幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型

1、v1.0可編輯可修改幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型號(hào)©炊1. 掌握三角形的內(nèi)角和定理；2. 了解三角形三邊的關(guān)系,并且能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3. 學(xué)習(xí)用三角形邊、角的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證實(shí)；4. 學(xué)習(xí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平.占知識(shí)結(jié)構(gòu)一.中點(diǎn)有關(guān)聯(lián)想歸類(lèi)：1. 等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn),常聯(lián)想“三線合一的性質(zhì)；2. 直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn),常聯(lián)想“斜邊上的中線,等于斜邊的一半；3. 三角形中遇到兩邊的中點(diǎn),常聯(lián)想“三角形的中位線定理；4. 兩條線段相等,為全等提供條件遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí),常聯(lián)想“八字型全等三角形；12中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改5. 有中點(diǎn)

2、時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6. 有中點(diǎn)時(shí),常會(huì)出現(xiàn)面積的一半中線平分三角形的面積；7倍長(zhǎng)中線.二與中點(diǎn)問(wèn)題有關(guān)的四大輔助線:1. 出現(xiàn)三角形的中線時(shí),可以延長(zhǎng)簡(jiǎn)稱“倍長(zhǎng)中線；2. 出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn),作斜邊中線；3. 出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn),作中位線；4. 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn),構(gòu)造“三線合一.三 .幾何證實(shí)之輔助線構(gòu)造技巧:23中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改1. 假設(shè)作一條輔助線,能起到什么作用；2. 常作那些輔助線能與條件聯(lián)系更緊密,且不破壞條件.模塊一、出現(xiàn)三角形的中線,可以延長(zhǎng)一、根底回憶1. 線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn),叫做這條線段的中點(diǎn).2. 假設(shè)

3、點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),那么：1 從線段來(lái)看：AC BC -AB ；2 從點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置來(lái)看：點(diǎn) C在點(diǎn)A、B之間,且點(diǎn)A B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱.3. 三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中線. 一個(gè)三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點(diǎn),每條中線被該點(diǎn)重心分成1:2的兩段; 三角形的三條中線把三角形分成六個(gè)面積相等的小三角形.33中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改二、如何延長(zhǎng)三角形的中線1. 延長(zhǎng)1倍的中線：如圖,線段 AD是 ABC的中線,延長(zhǎng)線段 AD至E ,使DE AD 即延長(zhǎng)1倍的中 線,再連接BE、CE .

4、 總的來(lái)說(shuō),就可以得到一個(gè)平行四邊形ABCD和兩對(duì)中央選轉(zhuǎn)型全等三角形ABD ECD、 ACDEBD,且每對(duì)全等三角形都關(guān)于點(diǎn) D中央對(duì)稱； 詳細(xì)地說(shuō),就是可以轉(zhuǎn)移角：BADCED ,CAD BED ,ABD ECD, ACD EBD, ADBECD, ADCEDB ；可以移邊：AB EC , AC EB ；可以構(gòu)造平行線：AB / EC , AC / EB ；可以構(gòu)造邊長(zhǎng)與 AB、AC、AD有關(guān)的三角形：ABE、 ACE.1 延k長(zhǎng)倍的中線：k 0且k 1如左右下列圖,點(diǎn) E為 ABC中線AD DA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),延長(zhǎng) AD至F,使ED FD,連接BE、CE、BF、CF .在平行四邊形 BFC

5、E中就可以得到類(lèi)似1中的 結(jié)論.注意：通常在條件或結(jié)論中測(cè)及到與BE、CE有關(guān)的邊與角時(shí),會(huì)用這種輔助線 .利用性質(zhì)解決問(wèn)題44中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改例1.如圖, ABC中,AB AC , AD是中線求證： DAC DAB .【證實(shí)】：延長(zhǎng) AD到點(diǎn)E使得AD DE ,聯(lián)結(jié)CE/ AD是ABC中線 BD CD在ADB和EDC中：AD DEADB EDC ; ADB 也 EDCBD CD ABCE, DABE又 ABAC CEAC DACE DACDAB?點(diǎn)評(píng)：1.比擬角度大小,常用兩個(gè)方法：一是利用三角形的角度關(guān)系,將其中一個(gè)角表示為另外一個(gè)角加上第三個(gè)角；二是利同一三角

6、形中大邊對(duì)大角進(jìn)行比擬大??；2. 倍長(zhǎng)中線是常用構(gòu)造輔助線方法,并再結(jié)合同一三角形中大邊對(duì)大角.例2.如圖,在 ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),且BE AC,延長(zhǎng)BE交 AC于F.求證：AF EF.55中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改67中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌【證實(shí)】：延長(zhǎng) ED到點(diǎn)H使得EDDH,聯(lián)結(jié)CH AD是ABC中線 BD CD在EDB和CDH中:DE DHEDB 也 CDHEDB CDH ；BD CD CHBE , BEDH又 BEAC CHACCADHAEFDEBHCADAEFCADAF EF例 3. ABC 中,AB 12, ACAD的范圍.【解答】

