勾股定理綜合性難題習(xí)題

1、勾股定理復(fù)習(xí)1直角三角形的面積為 S,斜邊上的中線長為d,那么這個三角形周長為Ad2 S 2dBd2 _S _dC2 d2 S 2dD2 d2 S d2. 如圖,A、B兩個村子在河 CD的同側(cè),A、B兩村到河的距離分別為 AC=1km BD=3km CD=3km現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水,鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米,請你在CD選擇水廠位置 Q1 I使鋪設(shè)水管的費用最省,并求出鋪設(shè)水管的總費用F./TI2 2 23. ABC 中,BC=a, AC=b , AB=c,假設(shè)/ c=90° ,如圖1,根據(jù)勾股定理,那么 a +b =c,假設(shè) ABCI才,|_|

2、9;f 7i2 2 2不是直角三角形,如圖2和圖3,請你類比勾股定理,試猜測 a +b與c的關(guān)系,并證實你的結(jié)論. I I二1111,11,14 .如圖,A市氣象站測得臺風中央在 A市正東方向300千米的B處,以10 7千米/時的速度向北偏西 60°的BF方向移動,距臺風中央 200?千米范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域.1 A市是否會受到臺風的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明；2如果A市受這次臺風影響,那么受臺風影響的時間有多長？課堂練習(xí)： Kj1、將一根24cm的筷子,置于底面直徑為 15cm,高8cm的圓柱形水杯中,如下圖,設(shè)筷子露在杯子外面i*1 'i 、£ '

3、心-的長度為hem,那么h的取值范圍是."I IA. h< 17cm B. h>8cmC. 15cm<h< 16cmD. 7cm< h< 16cm2如圖,：_于P.求證:卩一蟲.B3 ：如圖,/ B=Z D=90°,Z A=60°, AB=4, CD=2 求：四邊形 ABCD勺面積4 一輛裝滿貨物的卡車,其外形高2.5米,寬1.6米,要開進廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通h I過該工廠的廠門？【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過,只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示,點D在離廠門中線0.8米處,且CDLA

4、B,與地面交于 H.“弋 w '解：OC= 1米大門寬度一半,OD= 0.8米 卡車寬度一半'_I I在Rt OCD中,由勾股定理得：CD=一T=0 . 6米,CH=0 . 6 + 2 . 3 = 2 . 9米2. 5米.因此高度上有0.4米的余量,所以卡車能通過廠門.5、如圖,公路 MN和公路PQ在點P處交匯,且/ QPN= 30°,點A處有一所中學(xué),AF= 160m假設(shè)拖拉機行駛時,周圍100 m以內(nèi)會受到噪音的影響,那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時,學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由,如果受影響,拖拉機的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒?思

5、路點撥：(1)要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A,實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于 100m,小于100m那么受影響,大于100m那么不受影響,故作垂線段 AB并計算其長度.(2)要求出學(xué)校受影響的時間,實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校 A的影響所行駛的路程.因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校,行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校.護1,解析：作AB丄MN垂足為B.,- - Ii -了| !i * / / /111在 Rt A ABP中, vZ ABP= 90°,/ APB= 30°, AP 160,1'i . AB= 1 AP 80.(在直角三角形中,30.所對的直角邊等于斜邊的一

6、半)、'J f' I 匚二 L V點A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會受到噪聲的影響.如圖,假設(shè)拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響,那么 AC= 100(m),同理,拖拉機行駛到點 D處學(xué)校開始脫離影響,那么,AD= 100(m) , BD= 60(m), CD= 120(m).拖拉機行駛的速度為：18km/h = 5m/st = 120nr 5m/s = 24s.答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時,學(xué)校會受到噪聲影響,學(xué)校受影響的時間為24秒.6、如下圖, ABC是等腰直角三角形,AB=AC D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB AC邊上

