雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1、WORD格式整理.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)一、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi、F2的距離差的絕對值是常數(shù) (大于零,小于丨FlF2| )的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.兩定點(diǎn)Fi、F2是焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2 |是焦距,用2c表示,常數(shù)用2a表示.(1) 假設(shè)丨MF | - | MF | =2a時,曲線只表示焦點(diǎn) F2所對應(yīng)的一支雙曲線.(2) 假設(shè)| MF | - | MF | =-2 a時,曲線只表示焦點(diǎn) Fi所對應(yīng)的一支雙曲線.(3) 假設(shè)2a=2c時,動點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線,而是以Fi、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線. 假設(shè)2a >2c時,動點(diǎn)的軌跡不存

2、在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 2X - y =1( a > 0,b > 0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;2 .2a b2 2 L-0=1(a > 0,b > 0)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.2 , 2a b判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,不像橢圓似的比擬x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系數(shù)的符號,焦點(diǎn)在系數(shù)正的那條軸上.3.雙曲線的簡單幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程22x y =1 ( a > 0,b > 0 )a b22y x=1 ( a > 0,b > 0 )a b圖象*a,b,c關(guān)系a2 +b2 =c2范圍|xAa,yw R|y Aa, x壬 R頂點(diǎn)(土a

3、,0)(0, 土a)對稱性關(guān)于x, y軸成軸對稱、關(guān)于原點(diǎn)成中央對稱漸近線y=±5a.a離心率e=E(>1)a焦占八'、八、F(士c,0)F (0, 士c)等軸雙曲線：x2-y2= a2( a豐0),它的漸近線方程為 y=±x,離心率e = J2 .4.直線與雙曲線的位置關(guān)系, 可以通過討論直線方程與雙曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的 個數(shù)來確定.(1) 通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式 二,那么有：二0=直線與雙曲線相交于兩個點(diǎn)；=0= 直線與雙曲線相交于一個點(diǎn)；二- 0：= 直線與雙曲線無交點(diǎn).(

4、2) 假設(shè)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,那么直線與雙曲線相交于一個點(diǎn),此時直線平 行于雙曲線的一條漸近線.3直線l被雙曲線截得的弦長AB廠k2x匚X22 或.1 ：2% -丫22,其中 k是直線1的斜率,為,yj , X2 , y2是直線與雙曲線的兩個交點(diǎn) a , B的坐標(biāo),且2 2(% -X2) = (x.( x2) -4X4X2, x1 x2 , x1x2可由韋達(dá)定理整體給出.二、例題選講例1、中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 X軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛軸相等,一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.2,那么雙曲線方程為222222 廠A. x y = 1 B . x y = 2 C . x y = 2D .

5、x2- y2=1解析：由題意,設(shè)雙曲線方程為2 2X y孑一孑=1( a>0),那么c= _ 2a,漸近線 y= x ,、弓=2 , a2= 2. 雙曲線方程為x2 y2= 2.答案：B例2、根據(jù)以下條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程._J51過點(diǎn)P3,2,離心率e =2斤、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),是雙曲線上一點(diǎn),雙曲線離心率為.專業(yè)知識分享F1PF2 =60 , Spf1f2 -12. 3 .解：1依題意,雙曲線的實(shí)軸可能在 x軸上,也可能在 y軸上,分別討論如下.2 2如雙曲線的實(shí)軸在 x軸上,設(shè)務(wù)-±- =1為所求.a2 b2由點(diǎn)P3, -、.2在雙曲線上,92得篤-芻=1

6、 .,a b又 a2 b2由、得a1 ,假設(shè)雙曲線的實(shí)軸在 y軸上,設(shè)2 2x2 - y2 =1為所求.a b同理有2 c2 aOH",17a b =c .解之,得b =巧不合,舍去.雙曲線的實(shí)軸只能在 X軸上,所求雙曲線方程為X2-4y2 =1.2 2 設(shè)雙曲線方程為 篤 占=1,因F| F2 = 2c,而a be 二° =2 ,a由雙曲線的定義,得PR PF 二 2a 二 c .由余弦,得22(2c)2 =門 +|PF2-2PF1 PF2 COSZRPF2= (PF PF2)2+2PFPF2 (1-cos60°),= 48.2 2 1 二 4c =c +|PF

7、1 PF2 .又 S店越=?PF1 PF2 sin60® = 12島,二 PF1 PF?- 3c2 =48 , c2 =16 ,得a2 =4 , b2 =12 . 所求雙曲線的方程為2 2 .412三、穩(wěn)固測試題1 .到兩定點(diǎn)F1 _3,0、A.橢圓2 22.方程x . y1+k 1kA ._1 :：: k ：12x2 m 亠 124 -mF2 3,0的距離之差的絕對值等于B .線段C.雙曲線6的點(diǎn)M的軌跡D.(D兩條射線3.雙曲線A. 44 .假設(shè) 0 : k=1表示雙曲線,那么k的取值范圍是B . k 02y 2=1的焦距是C.k _0D.:：:a,雙曲線A.相同的虛軸2 25.

