人教A版函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案

1、函數(shù)的單調(diào)性1理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義2會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)3能夠熟練地應(yīng)用定義判斷與證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性知識梳理1函數(shù)的單調(diào)性的定義給定區(qū)間 D上的函數(shù) f(x)，若對于任意的 x1， x2D，當(dāng) x1<x2時(shí)，都有 f (x1) <f (x2) ，則 f( x)為區(qū)間 D上的增函數(shù) 對于任意的 x1，x2D，當(dāng) x1<x2時(shí)，都有 f (x1) >f (x2) ，則 f (x) 為區(qū)間 D 上的減函數(shù)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù) yf (x) 在某個(gè)區(qū)間 D上是增函數(shù) 或是減函數(shù) ，那么就說函數(shù) yf(x)在這一區(qū)間具有 (嚴(yán)格的 )單調(diào)性

2、，區(qū)間 D叫做 yf(x)的單調(diào)區(qū)間 . 如果函數(shù)是增函數(shù)，則稱區(qū)間 D 為 增區(qū)間 ，如果函數(shù)是減函數(shù)，則稱區(qū)間D 為 減區(qū)間3單調(diào)函數(shù)的圖象特征增函數(shù)的圖象是上升 的( 如圖 1) ，減函數(shù)的圖象是下降 的(如圖 2) 1單調(diào)性定義的等價(jià)形式：設(shè)x1， x2 a，b ，且 x1x2，那么f x1 f x2(x1x2) f (x1) f ( x2)>0x1x2>0 f(x)在a，b 上是 增函數(shù)(x1x2) f ( x1) f ( x2)<0x1 f x2x1x2<0 f(x)在a，b 上是 減函數(shù)2判斷單調(diào)性的常用結(jié)論(1) 若 f ( x)，g(x)均為增 (減)

3、 函數(shù)，則 f( x)g(x) 為 增( 減) 函數(shù)(2) 若 f (x)為增(減)函數(shù)，則 f (x)為 減(增) 函數(shù)(3) yfg(x) 是定義在 M上的函數(shù)，若f ( x)與 g( x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù) f g( x)為 增函數(shù) ；若 f ( x) ， g( x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f g(x) 為 減函數(shù)x，(4) 已知函數(shù) yf(x) ，給定區(qū)間 D，若對 D內(nèi)任意的 x，f (x)>0 ，則函數(shù)在區(qū)間 D 上單調(diào) 遞增 ；若對 D內(nèi)任意的 x，f (x)<0 ，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào) 遞減熱身練習(xí)1下列函數(shù) f( x) 中，滿足“對任意 x1，x2 (0

4、 ， ) ，當(dāng) x1<x2時(shí)，都有 f (x1)<f (x2)”的是 (D)Af(x)x1 B f(x)(x1)2xCf(x)ex D f ( x) ln( x1)根據(jù)單調(diào)性的定義，滿足條件的函數(shù)f( x) 在(0，) 上為增函數(shù)，分別作出選項(xiàng) A，B， C， D的圖象 (如下圖 ) ，根據(jù)圖象特征進(jìn)行判斷2由圖象可知，應(yīng)選 D.(2019·北京卷 )下列函數(shù)中，在區(qū)間 ( 1,1) 上為減函數(shù)的是 (D)1AyB ycos x1 xCxy ln( x1) D y211選項(xiàng) A中， y 1 x在( ， 1)和(1 ， )上為增函數(shù)，故 y 1 x在( 1,1)1 x1 x

5、上為增函數(shù)；選項(xiàng) B中，ycos x 在（1,1） 上先增后減；選項(xiàng) C中， y ln（ x1） 在（1， x 1 x ）上為增函數(shù)， 故 yln（ x1）在（ 1,1） 上為增函數(shù)； 選項(xiàng) D中，y2x（ 2） x在 R上為 減函數(shù)，故 y2x在（1，1） 上為減函數(shù)23已知函數(shù) f（x）x22ax3在區(qū)間 1,2 上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 （D）A 1,2 B （1,2）C（ ， 1） （2 ， ） D （ ， 1 2 ，）(1,2)因?yàn)槎魏瘮?shù)的單調(diào)性以對稱軸為分界線，故頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能落在區(qū)間內(nèi)，所以 a2或 a1.4函數(shù) f（x）axlog a（ x1）在0,1 上的最大