7、：延長(zhǎng) AD到點(diǎn)E使得AD30,求BC邊上的中線DE,聯(lián)結(jié)CEv1.0可編輯可修改/ AD是ABC中線 BD CD在ADB和EDC中：AD DEADB EDC ; ADB 也 EDCBD CD AB CE在 AEC中,由兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊,可得： AC AB AE AC AB 18 2AD 42 9 AD 21?點(diǎn)評(píng)：求線段的范圍,一般利用三角形中“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊.模塊二、斜邊中線與中位線、出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn),作斜邊中線1.如圖,在Rt ABC 中,ACB 90；,直角 ACB所對(duì)的邊AB稱為Rt ABC的斜邊,由ACBBCA,過(guò)點(diǎn)C作CD交A

8、B于點(diǎn)D,且 DACACD.i 11DACACD , ADCD.ACB90 ,BACABC 90,78中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改又 h ACD BCD 90；, iBCD ABC,BD CD ,BD CD AD ,2.發(fā)現(xiàn)線段CD為斜邊AB上的中線,且等于斜邊的一半.相等的角.屮內(nèi)3作斜邊中線,可以構(gòu)造出等腰三角形,從而得到相等的邊、88中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌4.通常在知道直角三角形斜邊的中點(diǎn)的情況下,想到作斜邊中線這條輔助線.、出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn),作中位線 1中位線：連接三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過(guò)三角形一邊的中 點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第

9、三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法,第一種可以直接用中位線的性質(zhì),第二種需要說(shuō)明理由為什么 是中位線,再用中位線的性質(zhì) 2中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半；3中位線輔助線能起到的作用： 在線段大小關(guān)系上,三角形的中位線是三角形第三邊的一半,起著傳遞線段長(zhǎng)度的功能 在位置上,三角形的中位線平行三角形的第三邊,起著角的位置轉(zhuǎn)移和計(jì)算角的的功能4.通常在以下兩種情況下,會(huì)作中位線輔助線：v1.0可編輯可修改 有兩個(gè)或兩個(gè)以上的中點(diǎn)時(shí)； 有一邊中點(diǎn),并且或求證中涉及到線段的倍分關(guān)系時(shí).熟悉以下兩個(gè)圖形：99中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌例4.如圖,在四邊形

10、ABCD中,AB CD,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),BA、CD的延長(zhǎng)線分別交 EF的延長(zhǎng)線G、H.求證：BGE CHE.E【證實(shí)】：證法一：如圖1：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,卅1那么 ME 是 BCD 的中位線, ME CD , /. MEF CHE21由 MF 是 ABD 的中位線, MF AB ,/. MFE BGE,2/ AB CD , ME MF , MEF MFE ,從而B(niǎo)GECHE.證法二：如圖2,延長(zhǎng)GE到K ,使EKEH,連結(jié)BK略.或者延長(zhǎng)GE到K,使EK GE,連結(jié)CK也行.其余方法略G中, AB例5.：如圖,圖1DE交BC于點(diǎn) F,假設(shè)F是E圖2E

11、 ,連結(jié)kv1.0可編輯可修改【分析】：要證的BD , CE不在同一個(gè)三角形中,而它們所在的三角形又不是同類(lèi)三角形,E無(wú)法證實(shí)它們?nèi)?由于 F是DE的中點(diǎn),想到利用中點(diǎn)構(gòu)造中央對(duì)稱圖形或中位線來(lái)移動(dòng)BD或CE的位置,把它們集中到同一個(gè)三角形中或把不同類(lèi)三角形轉(zhuǎn)化為同類(lèi)三角形,使問(wèn) 題得以解決.【證實(shí)】：方法一：如圖2,過(guò)D作DM / CE交BC于M,易證 DMF也 ECF ,再證BD DM .方法二：如圖3,過(guò)E作EG/ AB交BC的延長(zhǎng)線于 G.易證 BDF望 GEF ,再證：EC EG.方法三：如圖4,在AC上取點(diǎn)H,使CH CE,連結(jié)DH.那么CF為 EDH的中位線.再證：BD CH

12、.方法四：如圖5,在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N,使BN BD,連結(jié)NE.貝U FB為DNE的 中位線.再證BN CE.方法五：如圖6,連結(jié)BE,取BE的中點(diǎn)K,取BC的中點(diǎn)M ,連結(jié)MK、KF.貝U MK、KF分別為中位線.再證 KM KF,得BD CE.方法六：如圖7,連結(jié)CD,取CD的中點(diǎn)H,取BC的中點(diǎn)1,連結(jié)HI、HF.那么HI、HF分別為中位線.再證HI HF ,得BD CE.1011中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改例6.如圖,ABC中,D是BC邊的中點(diǎn),E是AD邊的中點(diǎn),連結(jié) BE并延長(zhǎng)交 AC于點(diǎn)F.求證：FC 2AF .1212中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌【證實(shí)】：如圖1,過(guò)