7、的點,且DE丄DF,假設(shè)BE=12, CF=5.求線段EF的長BAD.思路點撥：現(xiàn) BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中,所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化,根據(jù)直角三角形的特征,三角形的中線有特殊的性質(zhì),不妨先連接解：連接AD.由于Z BAC=90 , AB=AC 又由于AD為厶ABC的中線, r 匚:-所以 AD=DC=DBAD丄 BC.且 Z BAD=/ C=45°.由于/ EDAZ ADF=90 .又由于Z CDF+Z ADF=90 .所以Z EDA* CDF所以 AEDA CFD (ASA).所以AE=FC=5同理:AF=BE=12在Rt AEF中,根據(jù)勾股定理得:r Al

8、 _二,所以 EF=13.總結(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識.通過此題,我們可以了解：當?shù)木€段和所求的線段不在同一三角形中時,應(yīng)通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解.7如圖,在等腰厶 ABC中,Z ACB=90 , D E為斜邊 AB上的點,且Z DCE=45.求證：dE=aD+bW.將邊轉(zhuǎn)移到一個三角形中, 并構(gòu)造直角三角形.點D落在點E處,那么重疊局部 AFC的面積是.分析：利用全等三角形的旋轉(zhuǎn)變換, 進行邊角的全等變換,8如圖,長方形ABCD中, AB=8, BC=4將長方形沿 AC折疊,設(shè) EF=x,那么 AF=CF=8-x AEA2+EFA2=AFA2,

9、所以x=3,4A2+xA2=(8-x)A2,解得S=4*8/2-3*4/2=10答案：109. 一只螞蟻在一塊長方形的一個頂點A處,一只蒼蠅在這個長方形上和蜘蛛相對的頂點C1處,如圖,長方形長6cm,寬5 cm,高3 cm.蜘蛛因急于捉到蒼蠅,沿著長方形的外表向上爬,它要從 A點爬到C1點,有很多路線,它們有長有短,蜘蛛究竟應(yīng)該沿著怎樣的路線爬上去,所走的距離最短？你能幫蜘蛛求出最短距離嗎？F i10. ABC的三邊a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13, ABC是否是直角三角形？你能說明理由嗎？# /J- I答案：是直角三角形.平方差公式的靈活運用bl? - 2ab2 2=17 -

10、2 60 =169=c.'I I I家庭作業(yè)：一、選擇題1.以下說法正確的有A.3B.4C.5D.6、填空題共4小題,每題4分,共16分.把答案填在題后的橫線上.5.如圖,學(xué)校有一塊長方形草坪,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑,在草坪內(nèi)走出了一條“路".他們僅僅少走了步路假設(shè)2步為1米,卻踩傷了青草6.如圖,圓柱形玻璃容器高 20cm底面圓的周長為48cm,在外側(cè)距下底1cm的點A處有蜘蛛,與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距上口1cm的點B處有一只蒼蠅,那么蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度為 .7. 如果三條線段的長度分別為 8cm xcm 18cm這三條線段恰好能組成一個直角三

11、角形,那么以x為邊長的正方形的面積為.8. ABC的三邊a、b、c滿足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|,那么 ABC的面積為.三、解做題共6小題,1、2題各10分,3-6題各12分,共68分.解容許寫岀文字說明,證實過程或演算步驟.9. 如圖是一塊地, AB=8m BC=6m / B=90°,AD=26rp CD=24m求這塊地的面積.10.如圖,將一根30 cm長的細木棒放入長、寬、高分別為8 cm、6 cm和24 cm的長方體無蓋盒子中,求細木棒露在盒外面的最短長度是多少?11.如圖,鐵路上 A、B兩點相距25km,C、D為兩村莊,DAL AB于A, CB丄A

12、B于B,假設(shè)DA=10km,CB=15km現(xiàn)要在AB上建一個周轉(zhuǎn)站 E,使得C、D兩村到E站的距離相等,那么在距A點多遠處?12.如圖,折疊矩形紙片ABCD先折岀折痕對角線AC,再折疊使AB邊與AC重合,得折痕AE假設(shè)AB=3, AD=4求BE的長.13.如圖,A B兩個小鎮(zhèn)在河流 CD的同側(cè),到河流的距離分別為 AC=10km BD=30krp且CD=30km現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠,向A、B兩鎮(zhèn)供水,鋪設(shè)水管的費用為每 km3萬元,請你在河流CD上選擇建水廠的位置 M使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省,并求岀總費用是多少？14. “交通治理條例規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時,如圖

