二次函數(shù)壓軸題之菱形存在性問題

1、菱形存在性問題作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：（ 1 ）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（ 2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（ 3）四邊都相等的四邊形是菱形坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”或 “鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價的，故若四邊形ABCD 是菱形，則其4個點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：xA xC xB xDyA yC yB y D2222xA xByA yBxC xByC yB考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1 在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3 個等

2、式，故菱形存在性問題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3 個未知量，與矩形相同因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2 個動點(diǎn)， 多則有 3 個動點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：（ 1） 2 個定點(diǎn)+1 個半動點(diǎn)+1 個全動點(diǎn)（ 2） 1 個定點(diǎn)+3 個半動點(diǎn)解決問題的方法也可有如下兩種：思路 1：先平四，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（ AC、 BD 為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4 個點(diǎn)中任取3 個點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第 3 個點(diǎn)，再確定第4 個點(diǎn)141 看個例子：如圖，在坐標(biāo)系中，A 點(diǎn)坐標(biāo)（1,1 ） ， B 點(diǎn)

3、坐標(biāo)為（5,4） ，點(diǎn) C 在 x軸上，點(diǎn)D 在平面中，求 D 點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、 C、 D 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形yBAOx思路 1：先平四，再菱形設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為（m， 0） ， D 點(diǎn)坐標(biāo)為（p， q） 1 ）當(dāng)AB 為對角線時，由題意得：AB 和 CD 互相平分及AC=BC)1514m1pq201 m2504，解得：23989852）當(dāng) AC 為對角線時，由題意得：1m5p104q221514 m3）當(dāng) AD 為對角線時，由題意得：m021 421m2m8，解得：p2或 p424q3q3m126m126，解得：p5 2 6或p52602q3q3BD 互相平分及AC 和BA=BC)25

4、0m21思路2：先等腰，再菱形先求點(diǎn)C，點(diǎn)C 滿足由A、 B、 C 構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C，再確定D 點(diǎn)（ 1 ）當(dāng) AB=AC 時，C 點(diǎn)坐標(biāo)為1 2 6,0 ，對應(yīng) D 點(diǎn)坐標(biāo)為5 2 6,3 ；C 點(diǎn)坐標(biāo)為1 2 6,0 ，對應(yīng) D 點(diǎn)坐標(biāo)為5 2 6,32）當(dāng)BA=BC 時，C 點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對應(yīng)D 點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3） ；C 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對應(yīng)D 點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3） 3） AC=BC 時，C 點(diǎn)坐標(biāo)為39,0 ， D 點(diǎn)坐標(biāo)為9 ,5 88對于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更 為簡便的方法【兩定兩動：坐標(biāo)軸+平面】

5、（ 2019 ·齊齊哈爾中考刪減）綜合與探究如圖，拋物線y x2 bx c與 x軸交于A、 B 兩點(diǎn)，與y軸交于 C 點(diǎn)， OA=2， OC=6，連接AC 和 BC（ 1 ）求拋物線的解析式；（ 2）若點(diǎn)M 是 y 軸上的動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、 C、 M、 N 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由1 ）拋物線：y x2x 6；2）先考慮M 點(diǎn)位置，即由當(dāng) CA=CM 時，A、 C、M 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形：即 CM=CA=2 10 ， M 點(diǎn)坐標(biāo)為0, 6 2 100, 62 10 ，對應(yīng) N 點(diǎn)坐標(biāo)為2, 2 10

6、、2,2 10 當(dāng) AC=AM 時，即 AM=AC= 2 10 ， M 點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 6） ，對應(yīng) N 點(diǎn)坐標(biāo)為（2， 0） 當(dāng) MA=MC 時，勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為0,對應(yīng) N 點(diǎn)坐標(biāo)為2, 130綜上， N 點(diǎn)坐標(biāo)為2, 2 102,2 10 、2,103如下圖依次從左到右xN+平面】2019·遼陽中考）如圖， 在平面直角坐標(biāo)系中，Rt ABC 的邊 BC 在 x軸上，ABC=90°，A 為頂點(diǎn)的拋物線y2x bx c經(jīng)過點(diǎn)C（ 3， 0） ，交 y軸于點(diǎn)E（ 0， 3） ，動點(diǎn) P 在對稱軸上（ 1 ）求拋物線解析式；（ 2）若點(diǎn)M 是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在x軸上

