2021-2022學年度高中數(shù)學必修第二冊練習題（1）含詳解

1、試卷主標題姓名：_ 班級：_考號：_一、選擇題（共8題）1、 若向量 ，則 的坐標為（ ） A （ 2 ， 3 ） B （ 0 ， 3 ） C （ 0 ， 1 ） D （ 3 ， 5 ） 2、 用力 推動一物體水平運動 ，設 與水平面的夾角為 ，則對物體所做的功為（ ） A B C D 3、 若 ，則 （ ） A B C D 4、 哥德巴赫猜想是 “ 每個大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù) ( 素數(shù)指大于 1 的自然數(shù)中，除了 1 和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù) ) 的和 ” ，如 18=7+11 ，在不超過 16 的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于 16 的概率是（  &

2、#160; ） A B C D 5、 如圖， 中， ， ， 分別是 的三等分點，若 ，則 （ ） A B 2 C 3 D 6 6、 已知平面向量 與 的夾角為 ， ， ，則 的值為（ ） A B C D 7、 如圖，正方體 的棱長為 2 ， 、 、 分別為 、 、 的中點，則（ ） A 平面 B 三棱錐 的體積為 2 C 異面直線 與 所成角的正切值為 3 D 點 到平面 的距離是點 到平面 的距離的 3 倍 8、 設 ， ， 為復數(shù)， . 下列命題中正確的是（    ） A 若 ，則 B 若 ，則 C 若 ，則 D 若 ，則 二、填空題（共4題）1、

3、若 m 、 n 是兩條不重合的直線， 為兩個不重合的平面，給出下列命題： 若 ，則 ； 若 ，則 ； 若 ，則 ； 若 ，則 上面命題中，真命題的序號是 _ （寫出所有真命題的序號） 2、 在 中，角 A ， B ， C 的對邊分別是 a ， b ， c ，若 ， ，則 _ 3、 已知非零向量 ， 滿足 ，且 ，則 與 的夾角的余弦值為 _. 4、 一個數(shù)字不重復的三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次記為 ， ， ，當且僅當 ， ， 中有兩個不同數(shù)字的和等于剩下的一個數(shù)字時，稱這個三位數(shù)為 “ 有緣數(shù) ” （如 213 ， 341 等）現(xiàn)從 1 ， 2 ， 3 ， 4 這四個數(shù)字中任取三個數(shù)組

4、成一個數(shù)字不重復的三位數(shù)，則這個三位數(shù)為 “ 有緣數(shù) ” 的概率是 _ 三、解答題（共4題）1、 如圖所示，圓臺母線 長為 ，上、下底面半徑分別為 和 ，從母線 的中點 M 拉條繩子繞圓臺側面轉到 B 點，求這條繩長的最小值 2、 如圖，已知 平面 ， ， ， ， ， ，點 分別是 的中點 （ 1 ）求證： 平面 ； （ 2 ）求直線 與平面 所成角的大小 3、 斜三棱柱 中，側面 的面積為 S ，且它與側棱 的距離為 h ，求此三棱柱的體積 . 4、 求函數(shù) 的最小值，以及 y 取最小值時的 x 的值 . 設想，把原函數(shù)改為 ，能夠形成怎樣的問題？如何求解？ =參考答案=一、選擇題1、 B

5、【分析】 直接根據(jù)向量加法的坐標運算法則計算可得； 【詳解】 解：因為 ，所以 故選： B 2、 D 【分析】 直接用向量的數(shù)量積即可求得 . 【詳解】 力 對物體所做的功為 . 故選： D. 3、 B 【分析】 根據(jù)因為 ，利用復數(shù)的除法化簡求解 . 【詳解】 因為 ， 所以 ， 所以 ， 故選： B 4、 B 【分析】 確定不超過 16 的素數(shù)，寫出任取 2 上的基本事件，同時得出和為 16 的基本事件，由概率公式計算概率 【詳解】 不超過 16 的素數(shù)有 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 ，滿足 “ 和 ” 等于 16 的有 (3 ， 13) 、 (5 ， 11) 共有 2

6、 組， 總的有 (2 ， 3) 、 (2 ， 5) 、 (2 ， 7) 、 (2 ， 11) 、 (2 ， 13) 、 (3 ， 5) 、 (3 ， 7) 、 (3 ， 11) 、 (3 ， 13) 、 (5 ， 7) 、 (5 ， 11) 、 (5 ， 13) 、 (7 ， 11) 、 (7 ， 13) 、 (11 ， 13) ， 所以 ， 故選： B 5、 D 【分析】 以 為基底，表示出 ，根據(jù)數(shù)量積公式代入數(shù)據(jù)化簡即可 . 【詳解】 由題意得， ，所以 . 所以 ， 故選 :D 6、 B 【分析】 先求出 ，由平面向量的數(shù)量積可求得 ，計算 的值，再開方即可求解 . 【詳解】 因為 ，

