一類線性丟番圖方程非負(fù)整數(shù)解的探討

1、一類線性丟番圖方程非負(fù)整數(shù)解的探討一、引言隨著素質(zhì)教育在中小學(xué)的進(jìn)一步推行，現(xiàn)在我們的中學(xué)生活豐富，經(jīng)常參加一些實(shí)踐，科技競賽等活動(dòng)。在參加生物競賽的時(shí)候，我們遇到了蛋白質(zhì)分子組成的判定問題，經(jīng)與老師同學(xué)們研究，發(fā)現(xiàn)如果將蛋白質(zhì)分子分子量記為種氨基酸的已知分子量， ，的線性組合，這一類問題可以即可轉(zhuǎn)化為一類線性丟番圖方程的求解問題，這樣就把一個(gè)生物問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。同時(shí)這個(gè)轉(zhuǎn)化也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的地位和作用。當(dāng)我們在實(shí)際生活中需要求某一類特定方程的整數(shù)解的時(shí)候，那么就會得到由古希臘亞歷山大學(xué)后期的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家丟番圖（ diophantus ）的名字命名的一個(gè)丟番圖方程。當(dāng)時(shí)代數(shù)

2、學(xué)的創(chuàng)始人之一丟番圖在有理數(shù)域上寫下了一些方程。丟番圖方程又被稱為不定方程、整系數(shù)多項(xiàng)式方程。近些年，丟番圖方程的求解問題也受到了廣大學(xué)者的關(guān)注。丟番圖方程整數(shù)解的存在性已經(jīng)有很多相關(guān)結(jié)果，本文主要研究一類線性丟番圖方程的非負(fù)整數(shù)解的問題。首先我們給出一次線性丟番圖方程的概念。定義 方程 （1）稱為元一次線性丟番圖方程。這里都是整數(shù)。下面的引例在本文主要結(jié)論的證明過程中將要用到，也是一次線性丟番圖方程整數(shù)解的存在的一個(gè)常用的充分必要條件。引理設(shè)，是不全為零的正整數(shù)，對任意的整數(shù)，都存在，使得方程成立當(dāng)且僅當(dāng)。特殊的，方程（ 1）對每個(gè)有解當(dāng)且僅當(dāng)。二、主要結(jié)論本節(jié)我們給出本文的兩個(gè)主要結(jié)論，分別給出了一次 ? 性丟番圖方程非負(fù)整數(shù)解的存在的一個(gè)常用的充分條件。定理 2.1 設(shè)，皆為正整數(shù)，并且滿足，如果，則一次線性丟番圖方程存在非負(fù)整數(shù)解， ，。證明 因?yàn)?，由引理可得，存在整?shù)， ，使得一次線性丟番圖方程成立。由帶余除法可知，存在整數(shù)，使得成立，這里。不妨設(shè)，那么。又由題設(shè)知，。因此，從而，故得證。定理 2.2 設(shè)，皆為正整數(shù)，并且滿足，當(dāng)時(shí)，一次線性丟番圖方程存在