7、方是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P， M， E， C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在， 請直接寫出符合條件的M 點(diǎn)坐標(biāo)； 若不存在，說明理由1 ）拋物線：y x2 2x 3 ；2）先考慮P 點(diǎn)位置，由P、 E、 C 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形當(dāng) EC=EP 時，由 EC 3 2 ，得 EP 3 2 ，又點(diǎn) P 在對稱軸x=1 上，勾股定理解得P 點(diǎn)坐標(biāo)為1,3+ 17 、1,317 （舍），根據(jù)點(diǎn)的平移推得M 點(diǎn)坐標(biāo)為4, 17 當(dāng) CE=CP 時，即 CP=CE=3 2 ，勾股定理解得P 點(diǎn)坐標(biāo)為1, 14 、1,14 （舍），根據(jù)點(diǎn)的平移推得M 點(diǎn)坐標(biāo)為2,314 當(dāng) PE=PC 時，設(shè) P 點(diǎn)坐

8、標(biāo)為（1 ， m） ，222210 m3 13 m0，解得： m=1 ，故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 1） ，對應(yīng)的點(diǎn)M 坐標(biāo)為（2， 2） 綜上所述，M 點(diǎn)坐標(biāo)為4, 17 、2,314 、 （ 2， 2） +平面】2018 ·齊齊哈爾）綜合與探究如圖 1 所示， 直線 y=x+c與 x軸交于點(diǎn)A（ -4,0） ， 與 y軸交于點(diǎn)C， 拋物線 yx ）拋物線解析式：yx2 3x 4 ； 2）設(shè) M 點(diǎn)坐標(biāo)為（m， 0） （ -4<m<0） ，則 N 點(diǎn)坐標(biāo)為m, m2 3m 4 ， P 點(diǎn)坐標(biāo)為（m， m+4） ，若 P 是 MN 中點(diǎn)，則m2 3m 4 2 m 4 ，解得：

9、m11 ， m24 （舍）故 P（ -1， 3） 、 M（ -1， 0）考慮到 F 點(diǎn)在直線AC 上，故可先確定F 點(diǎn)位置，再求得D 點(diǎn)坐標(biāo) bx c經(jīng)過點(diǎn)A， C（ 1 ）求拋物線的解析式（ 2）如圖 2所示， M 是線段 OA的上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M 垂直于 x軸的直線與直線AC 和拋物線分別交于點(diǎn)P、 N若點(diǎn)P 恰好是線段MN 的中點(diǎn)，點(diǎn)F 是直線 AC 上一個動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D ，使以點(diǎn)D， F， P， M 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由PM=PF 時，NyD232323232PF =3，可得F11,3、F21,32222對應(yīng) D 點(diǎn)

10、坐標(biāo)分別為D11 3 2 , 3 2 、 D21 3 2 , 3 22222MP=MF 時，MP =MF ，可得F34,0 ，對應(yīng) D 點(diǎn)坐標(biāo)為D3 4,3FP=FM 時，F(xiàn)P=FM ， F 點(diǎn)在 PM 垂直平分線上，可得F453135 , 3 ，對應(yīng) D 點(diǎn)坐標(biāo)為D4 1 , 322422綜上所述，D 點(diǎn)坐標(biāo)有D132322,2D232322,2D34,3 、 D413,22【兩定兩動：斜線+拋物線】（ 2018?衡陽）如圖，已知直線y點(diǎn)，點(diǎn) P 是線段 AB 上一動點(diǎn)，過點(diǎn)2x 4分別交 x 軸、 y 軸于點(diǎn)A、 B，拋物線過A、 B 兩P 作 PC x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D1 ）若拋物

11、線的解析式為y 2x22x4 ，設(shè)其頂點(diǎn)為M ，其對稱軸交AB 于點(diǎn) N求點(diǎn) M 、 N是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由1 ） M 點(diǎn)坐標(biāo)為9， N 點(diǎn)坐標(biāo)為 21 ,3 2由題意可知MN PD，故四邊形MNPD 若是菱形，首先MN=PD考慮到 M 、 N是定點(diǎn)，可先求得MN設(shè) P m, 2m 4D m,2m22m4，PD22m 2m2m22m4m ，令 PD解得：3 ，即21m1，22 2m4mm2故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為32,1D 點(diǎn)坐標(biāo)為35 ,2216但此時僅僅滿足四邊形MNPD 是平行四邊形，本題要求的是菱形，故還需加鄰邊相等但此時P、 D 已定，因此接下來要做的只是驗(yàn)證鄰邊