13、,一輛小汽車在一條城市街路上直線行駛,某一時刻剛好行駛到車速檢測儀所在位置A處正前方30米的C處,過了 2秒后,測得小汽車所在位置 B處與車速檢測儀間距離為50米,這輛小汽車超速了嗎？、5.46.30cm7.260cm 或 388cm8.30三、9.解：連接AC.1分在厶ABC中,J AB=8m,BC=6m,B=90°,由勾股定理,AC2=A+B(c=82+62=100,AC=10.3 分, , 2 2 2 2 2在厶 ACD中, AC+CD=10 +24 =676,AD =676,2 2 2 AC+CD=AD. ACD是直角三角形.6分冷e寺込吐異0心4皿“州j答：求這塊地的面積是

14、 96nV 10分10.解：由勾股定理,82 + 62=102,3分2 2 210 +24=26 .6 分 30-26=4.8 分答：細木棒露在盒外面的最短長度是4cm.10分11.解：設(shè)E點建在距A點xkm處1分如圖,那么 AE長xkm, BE長(25-x)km.2分/ DAI AB DAE是直角三角形由勾股定理,dE=aD+aE=102+x2.5分同理,在 Rt CBE中,cB+B匸=152+(25-x) 2.7 分、. 2 2 2 2依題意,10 +x =15 +(25-x),9分解得,x=15. 11分答：E應(yīng)建在距A15km處.12分12. 解：在AC上截取 AF=AB連接EF.1分

15、依題意,AB=AF,BE=EF/ B=Z AFE=90.3 分在 Rt ABC中,AB=3, BC=AD=4, AC=32+42=25,AC=5. CF=AC-AF=5-3=2.5 分設(shè)BE長為x,貝U EF=x,CE=4-x.7分2 2 2 2 2 2在 Rt CFE中,CE=EF+CF,即(4-x) =x +2 .9 分3解得,x= 2 11分答：BE的長為.12分13. 解：作點A關(guān)于CD的對稱點E,連接EB,交CD于M.那么AC=CE=1公里.2分過點A作AF丄BD,垂足為F.過點B作CD的平行線交EA延長線于G,得矩形CDBG-.4分那么 CG=BD=3公里,BG=CD=3公里,EG

16、=CG+CE=30+10=4S.7 分在 Rt BGE中,由勾股定理,BE=BG+EG=302+402,BE=50km,9 分 3X 50=150(萬元).11 分答：鋪設(shè)水管的總費用最少為 150萬元.12分14. 解：依題意,在 Rt ACB中,AC=30米,AB=50米,由勾股定理,BC=AB-AC2=502-30 2,BC=40米.3分小汽車由C到B的速度為40-2=20米/秒.5分/ 20米/秒=72千米/小時,8分72>70,10 分因此,這輛小汽車超速了 .12分附加題解：過點 P作MN/ AD交AB于點M,交CD于點N,貝U AM=DN BM=CN.2 分/ PMAh P

17、MB=90 , p-pMuaM, pB-pM=bM.4 分 pA-pb'uaM-bm2.5 分同理,pD-pc2=dN-c 7分 PAPB'pD-PC2.又 PA=1, PB=5, PC=7 8 分2 2 2 2 2 2 2 PD=PA-PB + PC=1 -5 + 7 , PD=5.10 分初二數(shù)學(xué)實數(shù)單元復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案目標認知I一*算術(shù)平方根、重難點聚焦：確教學(xué)重點：算術(shù)平方根和平方根的概念及其求法;教學(xué)難點：平方根和實數(shù)的概念.三、知識要點回憶：a定義|假設(shè)去那么xDlJ a的平方根表示,豆的平方棍寫作：土罷,其中血叫做算術(shù)平方根.h平方根r 一個正數(shù)有兩個平方ffi,0只肓

