專題：立體幾何三視圖

1、專題：空間幾何體的結構及其三視圖高考中對空間幾何體的三視圖，主要考查同學們識圖、畫圖的能力、空間想象能力以及運算求解能 力等基本能力。因此，首先要熟練掌握三視圖的概念和畫圖要求，其次要熟悉柱、錐、臺、球各種基本 幾何體和它們組成的簡單組合體，第三要熟練各種幾何體的表面積、體積的計算公式和方法，最后要熟 悉如下幾種基本題型。知識縱橫1、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體上下、

2、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。2-空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法斜二測畫法特點：原來與 x軸平行的線段仍然與 x平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與 y平行，長度為原來的一半。f即件二尊 = 272直觀圖與原圖面積之比為 1：1-3、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。'（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，1為母線）S圓柱表2 r r 1Sa錐表r r 1（3）柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱 Shv錐1Sh3（4）球體的表面積和體積公式：丫球=£ R3 ; S球面=4 R23考點剖析一.明確

3、要求1 .了解和正方體、球有關的簡單組合體的結構特征，理解柱、錐、臺、球的結構特征.2 .能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）的三視圖，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3 .會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖或直觀圖，了解空間圖形的不同表 示形式.4 .能識別三視圖所表示的空間幾何體；理解三視圖和直觀圖的聯系，并能進行轉化二.命題方向1 .三視圖是新增加的內容，是高考的熱點和重點，幾乎年年考.2 .柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征及性質是本節(jié)內容的重點，也是難點.3 .以選擇、填空題的形式考查，有時也會在解答題中出現三.規(guī)律總結三視圖的長度特征：

4、“長對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視r圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中， 要注意實、虛線的畫法.（1）正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形.（2）正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心.考點突破熱點一形狀的判斷1 .（2012年高考福建卷理科 4） 一個幾何體的三視圖

5、形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）A.球 B .三棱錐 C .正方體 D .圓柱E答窠】D解析】圓的正視圖（主視圖）、側視圖（左視圖）和俯視圖蜘為四：三棱錐的正視圖（主視圖入惻視圖（左視圖）和懦視圖可以為全等的三用形, 正方體的正視圖（主視圖）、惻視圖（左視圖）和俯視圖均為正方形i圓柱的正視圖（主視圖）. 惻視圖C左視圖）為比形，俯視圖為國.2 .（2012年高考湖南卷理科3）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可【答案】D【解析】本題是組合體的三視圖問題！由幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示知，庾圖下 面圖為圖柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直

6、角的三棱柱，人，口，。都可能 是該幾何體的俯視圖 D不可能是該幾何體的俯視圖,因為它的正視圖上面應為如圖的相形.【方法總結】三視圖的長度特征，三視圖中，正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視 圖一樣寬.即“長對正，寬相等，高平齊”.3 .下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）A.B . C .D.14 / 14解析：正方體三個視圖都相同；圓錐的正視圖和側視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓；三棱臺的正視圖和側視圖雖然都是梯形但不一定相同；正四棱錐的正視圖和側視圖是全等的等腰三角形，選D.4 .（課本習題改編）用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這

7、個幾何體一定是（）.A.圓柱B.圓錐C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體解析 當用M高盥的平面前圓柱和圓稚時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿 足任意截面都是圓面.答案c熱點二三視圖和幾何體的體積相結合1. （2012廣東文）某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為（）C. 30D. 242.（2012廣東理）某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為（E譚,幗運四意IA. 12 兀 B.45 兀 C.57 兀 D.81 ?！敬鸢浮緾【解析】由三視圖知，幾何體為一個底面半徑為3的同柱與一個同底的同椎組合而成,所以其 體破為45開十工開某9咒4二）兀，故選C.33.12012高考遼寧文13】一個幾何體

8、的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 3 4 11 1 12止視圖 幗模用C. 8 2 兀D 27t【答案】12+兀 【命題意圖】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的體積公式，考查空間想象能力、 運算求解能力，屬于容易題?！窘馕觥坑扇晥D可知該幾何體為一個長方體和一個等高的圓柱的組合體，其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為4.（經典習題）某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）.A.解析圓錐的底面半徑為1,高為3該幾何體體積為正方體做積墀去國稚體積,17即二萬1工乂2=£ 一不，正確選項為A3二熱點三三視圖和幾何體的表面積相結合1.