7、所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 故選： B. 7、 AC 【分析】 作出完整的截面 ，證明 得線面平行，判斷 A ；用換頂點法求棱錐體積判斷 B ，證明異面直線 與 所成的角為 或其補角，在梯形 中求出 的正切值判斷 C ；利用 與 的交點間距離的比值可得 到平面 的距離比，從而判斷 D 【詳解】 連接 ，連接 ，因為 所在棱中點，因此 ， 又正方體中易得 ，所以 ，因此平面 即為截面 ， 是 中點，則 與 、 平行且相等， 是平行四邊形， ， 平面 ， 平面 ，因此有 平面 ， A 正確； ， ， B 錯； 由 ，因此異面直線 與 所成的角為 或其補角， 在梯形 中， ， ， ，它是

8、等腰梯形， 所以 ， C 正確； 如圖，在矩形 中， ， 是 中點得， ，所以 到平面 的距離等于 到平面 距離的 2 倍， D 錯 故選： AC 8、 BC 【分析】 對于 A ：取特殊值 判斷 A 不成立； 對于 B 、 C 、 D ：直接利用復數(shù)的四則運算計算可得 . 【詳解】 對于 A ：取 ，滿足 ，但是 不成立，故 A 錯誤； 對于 B ：當 時 , 有 ，又 ，所以 , 故 B 正確 ; 對于 C ：當 時 , 則 , 所以 , 故 C 正確 ; 對于 D ：當 時 , 則 , 可得 . 因為 ，所以 . 故 D 錯誤 故選： BC 二、填空題1、 【分析】 根據(jù)線面平行和垂直的

9、判斷和性質依次分析即可得出 . 【詳解】 解：對于 ，若 ，則 或 ，故選項 錯誤； 對于 ，若 ，則 與 平行或相交，如圖所示，故選項 錯誤； 對于 ，若 ，根據(jù)兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直這個平面，故 ，故選項 正確； 對于 ，若 ，直線 m ， n 的方向向量即為平面 的法向量，因為 ，則兩個平面的法向量垂直，故 ，故選項 正確 所以真命題的是 . 故答案為： 2、 2 【分析】 根據(jù)題意，結合余弦定理得 ，再根據(jù)正弦定理邊角互化即可得答案 . 【詳解】 解：根據(jù)題意， ，及 所以得 ，解得 ， 故 故答案為： 3、 【分析】 由 ，得到 ，再由 ，求得 ， ，再由夾

10、角公式求解 . 【詳解】 因為 ， 所以 ，即 ， 又 ， 所以 ， ， 所以 ， 故答案為： 4、 【分析】 求出任意三位數(shù)的個數(shù)，再確定兩個數(shù)字和等于第三個的 3 個數(shù)的數(shù)組，從而求得 “ 有緣數(shù) ” 的個數(shù)，然后可計算出概率 【詳解】 從 1 ， 2 ， 3 ， 4 這四個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個數(shù)字不重復的三位數(shù)的個數(shù)為 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 這四個數(shù)字中兩個的和等于第三個的有 123 ， 134 ，因此 “ 有緣數(shù) ” 個數(shù)為 ， 所示概率為 故答案為： 三、解答題1、 【分析】 作出圓臺的側面展開圖，根據(jù) 與 相似，得到 ，設 ，求得 的長度 為所在圓周長的 ，得到 ，結

11、合勾股定理，即可求解 . 【詳解】 作出圓臺的側面展開圖，如圖所示， 由軸截面中 與 相似，得 ，可求得 設 ，由于 的長與底面圓 Q 的周長相等，而底面圓 Q 的周長為 , 扇形 的半徑為 ， 扇形 所在圓的周長為 所以 的長度 為所在圓周長的 ，所以 所以在 中， ， 所以 ，即所求繩長的最小值為 2、 （ 1 ）證明見解析；（ 2 ） 30°. 【分析】 推導出 ，從而 平面 ，進而 ，由此能證明 平面 ； (2 ) 取 中點 和 中點 ，連接 ， ， ，推導出四邊形 是平行四邊形，從而 , 進而 平面 , 即為直線 與平面 所成角，最后根據(jù)已知條件求出來即可 . 【詳解】 (

12、 1 ) 證明： AB = AC ， E 為 BC 中點， AE BC 平面 ABC ， / 平面 ABC AE 又 BC = B AE 平面 如圖， 取 中點 和 中點 ，連接 ， ， N 和 E 分別為 和 BC 的中點， ， 四邊形 是平行四邊形 又 平面 平面 即為直線 與平面 所成角， 在 中，可得 = 2 = = 2 且 又由 在 中， 在 中， , 即直線 與平面 所成角的大小為 3、 【分析】 解法一：以側面 為公共面補上一個三棱柱 ，使兩個三棱柱拼成一個平行六面體 ，然后以 為底面求解； 解法二：連接 、 ，則截面 將此三棱柱分割成一個三棱錐 和一個四棱錐 求解 . 【詳解】 解法一：如圖所示： 以側面 為公共面補上一個三棱柱 ，使兩個三棱柱拼成一個平行六面體 ， 以 為底面，則 到平面 的距離即為平行六面體的高 . ，故 . 解法二：如圖所示： 連接 、 ，則截面 將此三棱柱分割成一個三棱錐 和一個四棱錐 . ，又 平面 ， . 故 . 4、 答案見解