18、一個平方根,負 數(shù)沒有平方根.0 a=0I -a a<0 a (aO)C a a>0(松0<定義：假設(shè)那么xDU a的立肓根.I"Js I ".I I表示：a的立材艮寫作：換3、實數(shù)整數(shù).分數(shù).,有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)I無理數(shù),無限不循環(huán)小數(shù) ' *' = '-二(a> 0, b> 0)；4、實數(shù)的三個非負性：|a| >0, a2>0, E?0 (a>0)5、實數(shù)的運算：加減法：類比合并同類項；乘法:(a>0, b>0)6、算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系.區(qū)別：定義不同；個數(shù)不同；表示方法不

19、同；取值范圍不同聯(lián)系:具有包含關(guān)系；存在條件相同；0的算術(shù)平方根與平方根都是 0.提示1. 正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；零的平方根和算術(shù)平方根都是零；負數(shù)沒有平方根.2. 實數(shù)都有立方根,且一個數(shù)的立方根只有一個,它的符號與被開方數(shù)的符號相同.3. 所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù),無限循環(huán)小數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).4.無理數(shù)分成三類：開方開不盡的數(shù),如等；有特殊意義的數(shù),如n5.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù),實數(shù)和數(shù)軸上的點對應(yīng).6.實數(shù)的運算：實數(shù)運算的根底是有理數(shù)運算,有理數(shù)的一切運算性質(zhì)和運算律都適用

20、于實數(shù)運算.正確地確定運算結(jié)果的符號和靈活運用各種運算律來進行運算是掌握好實數(shù)運算的關(guān)鍵.I規(guī)律方法整合了詞1 有關(guān)概念的識別奩1下面幾個數(shù)：0.一23,22：門-一山皆,3 n, ,其中,無理數(shù)的個數(shù)有 蠱,3 n,廠是無理數(shù)應(yīng)選C【變式1】以下說法中正確的選項是的平方根是士 3A、B 1的立方根是士 1 C=± 1D、-是5的平方根的相反數(shù)【答案】此題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,- =9,9的平方根是士 3,二A正確.T的立方根是1,=1, 一 是5的平方根,二B C、D都不正確.【變式2】如圖,以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形,以數(shù)軸的原點為圓心,正方形對角線長

21、為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點A,那么點A表示的數(shù)是A、仁B、1.4C、【答案】此題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長為|A0|=, A表示數(shù)為,應(yīng)選C.1,對角線為匚,由圓的定義知【變式【變式3】例：拓二 + H5)2+|t+l|=0 那么 a+b-c 的值為【答案】初中階段的三個非負數(shù): 0 ;a 2>0; " > 0a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-22 計算類型題儘 I' ; I:2.設(shè)門- -、：,那么以下結(jié)論正確的選項是 SA. D .B. : II ：. :C.一HD. ' I' 廠解析：估算由于,所以選B1

22、】1 1.25的算術(shù)平方根是；平方根是.2 -27立方根是.3),土麗二3_ 22) -3.3)1 ,二,：【變式2】求以下各式中的:.(1) _(2) J _ ''! (3) .： ' _'-【答案】(1) 二(2) x=4 或 x=-2 (3) x=-4【變式3】化簡:苗-加|+皿+殲|旋-筋【答案】I J2=_.T 匚3數(shù)形結(jié)合猛3.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為 心,點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為一 ,那么A,B兩點的距離為b兩點,|AB| = 4解析：在數(shù)軸上找到A、【變式1】如圖,數(shù)軸上表示1,山 的對應(yīng)點分別為A,A.'丿1B. 1B,點B關(guān)于點A的對稱點

23、為C那么點C表示的數(shù)是.C. 2 JD.二2【答案】選C4.易錯題“猛(1)4.判斷以下說法是否正確止J''的算術(shù)平方根是-3 ;1的平方根是士 15.(3)當x=0或2時,-(4) 一是分數(shù)解析:(1 )錯在對算術(shù)平方根的理解有誤,算術(shù)平方根是非負數(shù).故(2)表示225的算術(shù)平方根,即=15.實際上,此題是求15的平方根,故-1的平方根是-匚(3)注意到,當x=0時,Jx-2 =沏-2 = 7-2,顯然此式無意義,發(fā)生錯誤的原因是無視了 “負數(shù)沒有平方根,故xk 0,所以當x=2時,X：- =0.4錯在對實數(shù)的概念理解不清.一形如分數(shù),但不是分數(shù),它是無理數(shù)學(xué)習(xí)成果測評：廖A