8、 過雙曲線丄169A. 28B2 26. 雙曲線二-y = 1412B . 2.22x2 2akb kB.相同的實(shí)軸C.D.與m有關(guān)=1與雙曲線H =1有a bC.相同的漸近線D.相同的焦點(diǎn)二1左焦點(diǎn)F1的弦AB長為6,那么.ABF2 ( F2為右焦點(diǎn))的周長是.22C. 14D.12的焦點(diǎn)到漸近線的距離為(y= 3x 或 y2 3.|4 ,3+ 0|3+ 1C.A. 2 32 2解析：雙曲線x- y2= 1的焦點(diǎn)為(4,0)或(一4,0).漸近線方程為x.由雙曲線的對稱性可知, 任一焦點(diǎn)到任一漸近線的距離相等,=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的曲線的方程為2 2138=1132丄=152個

9、交點(diǎn)的直線有y&過點(diǎn)F(4,4)且與雙曲線16-9= 1只有解析：如下圖,滿足條件的直線共有3條.WORD格式整理.2.專業(yè)知識分享9經(jīng)過兩點(diǎn) A(_7,_6、. 2), B(2._7,3)的雙曲線的方程為()CA.2x752=125=1 C 75252575257510.雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(-4,0),(4,0),那么雙曲線方程為(2八x2y 2 x2=1 C 2 x2y -=1 D 2 x2y A.-=1 B =14121241066102211P是雙曲線x y1上的一點(diǎn),F,F2是雙曲線的兩個焦點(diǎn),且.F,PF 120169那么PF1F2的面積為()DA . 163 B

10、. 9、3 C4、3 D . 3. 312 雙曲線25x2 - 16y2 =400的實(shí)軸長等于 ,虛軸長等于 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,漸近線方程為 ,離心率等于 .2 213直線y=x+1與雙曲線=1相交于A,B兩點(diǎn),貝U AB =12 . 4島23214.過點(diǎn)M(3,-1)且被點(diǎn)M平分的雙曲線 j_y2=1的弦所在直線方程為.413. 3x 4y -5 =02 215雙曲線 mx y =1的虛軸長是實(shí)軸長的 2倍,貝U m =.222x 2雙曲線mx2 y =1的虛軸長是實(shí)軸長的 2倍, m<0,且雙曲線方程為y= 1 ,41-m= 0416雙曲線的離心率e冷,且與橢圓春百=1有

11、共同的焦點(diǎn),求該雙曲線的方程.解：在橢圓中,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土 10, 0),c= 10,又 “ a2 . 2 a = 8, b = 2.WORD格式整理.專業(yè)知識分享2 2 雙曲線方程為"5 秒=1.8 2217.F,、F2是雙曲線 -y2 =1的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足.F,PF2 =90 ,4求：FiPF2的面積.2解：/ P為雙曲線-y1上的一個點(diǎn)且F1、F2為焦點(diǎn)4PR PF? =2a=4,市2|=2*2752 2 2:厶F1PF2 =90 :.在 RUPF1F2 中,|Ph +|PF2 = F1F2 =20仰-PF2 2 = PF+|PF22 -2PF1IIPF2 =1

12、6 , 20-2PFPF2 =16 ,PF1,PF2 =21 S岳pf2 =3 PF1 PF2 =118.在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個橢圓,它的中央在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為F(-、3,0),右頂點(diǎn)為D(2,0),設(shè)點(diǎn) A 1,1 .I 2丿(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)假設(shè)P是橢圓上的動點(diǎn),求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;18.(1)由得橢圓的半長軸 a=2,半焦距c= 3 ,那么半短軸b=1.2又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X y2=14(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x 0,y 0),廣 X=X0Tx°=2x 1y=八2得 <:1y0=2yJ 2由,點(diǎn)P

13、在橢圓上,得(2x 一1)(2y -1)2 =1,421 2 1 2 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x )4(y) =1.2419.橢圓C的焦點(diǎn)F1(- 242, 0)和F2( 242, 0),長軸長6,設(shè)直線y = x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段 AB的中點(diǎn)坐標(biāo).解：由條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其中c= 2 2 ,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：2/ 1,消去 y 得,10x236x 27 = 0.2=1 .聯(lián)立方程組99cy = x +218x+ x設(shè) A( x1, y1),B( x2,y2),AB 線段的中點(diǎn)為 M(x0,y0)那么：人 x?,怡=125219 1所以yo = X

14、0 +2=-也就是說線段 AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).55 520.求兩條漸近線為 x _ 2y二0且截直線x 一 y 一 3二0所得弦長為 出的雙曲線方程.3解：設(shè)雙曲線方程為x2-4y 2= .2 2x -4y =2彳 y ,消去 y 得,3x-24x+(36+ 丸)=0 xy3 = 0聯(lián)立方程組得：設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB,且A( x1, y ),B( x2, y2),那么：A 那么：|AB(1 山沁1)(82 -4 3： rx2 = 836-X-X2 :3=242 -12(36)0Xi3-)8 32解得： =4,所以,所求雙曲線方程是：-y2 =1421.中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一個橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1, F2,且IF1F2 h 2.13,橢圓的半長軸與雙曲線的半實(shí)軸之差為4,離心率之比為3 : 7.(1)求這兩條曲線的方程;(2)假設(shè)P為這兩條曲線的一個交點(diǎn),求 cos F1PF2的值.x221、解：(1)設(shè)橢圓的方程為2ay2b222=1,雙曲線方程為令-占a2 b2二1,半焦距為c = .13 ,& -a? =41a = 7J c , c小,='/=3/7b = 61衛(wèi)1 a2由得:x!a2 = 32,故兩條曲線分別為:b2 = 222及436214(2)設(shè) F1PF2