參數(shù)問(wèn)題的思維策略

1、參數(shù)問(wèn)題的思維策略參數(shù)問(wèn)題在歷屆的高考數(shù)學(xué)試題中常有出現(xiàn),學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題常有畏懼心理,造成高考 得分偏低.因此,有關(guān)參數(shù)問(wèn)題的解法是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)和難點(diǎn)之一.由參數(shù)引起的討論, 一般說(shuō)來(lái)無(wú)非兩種情形：要么給定命題結(jié)論,由此去探求參數(shù)的取值范圍；要么由參數(shù)的取 值范圍去探求命題在參數(shù)的制約下可能出現(xiàn)的各種結(jié)果,從而歸納出原命題的正確結(jié)論.但 不管是哪種類型,有關(guān)參數(shù)問(wèn)題的題目很難一次性處理,分類討論是其常規(guī)解法.但假設(shè)在解 題前注意一下解題的方法,適當(dāng)作一些“技術(shù)處理,那么可防止或簡(jiǎn)化分類討論,收到事半功 倍的效果.下面,就介紹解決參數(shù)問(wèn)題的一些常用的思維策略.1定義法數(shù)學(xué)概念是以定義的方式表述

2、的巧妙的解法常來(lái)源于對(duì)定義的使用,在參數(shù)問(wèn)題中,同樣要重視定義解題.由最值的定義可知：f (X)max二M二f(X)二M有實(shí)根且f(X)乞M恒成立；f(x)minf(x)=m有實(shí)根且f(x)m恒成立；據(jù)此可使一類有關(guān)二次函數(shù)的逆向最值問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)解.例1函數(shù)y二aQ的最大值為4,最小值為-1,試求a,b的值.簡(jiǎn)解：ymax=4二方程a；+b=4,即4xax+4_b = 0有實(shí)根且不等式蘭4,即X +1x +14x? -ax 4 -b - 0恒成立,于是有匚0且厶_ 0,從而厶=0,即a? -16(4-b) = 0 ;同樣由 2ymin - -1= a -4(b 1)-0.最后解得a = 4

3、,b = 3.注解：與二次函數(shù)有關(guān)的逆向最值問(wèn)題利用最值定義都可歸為其判別式“也=0 ,由此可使問(wèn)題獲解.2. 別離參數(shù)法有些參數(shù)問(wèn)題,假設(shè)能將式中的未知數(shù)和參數(shù)別離開來(lái),就可把求參數(shù)范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題,從而快速求解.例 2 設(shè)函數(shù) f (x) = l g121( a R,n N 且 n_2 ), 假設(shè) f (x)在nx,(-二,1上有意義,求a的取值范圍.簡(jiǎn)解：f (x)在 x (-：,1上有意義,那么 1 2(n -1)x nxa - 0在 n 2,(-：,1時(shí)恒成立,即a 計(jì)(丄廣(心門能恒成立,于是只需求n nng(x -(1)x C2)()X在n-2,(-：,1

4、時(shí)的最大值,由g(x)是增函數(shù)可知：n nn1i _ n當(dāng) x = 1 時(shí) g( X) max = £ (1 - n ),2.注解：關(guān)于x的方程F(x,k) =0在區(qū)間A上恒有解求參數(shù)k的取值范圍一類問(wèn)題,常用“分 離參數(shù)法求解較易,其一般步驟是：把方程F(x,k) =0別離為f (k)二g(x)；求出g(x)的 值域或最值,得到f(k)的范圍(用含k的表達(dá)式)：解關(guān)于k的不等式求出k的范圍.3. 數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法,用的是通過(guò)“數(shù)與“形之間的對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化來(lái) 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.在某些參數(shù)問(wèn)題中,只要善于把問(wèn)題的數(shù)量特征結(jié)合圖形進(jìn)行分析, 往往能借助圖像性質(zhì)而有

5、利于解決問(wèn)題.例3方程|x-2n|=k.x(nN)在區(qū)間(2n -1,2n 1上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求k的 取值范圍.簡(jiǎn)解：由題意可知：k . 0.兩邊平方得：(x 2n)2=k2x,原命題可轉(zhuǎn)化為拋物線 y=(x-2n)2與直線y二k2x在區(qū)間(2n -1,2n 1 (nN)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).結(jié)合圖形分析 得到：當(dāng) x = 2n -1 時(shí),有(x - 2n)2 k2x,從而有 k2 ：;當(dāng) x = 2n T 時(shí),有(x - 2n)2 亠 k2x,2n -112n + 1從而有k2,故有k (0(n N).2n 十12n+1注解：此題的常規(guī)解法是運(yùn)用一元二次方程有關(guān)實(shí)根的分布來(lái)求解,過(guò)程較為

6、復(fù)雜.運(yùn) 用這一數(shù)形結(jié)合的解法,轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論.4. 變量代換法一些參數(shù)問(wèn)題的題目隱晦生疏似難入手,假設(shè)把某些字母或代數(shù)式實(shí)施變量代換,往往可 化難為易,化繁為簡(jiǎn).2例4 設(shè)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x,不等式x2 log 2 4(a 1)2xlog2二丄Tog2也 4 0恒成立, aa+14a2求a的取值范圍.簡(jiǎn)解：設(shè)log2 a 1 ",所給不等式大于 0恒成立=(3 t)x2 -2xt 2t 0恒成立,即2aa +1a + 13x2 (x2 -2x 2)t 0恒成立二t 0恒成立,即log 20,那么有1恒成立,故有2a2aa (0,1).注解：此題的常規(guī)解法要用ax2

7、bx c 0恒成立的條件進(jìn)行分類討論,十分繁瑣.這里先對(duì)原式作變量代換進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得到精巧別致的解法5. 正難那么反法有些參數(shù)問(wèn)題從正面不易入手或不能解決,而它的反面情況那么較為簡(jiǎn)單,這時(shí)根據(jù)“正 難那么反的原那么,應(yīng)用補(bǔ)集的思想逆向思維,從反面尋求解決,那么往往容易湊效.例 5 假設(shè)關(guān)于 x 的方程 x2 4ax -4a 3=0, X (a_1)x,a2 = 0, x2 2ax - 2a = 0 至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.簡(jiǎn)解：當(dāng)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根有：< 216a 4(4a+3)c03 (a1)24a2c0 ,解之得：3 c a c 1,224a +8a c 0視R為全集,用“補(bǔ)集法易得a3 -1,二)時(shí)至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.2注解：此題假設(shè)從正面入手,討論較為繁瑣,那么從反面思考、解決.正是“山重水復(fù)疑無(wú) 路,柳暗花明又