24、組根底蠢一、纟田心選一選1以下各式中正確的選項是A.廠-丄IC.廠-D.2.仁 的平方根是A. 4B.二C.23. 以下說法中無限小數(shù)都是無理數(shù)無理數(shù)都是無限小數(shù)-2是4的平方根帶根號的數(shù)都是無理數(shù).其中正確的說法有A. 3個 B.2個C.1個D.0個4. 和數(shù)軸上的點對應(yīng)的是A.整數(shù)B.有理數(shù)C.無理數(shù)D.實數(shù)5對于來說A.有平方根B.只有算術(shù)平方根C.沒有平方根D.不能確定)0,-3>/raF3.14,-f0.1010010001»兩個“ 1之間依次多1個“ 0中,無理數(shù)的個數(shù)有6.在.一匚A. 3個B.4個C.5個D.6個7面積為11的正方形邊長為x,那么x的范圍是8以下

25、各組數(shù)中,互為相反數(shù)的是A. -2B. I -'丿 I 與chT9. -8的立方根與4的平方根之和是A. 0B.4C.0 或-4D.0 或 410.一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a,那么該自然數(shù)的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是D.Q +1B. J.+二、耐心填一填11.己-的相反數(shù)是,絕對值等于匸的數(shù)是12.-的算術(shù)平方根是13.的平方根等于它本身, 的立方根等于它本身, 的算術(shù)平方根等于它本身.14.I x I的算術(shù)平方根是8,那么x的立方根是 15填入兩個和為6的無理數(shù),使等式成立：_+_=6.16大于,小于工U的整數(shù)有個.,b=17 .假設(shè)I 2a-5 I與上 * 互為相反數(shù),那么a=18

26、.假設(shè) I a I =6,=3,且 ab0,貝U a-b=19數(shù)軸上點A,點B分別表示實數(shù) 風$2 那么A、B兩點間的距離為20. 一個正數(shù)x的兩個平方根分別是 a+2和a-4,那么a=,x=.三、認真解一解21.計算2J II +1I -14X 9+2 X()結(jié)果保存3個有效數(shù)字號連接:22 .在數(shù)軸上表示以下各數(shù)和它們的相反數(shù),并把這些數(shù)和它們的相反數(shù)按從小到大的順序排列,用-L5Q2廠麗廠開參考答案：京:1、B2、D3 B4、D5 C6、A7、B& C9、C10、D13、0, 0、二,0、114、二17、-；15、答案不唯一如： 6 恥16、518、-1519、 220、 1,

27、921、丄一-17 -9 (4)2(5) -36 37.922、7T<-2 <1.5 <2 <0 <>/2 <1.5 <2 <71B組提升任J.1一、選擇題：1.的算術(shù)平方根是二 <1D.二2. -6 的平方根是A. 6B.36C. 士 6D. 士3以下計算或判斷：士3都是27的立方根；遽二直;悶的立方根是312、 3, _個數(shù)有A.1個B.2個C.3個D.4個4、在以下各式中,正確的選項是A.1'b.4 二-0 4； c. 二 ±2；5、以下說法正確的選項是A.有理數(shù)只是有限小數(shù)B.無理數(shù)是無限小數(shù)C.無限小數(shù)是無理數(shù)D.是分數(shù)'i ,7 .、|1, !i * / /111:上F 八 Li' 77 -i/ '11 -I 懇6、以下說法錯誤的選項是0 11 A.1BC.2 的平方根是 D.1一：22尸7假設(shè)"二二,且一&. ,那么.的值為A. - 2 B. ±1 C. 1D.-1,'j譏茂 J8.以下結(jié)論中正確的選項是'I IA.數(shù)軸上任一點都表示唯一的有理數(shù)；B.數(shù)軸上任一點都表示唯一的無理數(shù)C.兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；D.數(shù)軸上任意兩點之間還有無數(shù)個點9