專題訓(xùn)練螞蟻爬行的最短路徑(含答案)

1、專題訓(xùn)練-螞蟻爬行的最短路徑 （含答案）http:/www. czsx. com. cn螞蟻爬行的最短路徑1 . 一只螞蟻從原點(diǎn)o出發(fā)來回爬行，爬行的彳 段路程依次為:+5,-3, +10, -8, -9, +12,-10.-109-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>回答下列問題：(1)螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0;(2)在爬行過程中，如果每爬一個(gè)單位長度獎(jiǎng) 勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12 10=3,故沒有回到0;(2)( |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|

2、) x2=114粒點(diǎn),4出發(fā)沿著正方體的/爬到頂點(diǎn)B的最第6題2 .如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂短距離是解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段 最短”知，線段即為最短路線.AB= V22Ti2 = Vs3 . （2006茂名）如圖，點(diǎn)力、B分別是棱長為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點(diǎn)力沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是cm第4頁共29頁解：由題意得，從點(diǎn)力沿其表面爬到點(diǎn)E的最短路程是兩個(gè)棱長的長，即2+2=4.4 .如圖，一只螞蟻從正方體的底面力點(diǎn)處沿著表面爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處,它爬行的最短路線第34頁共30頁A .A? P ? BC. A? R? BB .A? Q? BD.

3、A? S? B解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A.故選A.5 .如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn) B是 正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長為 2, 一螞蟻 從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（）解：如圖，AB= vF2Ml2=viO .故選 C.A6 .正方體盒子的棱長為 2, BC的中點(diǎn)為M, 一只螞蟻從 A點(diǎn)爬行到 M點(diǎn)的最短距離為解：展開正方體的點(diǎn)M所在的面， .BC的中點(diǎn)為M,所以 MC= 2BC=1,在直角三角形中AM=內(nèi)證可=vi3.7 .如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是棱長為20cm的正 方體盒子上相鄰面的兩個(gè)中心，一只螞蟻在盒子 表面由A處向B處爬行，所走最短路程是cm。解：將盒子展開，如圖

4、所示：AB=CD=DF+FC= - EF + 21 GF=X20+ 2><20=20cm.故選C.8 .正方體盒子的棱長為2, BC的中點(diǎn)為M, 一 只螞蟻從A點(diǎn)爬蓋皿M點(diǎn)的最短距離解：將正方體展開）連接 M、D1,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3,MDl= .MD2 DD12 =、32 2 2 = 139 .如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的 面均分成3那個(gè)小正方形.其邊長都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點(diǎn)A沿 表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用 2.5秒鐘.解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的

5、路 線.(1)展開前面右面由勾股定理得 AB=二 cm;(2)展開底面右面由勾股定理得 AB= 1一. + .=5cm;所以最短路徑長為5cm,用時(shí)最少：5攵=2.5秒.10 . (2009根施州)如圖，長方體的長為 15,寬 為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5, 一只 螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是 o解：將長方體展開根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB= 兩罰=25.A C11 .如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn) A出發(fā),沿長方體的表面Dc爬到對(duì)角頂點(diǎn)D1CiCi處（三條棱A,備三三彳會(huì)長如圖所示），問 怎樣走路線最 A，二/C短？最短路線長為解：正面和上面沿

6、AiBi展開如圖，連接 ACi, ABCi是直角三角形， AC1= AB2 BC12 - ,?42 1 2 2 = ；42 32 =512 .如圖所示：有一個(gè)長、寬都是 2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn), 那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。解：由題意得）路徑一：AB=近物G=回；路徑二：AB= =5;路徑三：AB= d（3+2>+N=支；; 仔 >5），5米為最短路徑.13 .如圖）直四棱柱側(cè)棱長為4cm）底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點(diǎn) A出 發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn) B.求：（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱

7、） 的最長路程.解：（1） AB的長就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為而可我=質(zhì)(cm);若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為色+3 產(chǎn)+5=幗 (cm),或 也4+57+32 =府 (cm)所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是舊cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+ 5cm=30cm)最長路程是30cm.14 .如圖，在一個(gè)長為50cm,寬為40cm,高為30cm的長方體盒子的頂點(diǎn) A處有一只螞蟻，它 要爬到頂點(diǎn)B處去覓食，最短的路程是多少？圖I圖2圖m解：圖1中) 幺B=行工麗二40”將89.4cm 圖 2 中)BuEPQ'SoMiSkJKicm.