6、值與最小值之和為 a，則 a的值為 （B）1A. B.4C2 D 4因?yàn)?yax與 ylog a（x1） 的單調(diào)性相同，所以 f（x）axlog a（x1）是單調(diào)函數(shù)，其最大值和最小值分別在端點(diǎn)處取得， 所以最值之和為 f（0） f （1） a log a1alog a2a.1所以 log a21 0，所以 a 2.125（2019·杭州期中 ）函數(shù) f （ x） log 2（4 x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2）函數(shù)的定義域是 （ 2,2） 2u4x2 的遞減區(qū)間為 0,2） ，1又因?yàn)?2<1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù) f（ x） 的遞增區(qū)間為 0,2）單調(diào)性的判定與證明

7、證明函數(shù) f( x) x xa( a>0)在(0 ， a) 上是減函數(shù)因?yàn)闆]有要求一定要用定義進(jìn)行證明，因此，除定義證明外，還可考慮用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明( 方法一 ) 設(shè) 0<x1<x2< a，則 aa f( x1)f(x2) ( x1 )( x2 ) ( x1 x2)(x1x2x1x2ax1x2因?yàn)?0<x1<x2< a，所以 x1 x2<0,0< x1x2<a，所以 f(x1)f ( x2)>0 ，即 f (x1)>f (x2)，所以函數(shù) f ( x)xa在(0， a)上是減函數(shù)x2(方法二)因?yàn)?0<x< a，

8、所以 f(x)1x2 x2 <0，xx所以 f(x)在(0， a) 上是減函數(shù)(1) 單調(diào)性的判定與證明的常用方法： 定義法：基本步驟為：一設(shè)，二作差，三比較，四下結(jié)論 導(dǎo)數(shù)法： 若 f( x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng) f (x) > 0 時(shí)，f ( x)為增函數(shù)； 當(dāng) f(x) <0 時(shí)， f( x) 為減函數(shù)(2) 函數(shù) y xax( a>0) 是一種常用函數(shù)，俗稱“雙勾函數(shù)”，其圖象如下圖所示由圖象，你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎？能得出它的哪些性質(zhì)？a1 證明函數(shù) f （x） xx（ a>0）在（ a， ）上是增函數(shù)x( 方法一 ) 設(shè) a<x1<x2，

9、則 aa f(x1)f(x2)(x1x )(x2x ) x1x2 ( x1 x2)(x1x2ax1x2）因?yàn)?a<x1<x2，所以 x1 x2<0，x1x2>a， 所以 f(x1)f ( x2)<0 ，即 f (x1)<f (x2)，所以函數(shù) f （ x）xxa在（ a， ）上是增函數(shù)2a x a（ 方法二 ） 因?yàn)?x> a，所以 f （x） 1x2 x2 >0， xx所以 f（x）在（ a， ）上是增函數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（2019·全國卷 ）函數(shù) f （ x） ln（ x2 2x 8） 的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）A（ ， 2） B （

10、， 1） C （1 ， ） D （4 ，）由 x 2x 8>0，得 x>4 或 x< 2. 設(shè) t x2 2x 8，則 y ln t 為增函數(shù)2要求函數(shù) f （ x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù) tx22x8 在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間 因?yàn)楹瘮?shù) t x22x8 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （4，）， 所以函數(shù) f （ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 （4，）D復(fù)合函數(shù) yf g（x） 的單調(diào)性可按下列步驟判斷：將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單的函數(shù)，yf（ u）與 ug（x） ；確定函數(shù)的定義域； 分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性； 其單調(diào)性規(guī)律：函數(shù)單調(diào)性ug(x)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)yf (u)增函