9、（2009 廣州一卞II文數）一個幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）如圖3所示，則該幾何體的側面積為 cm 2 .802.某幾何體的三視圖如圖1所示，它的表面積為3. （2012廣州一模文數）如圖1是一個空間幾何體的三視圖,A.4,33B . 4 晶 C . 8則該幾何體的側面積.為D . 12答案C|一 2俯視圖圖14.（文）已知一空間幾何體的三視圖如圖所示，它的表面積是正主）視圖韻f左1輒圖帑在圖A. 4+/B. 2+y/2C. 3+平D. 3答案C解析由三視圖可知，該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角邊長1和棱柱的高都是 1,故表面積S=2X 2*1X1 +2X

10、(1 X1)+ y2xi= 3+g.5.下圖是一個空間幾何體的三視圖，根據圖中尺寸（單位：cm）,可知幾何體的表面積是（）A. 18 + 水B. 16 + 2 出C. 17+2 明D. 18 + 24答案解析由三視圖可得，該幾何是一個底面邊長為2局為3的正二棱柱，其表面積 S= 3X2X3 +X22=18+2 ：3cm2.練習：1 .（2012屆高三年級第二次綜合練習文 ）如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長都為1,那么這個幾何體的表面積為C 3立 D 3顯 24, 22俯視圖【答案】D【解析】由題意得£ 二（1乂1）父3 +

11、工w（0盤門6。="" 故選D 2222 .（2012年云南省第一次檢測）下圖是一個.幾何體的三視圖，其中正視圖是邊長為2的等邊三角形,側視圖是直角邊長分別為 1與J3的直角三角形，俯視圖是半徑為 1的半圓，則該幾何體的體積等于答案：A解析:在幾何體的三視圖中，正視圖是邊長為2的等邊三角形，側視圖是直角邊長分別為1與君的直角三角形，俯視圖是半徑為1的半扇，:此幾何體是底面半徑等于L高等于后的半個圓錐.，該幾何體的體積等于與水 o3 .（湖北武漢2012適應性訓練 理）一個多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正方形，側視圖是等腰三角形.則該幾何體的表面積為A. 88B .98

12、 C . 108 D . 158僻視圖【答案】A 【解析】依題意得知，該幾何體是一個直三棱柱，其表面積等于/112x x6x4 +4x4 + 2m4x6 = £8，選 A, 2)4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為得視國2【答案】-3【解析】這個幾何體是一個四棱錐，底面是邊長為1的正方形、高是2,故其體積是ixlxlx2 - -D理 ）若一個三棱柱的底面是正三角5.（北京市東城區(qū)2011-2012學年度第二學期高三綜合練習（二）形，其正（主）視圖如圖所示，則它的體積為(C) 2.3【解析】由題意可知三棱柱的地面邊長為(B) 2* 11 *V 1 2所以 22 sin6

13、O0 136.（石家莊市高中教學質量檢測）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體n的表面積為£ 1 6十君 C,牡2后D. 6+2 x/5l答案】D【解析】根據三視圖可知其幾何體為四棱錯，且，面儂CD,底面虹CD為正方形，則有C口工皿 BU1SB, 3 6 AB = AD = ll*3lZ> = xlx2= 1, *迎u = 串口 =工*2乂 4 =#,故四棱錐的表面枳為6+2有.7 .（中原六校2012年高三第一次聯考文）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積 224A . 20 2 B . 20 - C . 40 - D . 40 -【答案】B【解析】解:由三視