8、圖 3 中， AB = "R? = 20Ea7Z5Cm.米用圖3的爬法路程最短，為20vlBcm15 .如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm, 8cm, 4cm. 一只螞蟻沿著長方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn) B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組 成一個(gè)平面，則這個(gè)長方形的長和寬分別是 12cm和6cm,則所走的最短線段是皿2+62=6 v§cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長方形，則這個(gè)長方形的長和寬分別是 10cm和8cm, 所以走的最短線段是 仲鐘=mcm;第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一 個(gè)長方形，則這個(gè)長方形

9、的長和寬分別是 14cm和4cm, 所以走的最短線段是也4比2=2府cm;三種情況比較而言，第二種情況最短.16 .如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、 高分別為20cm、3cm、2cm. A和B是這個(gè)臺(tái)階 上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn) B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到 點(diǎn)B的最短路程為 cm解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長方形， 長為20cm, 寬為(2+3)與cm,則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到 B點(diǎn)最短路程是此長方 形的對(duì)角線長.可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm, 由勾股定理得：x2=202+ (2+3) X32=252, 解得x=25.故答案為25.17 .如圖，

10、是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別等于 5cm)3cm和1cm)A和B是這 個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞 蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 B點(diǎn)，最短線 路是 cm。解：將臺(tái)階展開，如下圖，因?yàn)?AC=3 >0+1X3=12 ,BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 （cm）,c b所以螞蟻爬行的最短線路為13cm.答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.18 . （2011辨U州）如圖，長方體的底面邊長分 別為2cm和4cm）高為5cm.若一只螞蟻從 P 點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q點(diǎn)，則螞 奴爬行的

11、最短路徑長為 cm.解:. PA=2X (4+2) =12, QA=5 .PQ=13.故答案為：13.19.如圖，一塊長方體磚寬AN=5cm,長 ND=10cm, CD上的點(diǎn)B距地面的高BD=8cm, 地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行 的最短路徑是多少？解：如圖1,在磚的側(cè)面展開圖2上，連接AB, 則AB的長即為A處到B處的最短路程.解：在RtAABD中，因?yàn)?AD=AN+ND=5+10=15, BD=8, 所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.20. (2009硼山)如圖，一個(gè)長方體形的木柜放 在墻角處(與墻

12、面和地面均沒有縫隙)，有一只 螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 Ci處.(1)請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能 路徑；(2)當(dāng)AB=4, BC=4, CCi=5時(shí)，求螞蟻爬過 的最短路徑的長；(3)求點(diǎn)Bi到最短路徑的距離.備用圖解：(1)如圖, 木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形ABC'iDi 和 ACCiAi.故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AiC'i和ACi. (2分)(2)螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段AiBi至1J Ci,爬過的路徑的長是 h = V42+（4+5）2 = V97 . （3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 BBi到Ci,爬過的路徑的長是 仃=賄可而=屈.（4

13、分）ll>l2,故最短路徑的長是 打=屈.（5分）（3）作 BiEACi 于 E,則B所版？幺4 =冼？ 5二翡幗為所求.（8分）21 .有一圓柱體如圖）高4cm）底面半徑5cm） A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬 行的最短距離.第2題解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C, D分別是BE, AF的中點(diǎn).AF=2 /5=10兀 AD=5 兀AC= Jad2+cd2 = 16m.故答案為：16cm.1聲 *D F22 .有一圓形油罐底面圓的周長為 24m,高為 6m,一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B 處吃食物，它爬行的最短路線長 為.第3題解：AB= 52 1 22 =13