13、點(diǎn)D做DG / BF,交AC于G/ D是BC邊的中點(diǎn),DG / BF例7.如圖1-1,Rt ABC中,ABAC,在 Rt ADE 中,ADDE,連結(jié)EC,取 FGGC.同理,AFFG 2AF2FGFGGCFC即FC2AFEC中點(diǎn)M,連結(jié)DM和BM ,( 1)假設(shè)點(diǎn)D在邊AC上,點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合,如圖1-1,求證：BM DM且BM DM ; (2)將圖1-1中的 ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針 轉(zhuǎn)小于45；的角,如圖1-2,那么(1)中的結(jié)論是否仍成立如果不成立,請(qǐng)舉出反例；如果成 立,請(qǐng)給予證實(shí).【分析】：圖1-1中由于點(diǎn)M為直角三角形斜邊 EC的中點(diǎn),顯然要利用斜邊中線的性質(zhì)求解.圖1-2中

14、盡管ADE繞點(diǎn)A進(jìn)行了旋轉(zhuǎn),但M為EC的中點(diǎn)的條件依然未變,于是仍然圖1-1圖1-2可以利用中點(diǎn)復(fù)原出中央對(duì)稱根本圖形,使問(wèn)題得解；另一方面,由于旋轉(zhuǎn)之后直角仍然存在,于是仍可以利用斜邊中線及中位線來(lái)解決.【證實(shí)】BEC的中點(diǎn),DM】EC2BM32,612322 ,4562 5142(25)90； BM DM 且 BM DM(2)成立.方法一：如圖3:延長(zhǎng)DM至F,使MFDM,連結(jié)CF , BF,延長(zhǎng)ED交AC于N易證：EMD也CMFDEM FCM EN/ FC2 ACB 545：5290：190； ( BAC )45：v1.0可編輯可修改 AB BC, AD DE CF BAD BCF BD

15、 BF , ABD CBF DBF ABC 90： BD BF BDF為等腰直角三角形/ MF DM BM DM 且 BM DM方法二：如圖4,取AC的中點(diǎn)F,取AE的中點(diǎn)G,連結(jié)MF , BF , MG , DG MF , MG為中位線1 , 1- MF 1 AE, MG 1 AC2 21 DG為斜邊中線 DG AE21 DG MF.同理,GM AC - BF2 MF I AG四邊形AFMG為平行四邊形 1234,14 90：23 DGM 也 MFB BM DM , GMD MBF GMD BMG MBF BMG 90： BM DM 且 BM DM1313中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編

16、輯可修改1.如圖1,在ABC 中,ABAC5,BC 6,點(diǎn)M為BC中點(diǎn),MN AC于點(diǎn)N ,那么MN等于A. 65162.如圖,ABC 中,A=90：,F分別為AB、AC上的點(diǎn),且4,試求EF的長(zhǎng).DE DF,假設(shè)BE3,CF1515中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌3.如圖,在 ABC中,AB>AC , E為BC邊的中點(diǎn),AD為 BAC的平分線,過(guò) E作AD的平行線,交 AB于F,交CA的延長(zhǎng)線于G.求證：BF CG4.如下圖, D為BC中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且AB CE,求證：12.5.如圖, ABC中,D是BC邊的中點(diǎn),BE AC于點(diǎn)E,假設(shè) DAC 30：,求證:AB DE .6.如圖,正方

17、形 ABCD中,點(diǎn)E、F分別是BC、AB的中點(diǎn).求證： AG ADv1.0可編輯可修改7.如圖,正方形 CGEF的邊CG與正方形ABCD的邊BC在同一直線上CG>BC ,連 結(jié)AE ,取線段AE的中點(diǎn)M.探究：線段 MD、MF的關(guān)系,并加以證實(shí).練習(xí)題目答案1. C2. 【分析】：如下列圖,可以把 ED看作 EBC的一條中線.延長(zhǎng) ED至點(diǎn)G,使DG ED ,連接 CG、FG.那么 CDG BDE ;所以 CG BE 3,2 B.由于 B 1=90,所以 12= FCG=90：由于DF垂直平分EG,所以FG EF在Rt FCG中,由勾股定理得 FG 、；CG2 CF2 .32 42 5,

18、所以EF 5.AC3.【分析】：如下列圖,可以把 FE看作 FBC的一條中線；延長(zhǎng) FE至點(diǎn)H,使EH FE , 連接CH.貝V CEH也 BEF,所以 CH BF , H 1.由于 EG/ AD,所以 12 ,3 G ;又由于 23,所以1 G,所以 H G由此得CH CG.所以BF CG4.【提示】：證法一：如圖1,延長(zhǎng)ED到F ,使DF AD,連結(jié)CF易證 ABD FCD. 二 AB CF ,1 F AB CE,. CE CF F 21 2證法二：如圖2,取AC的中點(diǎn)G,取AE的中點(diǎn)H,連結(jié)DG、GH ;利用中位線來(lái) 證實(shí).其余方法略1717中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌v1.0可編輯可修改圖1ED圖25. 【提示】：川1證法一：如圖1,取CE的中點(diǎn)G ,連結(jié)DG,所以,DG為中位線,得 DG - BE,由2BEAC得 AGD90：,在 ADG 中,DAC30：,得DG - AD ,于2是 AD BE證法一二：如圖2,取BE的中點(diǎn)M ,連結(jié)DM ,類(lèi)似法一-可證ADBE.其余方法略1919中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌6. 【