11、數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)yf g(x)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”122（2019·馬山縣期中 ）函數(shù) ylog 2（x23x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ， 1） ，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2 ，） .2 3 2 1 3 3令 ux23x2（x2）24在 2， ）上遞增，在 （， 2）上遞減， 又因?yàn)?x2 3x 2>0，所以 x>2 或 x<1.2故 ux23x2在（2，）上遞增，在 （， 1）上遞減1又因?yàn)?y log 2u 為減函數(shù)，12所以函數(shù) ylog 2（ x23x2） 在（2 ， ）上遞減，在 （， 1）上遞增 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)

12、用（1） 已知 f （ x）的圖象向左平移 1個(gè)單位后關(guān)于 y 軸對稱，當(dāng) x2>x1>1時(shí)，f（x2）1f（x1） ·（x 2 x1）<0 恒成立，設(shè) af （ 2） ，bf （2） ，cf （3） ，則a，b，c的大小關(guān)系為 （ ） A c>a>b B c>b>aC a>c>b D b>a>c（2）（2019 ·昭通月考 ）已知函數(shù) f （ x）是定義域 （ 3,3） 上的增函數(shù)，如果 f （3 m）< f （ m2 3） ，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 （ ）A（2， 6） B （ 6， 6）C（ 6，

13、2） D （ 6，2） （2， 6）（1） 由條件知 f （ x）的圖象關(guān)于 x 1對稱，且 f（ x） 在（1 ， ）上是減函數(shù)，1 5 5因?yàn)?af（2）f（2），且 2<2<3，所以 b>a>c. 3<3 m<3 ，（2） 依題意 3<m23<3，解得 2<m< 6.23m<m3，(1)D (2)A(1) 單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它的應(yīng)用非常廣泛，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系，如比較大小、求函數(shù)的最值等；根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系得到自變量的大小關(guān)系，如解有關(guān)函數(shù)不等式等(2) 解函數(shù)不等式的一般

14、步驟：第一步， (定性)確定函數(shù) f ( x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步， (轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為 f (M)<f ( N)的形式；第三步， (去 f )運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號，轉(zhuǎn)化為一般的不等式或不等式組；第四步， (求解 )解不等式或不等式組確定解集13(1) 已知 f ( x) log 2x，若 x1(1,2) ， x2 (2 ， ) ，則 (B)1 xAf ( x1)<0 ， f ( x2)<0 B f(x1)<0，f(x2)>0Cf ( x1)>0 ， f ( x2)<0 D f(x1)>0，f(x2)>03

15、x1 x(1,2) 時(shí)， f ( x1)< f (2) 0，當(dāng) x2 (2 ， )時(shí)， f ( x2)> f (2) 0，即 f ( x1)<0 ， f ( x2)>0.(2) 因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)值都為0，所以函數(shù)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線因?yàn)楫?dāng) x0時(shí)， f ( x) x3為增函數(shù)，當(dāng) x>0 時(shí)，f (x)ln( x 1)也是增函數(shù)， 且當(dāng) x 1<0， x2>0 時(shí)，f (x1)<f (x2)，所以 f(x)是定義在 R上的增函數(shù)， x0，2(2) 已知函數(shù) f(x)若 f (2 x (1) 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) log

16、 2x在(1 ， )上為增函數(shù)，且 f(2) 0，所以當(dāng) x1)> f ( x) ，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍是ln x1 ， x>0.(D)A( ，1)(2，)B( ，2)(1，)C( 1,2)D( 2,1)因此不等式 f (2 x2)> f ( x)等價(jià)于 2x2>x，2即 x2 x 2<0，解得 2<x<1，故選 D.1對于單調(diào)性的定義的理解，要注意以下四點(diǎn)：(1) 單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào) 區(qū)間(2) 單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)因此，定義中的x1，x2 具有任意性，不能用特殊值代替(3) 由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且 f(x1)<f (x2) x1<x2(或x1>x2) ，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“互逆互 推”，即有 x1&