14、 m23 .如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點(diǎn)A到達(dá)Ai,若圓柱底面半徑為高 n為5,則螞蟻爬行的最短距離為 解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長為2兀=12,高為5, 所以將側(cè)面展開為一長為12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長為 =13.故螞蟻爬行的最短距離為13.24 .如圖，一圓柱體的底面周長為 24cm,高AB 為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C,則螞蟻爬行 的最短路程是AD解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24cm）貝U AD=24x2 =12cm.又因?yàn)?CD=AB=9cm,所以 AC= =15cm.故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱

15、體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm.故答案為：15.25 . （2006辨州）有一圓柱體高為10cm,底面 圓的半徑為4cm, AA1, BB1為相對(duì)的兩條母線.在AAi上有一個(gè)蜘蛛 Q, QA=3cm；在BBi上有一只蒼蠅P, PBi=2cm,蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm.（結(jié)果用帶兀和根號(hào)的式子表示）解：QA=3, PBi=2,即可把PQ放到一個(gè)直角邊是4兀和5的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：QP= 也 6N+2526 .同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖, 左邊下方有一只螞蟻，從A處爬行到對(duì)面的中點(diǎn) B處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短 路線圖.I.問題

16、：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從A處爬行到側(cè)棱GF上的中點(diǎn)M點(diǎn)處, 如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線 圖.解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長方形，如 圖示，則A、B分別位于如圖所示的位置，連接 AB,即是這條最短路線圖.如圖，將正方體中面ABCD和面CBFG展開成 一個(gè)長方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所 示的位置，連接AM,即是這條最短路線圖.B27.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的 底面半徑為2cm,假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐 的表面爬行，它要想吃卦年線AC的中點(diǎn)P處的 食物，那么它爬行的最短路程是.第5題解：圓錐的底面周長是4%則4聲甯， n=180

17、6;即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是 180°, ，在圓錐側(cè)面展開圖中AP=2 , AB=4 , / BAP=90 ,，在圓錐側(cè)面展開圖中 BP=匹=2而）這只螞蟻爬行的最短距離是2展cm.故答案是：2、,5 cm.28.如圖，圓錐的底面半徑 R=3dm,母線l=5dm, AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)， / COB=150 , D 為 VB 上一點(diǎn)，VD= * .現(xiàn) 有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是（解：盒= %,設(shè)弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n,.5?r丈5.：.=T解得n=90）. / CVD=90 ,CD=屈罰=4的）29.已知圓錐的母線長為5cm,圓錐

18、的側(cè)面展開 圖如圖所示，且/ AOAi=120 , 一只螞蟻欲從圓 錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回 到點(diǎn)A.則螞蟻爬行的最短路程長為 。解：連接AA',作OCLAA 于 C,圓錐的母線長為5cm,/ AOAi=120 ,.AA' =2C=5凡30 .如圖，底面半徑為 1母線長為4的圓錐， 一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到 A 點(diǎn)，它爬行的最短路線長是 .第4題解：由題意知，底面圓的直徑為 2,故底面周長等于2 7t.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n ,根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2 =180 ,解得n=90°,所以展開圖中圓心角為90。，

19、根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn) A的最短的路線長是:J16+16 k 32 =44 .31 . （2006浦充）如圖，底面半徑為1,母線長 為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長解：由題意知底面圓的直徑=2,故底面周長等于2 7t.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n ,根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2卡篝,解得n=90°,所以展開圖中的圓心角為90。，根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為4& .32 . （2009凍山）如圖，一圓錐的底面半徑為2, 母線PB的長為6, D為PB的中點(diǎn).一只螞蟻 從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn) D,則螞 蟻爬行的最短路程為 。3解：由題意知）底面圓的直徑AB=4,故底面周長等于4兀.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為 n ,根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得4聲2n 二 6 360 1解得n=120所以展開圖中/ APD=120°攵=60°, 根據(jù)勾股定理求得AD= 所以螞蟻爬行的最短距離為3召.33 .如圖，圓錐底面半徑為r,母線長為3r,底 面圓周上有一螞蟻位于 A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿 圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指 出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.解：把圓錐沿過點(diǎn)A的母線