12、是否相等由兩點(diǎn)間距離公式得：PN 2 1 21 3 25 3 ，322PN MN，故不存在點(diǎn)P 使四邊形MNPD 是菱形【小結(jié)】為什么此題會不存在，表面上看是不滿足鄰邊相等，究其原因，是因?yàn)镸 、 N 是定點(diǎn)，P、 D 雖為動點(diǎn)但僅僅是半動點(diǎn)，且P、 D 橫坐標(biāo)相同，故本題只需一個字母便可表示出 4 個點(diǎn)的坐標(biāo)，對于菱形四個點(diǎn)滿足：xA xCxB xDyAyCyB y DxA xByAyBxC xByCyB若只有 1 個未知數(shù)或2 個未知數(shù)，便出現(xiàn)方程個數(shù)未知量個數(shù)的情況，就有可能會無解方程個數(shù)未知數(shù)個量，可能無法確定有限組解；方程個數(shù)未知數(shù)個量，可能會無解特殊圖形的存在性，其動點(diǎn)是在線上還是

13、在平面上，是有 1 個動點(diǎn)還是有2 個動點(diǎn)，都是由其圖形本身決定，矩形和菱形相比起平行四邊形，均多一個等式，故對動點(diǎn)位置的要求可以有 3 個半動點(diǎn)或者1 個全動點(diǎn)+1 個半動點(diǎn)，若減少未知量的個數(shù)，反而可能會產(chǎn)生無解的情況不難想象，對于正方形來說，可以有4 個未知量，比如在坐標(biāo)系中已知兩定點(diǎn)，若要作正方形，只能在平面中再取另外兩動點(diǎn)，即2 個全動點(diǎn)，當(dāng)然，也有可能是1 全動 +2 半動，甚至是 4 個半動點(diǎn)練習(xí)：如圖，拋物線y x2 bx c 與 x軸相交于A、 B 兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知拋物線的對稱軸所在的直線是x 9 ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4， 0） 4（ 1 ）求拋物線解析式；（ 2

14、）若M 為 x 軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)B、 C、 M、 N 構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)N 坐標(biāo)，若不存在，請說明理由211 ）拋物線：y x2 9 x 2 ；22）本題是“兩定兩動”，但兩個動點(diǎn)一個在x 軸上，一個在拋物線上，均為半動點(diǎn)，故只需兩個字母即可表示，未知量個數(shù)少于方程個數(shù)，結(jié)果可能會無解29設(shè) M 點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0） ， N 點(diǎn)坐標(biāo)為n,n2n 2 ，又B（4， 0） 、C（0，2） 2當(dāng) CB 為對角線時，取對角線互相平分及MB=MC，可得：40mn290 2 0 n2n 222222m4 00 m0 02方程組無解，故這種情況不存在；當(dāng) CM 為對角

15、線時，取對角線互相平分及BC=BM，可得：m0n4290 2 n2n 2 0222224002 4m 00方程組依然無解；這種情況也不存在；當(dāng) CN 為對角線時，取對角線互相平分及CB=CM，可得：0n4m292 n2 n 2 02220m 20220420方程組還是無解綜上，不存在這樣的M、 N【小結(jié)】 問題本身源于對動點(diǎn)位置的選取導(dǎo)致點(diǎn)坐標(biāo)中未知量的個數(shù)與方程個數(shù)不一致，以致出現(xiàn)不存在的情況【一定三動】 講真在翻了一些中考題，并沒有看到類似的題型，舉些數(shù)據(jù)編一個吧：如圖，拋物線過A（-1 ，0）、B（3，0） 、 C（0，3），點(diǎn) C 關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為DOPMN點(diǎn)， 連接 AD 點(diǎn) P 在拋物線上，點(diǎn) M 在直線 AD 上， 點(diǎn) N 在拋物線對稱軸上，能否為菱形，若能，求出P 點(diǎn)坐標(biāo)，若不能，說明理由【分析】拋物線解析式為：y x2 2x 3，直線 AD 解析式為y=x-1設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為p, p2 2p 3 ，