14、圖可知，這是f長方體中挖去了半個球體，的簡單蛆合體.因此利用 長方體的體積流去舉球的體積，就是整個幾何體的體積.長方體的底面邊長為2,高為5,2球的半徑為1,這樣就可以得到2口-.鋁8 .（2012洛陽示范高中聯考高三理）一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為 mt ,則該棱錐的全面積是（單位：m2）(A) 42娓(B) 4 娓俯視圖(C) 4 2V2(D) 4 22【答案【解析】斛：由三視圖可知該三視圖中三核椎的高為2,底面積是正三角形邊長為W, IM面 是兩個等腰直角三角形，腰長為備另一個惻面是腰長為2忑，底邊長為2的等腰三角形, 利用三角形面積公式可瓜得到結論. r9 .（北京市西城區(qū)2

15、012屆高三下學期二模試卷理 ）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視 圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是 ; 的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是 .【答案】1，為:3【解析】根據三視圖可知，該幾何體為四桂雄，則在_1_題，屹J_QC,四邊形為A3CD為正方形，SD=AB=BC=1（錐的外掩球，則球的半徑為正方體對角線的一半為=3n.故將四棱鍍補形為正方體+則正方體的外接球即為四棱10.如圖為一個幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為A. 63B. 6 2,3C. 183 4D. 18 2.3t解析】與g =7Ti與二323=12, 屋=tt4-2+

16、18 .©【簪案】D111.某幾何體的正視圖與側視圖如圖所不，若該幾何體的體積為-,則該幾何體的俯視圖可以是解析：由題苜得,根據正視圖與側視圖可知，原幾何體表示一個三棱鍵，根據轅缽的體積是1，則爐=3或=工3區(qū)1 =)05=1，即錐體的底面面積為二，在所給得四個圖形 3333卬，只育正方形是一個面積為1的圖形，故選以12 .一個體積為12 J3的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的側視圖的面積為正視圖A 6.3 B 8 C8 3 D 12答嘉A解析£由題意得，設棱柱的高為旌由左視圖知，底面為高為2石的等邊三角形， 由等邊三角形的性質知，其邊長為心故底面三角形的面積為:

17、x2Sm4=4, 由于陲積為12nA，故由4道皿=12g=宓=3,根據三視圖的規(guī)則，左視圖的寬為3,所以左視圖的面積為？ 乂 26=513 .已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為 .解析,由題意得，根據三視圖的規(guī)則可得原幾何體的形狀如圖所示：底面為腰長為虎的等陵直角三角形，面積為S = !x乂方=1,側面FAE為2腰長為2的等腹三角形，面積為留=gx2*2=2,側面PAC為直角邊長分別為2,戊的直角三角形，面積為& =2 xa/2 =應，惻面PEC為直角邊長分別為旗W的直集三焦形n面積為&乂辰& = #,2所以幾何體的表面積為小岳.三、結合三視圖與空間幾何體綜

18、合考查。（2007廣東文17）（本小題滿分12分）已知某幾何體的俯視圖是如圖 5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖（或稱左視 圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.（1）求該兒何體的體積V;（2）求該幾何體的側面積S解：由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為 4,頂點在底面的射影是矩形中心的 四棱錐V-ABCD ;1（1） V 8 6 4 64 3（2）該四棱錐有兩個側面 VAD、VBC是全等的等腰三角形，且 BC邊上的高為 h1 44284五，另兩個側面VAB. VCD也是全等的等腰三角形, u 二 TAB邊上的高為h2 J4-51 1因此 S 2（- 6 4 2 - 8 5） 40 24.222（2009 廣東文17）（本小題滿分 13分）某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示，墩的上半部分是正四棱錐 P- EFGH,下半部分是長方體ABCD EFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖（1）請畫出該安全標識墩的側 （左）視圖；（2）求該安全標識墩的體積（3）證明：直線B