，即 ab 1顯然有3 個(gè)實(shí)數(shù)對不滿

15、足題意， 分別為（ 1,2），5 / 6（2,1 ），（2,2） 滿足題意的 (a,b)的取值為(1,0),( 1,1),( 1,1), ( 1,2),(1,1), (1,0), (1, 1),(2,1) ，（2,0），共 9 個(gè) .8.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程2( zz)i3iz2(i 為虛數(shù)單位 )（ 2005 上）i解：原方程化簡為z 2( zz)i1i ,設(shè) z=x+yi(x 、 y R),代入上述方程得x2+y 2+2xi=1-i, x2+y 2=1 且 2x=-1, 解得 x=- 1 且 y=± 3 ,2213i.原方程的解是 z=-±229. 已知實(shí)數(shù) p 滿足不等式2x10 ，試判斷方程 z22z 5 p 20x 2有無實(shí)根，并給出證明 .（2004 上春）2 x 10 ，解得2x1，2p122z5p20的判別式4( p24).解：由 x 222 . 方程 z2p11p24，0，由此得方程z22z5p20無實(shí)根 .2 ，410.已知關(guān)于x 的