以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

1、百度文庫 - 讓每個(gè)人平等地提升自我以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明經(jīng)典母題】如圖 Z131，DB為半圓的直徑， A為BD 延長線上的一點(diǎn)， AC切半圓于點(diǎn) E，BCAC 于點(diǎn) C，交半圓于點(diǎn) F.已知 AC12，BC9，求 AO 的長經(jīng)典母題答圖 解：如答圖，連結(jié) OE，設(shè)O的半徑是 R，則 OEOBR. 在 RtACB 中，由勾股定理，得 AB AC2 BC215.AC切半圓 O 于點(diǎn) E，OEAC， OEA90°C，OEBC， AEOACB，OE AO R 15 R45BC AB，9 15 ，解得 R 8 ，75 AOABOB15 R 8 .【思想方法】 利用圓的切線垂直于過

2、切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角形，從而得到相似三角形，利用比例線段求 AO 的長中考變形】圖 Z13 21如圖 Z132，在 RtACB 中， ACB90°， O 是 AC邊上的一點(diǎn)，以 O 為圓心， OC 為半徑的圓與 AB 相切于點(diǎn) D，連結(jié) OD.(1) 求證： ADO ACB；(2) 若O的半徑為 1，求證： ACAD·BC.證明： (1)AB是O 的切線，ODAB，CADO90°，A A，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.AACDOBCD， AD·BCAC·OD，OD1，ACAD·BC.22017·德州如圖 Z

3、133，已知 Rt ABC， C90°， D 為 BC 的中點(diǎn)，以 AC為直徑的 O交AB于點(diǎn) E.(1)求證： DE 是O的切線；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的長圖 Z13 3中考變形 2 答圖12解： (1)證明：如答圖，連結(jié) OE，EC，AC 是O的直徑，AECBEC90°，D 為 BC 的中點(diǎn)， EDDCBD，12，OEOC，34， 1324，即OEDACB，ACB 90°，OED 90°，DE 是O 的切線；(2)由(1)知BEC90°，BEBC在RtBEC與 RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，BC BA，

4、BC2BE·BA，AEEB12，設(shè) AE x，則 BE2x， BA3x，BC6，62 2x·3x，解得 x 6，即 AE 6.BC AB，連結(jié) OC，弦 ADOC，直中考變形 3 答圖3如圖 Z134，已知 AB是O 的直徑， 線 CD 交 BA 的延長線于點(diǎn) E. (1)求證：直線 CD 是O 的切線； (2)若 DE2BC，求 ADOC 的值圖 Z13 4解： (1)證明：如答圖，連結(jié) DO. ADOC， DAOCOB，ADOCOD. OAOD，DAOADO， CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)， CDOCBO90°，即ODCD.又點(diǎn)

5、D 在O上，直線 CD是O的切線； (2)由(1)知，CODCOB，CDCB. DE2BC，DE2CD.ADOC，AD DE DE 2EDAECO，OC CE 3.OC CE DECD 342016 ·廣東如圖 Z135，O 是 ABC的外接圓， BC是 O 的直徑，ABC30°.過點(diǎn)B作O的切線BD，與CA的延長線交于點(diǎn) D，與半徑 AO的延長線交于點(diǎn) E.過點(diǎn)A作O的切線AF，與直徑 BC的延長線交于點(diǎn) F.(1) 求證： ACF DAE；(2) 若 SAOC 43，求 DE 的長；(3) 連結(jié) EF，求證： EF 是O 的切線圖 Z13 5中考變形 4 答圖解： (1

6、)證明： BC 為O的直徑，BAC90°， 又ABC30°，ACB60°，又OAOC，OAC 為等邊三角形，即 OACAOC60°，AF 為O 的切線，OAF 90°，CAFAFC30°，DE 為O 的切線，DBCOBE90°，DDEA30°，DCAF，DEAAFC， ACFDAE；33(2) AOC 為等邊三角形， SAOC 4 OA2 4 ，OA1，BC2，OB1，又DBEO30°，BD2 3， BE 3，DE3 3； (3)證明：如答圖，過點(diǎn) O作 OMEF于點(diǎn) M， OAOB，OAFOBE90&#

7、176;，BOEAOF， OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120°，OEMOFM30°， OEBOEM30°，即OE 平分 BEF， 又OBEOME90°，OMOB，EF 為O 的切線52017·株洲如圖 Z136，AB 為O 的一條弦，點(diǎn) C 為劣弧 AB 的中點(diǎn)，E 為優(yōu)弧 AB 上一點(diǎn)，點(diǎn) F 在 AE的延長線上，且 BEEF，線段 CE 交弦 AB 于點(diǎn) D.(1) 求證：CEBF；1 5， 求BCD 的面積中考變形 5 答圖，作直線 OC，(2) 若 BD2，且 EA EB EC3解： (1)證明：如答圖，連結(jié) AC， BEE

8、F， FEBF， AEBEBFF，1F 2AEB，C 是AB的中點(diǎn)，ACBC，AECBEC，AEBAECBEC， 1AEC2AEB，AECF，CEBF； (2)DAEDCB，AEDCEB， ADECBE，ACDBCAEE，即 ACDB 35，CBDCEB，BCDECB，CBECDB，BD BE，即 2 1 ，CBCE，即 CB 5，CB2 5，AD6，AB 8，點(diǎn)C為劣弧 AB的中點(diǎn)，1OCAB，設(shè)垂足為 G，則 AGBG 2AB4，CG CB2BG22，11SBCD 2BD·CG2×2×22.6如圖 Z137，AB是 O的直徑， C為 O上一點(diǎn)， AE和過點(diǎn) C

9、的切線互相 垂直，垂足為 E，AE交O 于點(diǎn) D，直線 EC交 AB的延長線于點(diǎn) P，連結(jié) AC，BC，PBPC12.(1)求證： AC 平分 BAD；中考變形 6 答圖(2)探究線段 PB，AB 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由圖 Z13 7解： (1)證明：如答圖，連結(jié) OC. PE是O 的切線，OCPE， AEPE，OCAE， DACOCA， OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC 平分BAD；(2)線段 PB，AB 之間的數(shù)量關(guān)系為 AB3PB.理由：AB是O 的直徑，ACB90°，BACABC90°，OBOC，OCBABC，PCBOCB90°，PCBPAC

10、，P 是公共角，PCBPAC，PCPB，PAPC，PC2PB·PA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016 ·棗莊如圖 Z138，AC 是 O的直徑， BC 是 O的弦， 點(diǎn)，連結(jié) PA，PB，AB，已知 PBAC.(1)求證： PB是 O 的切線；(2)連結(jié) OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半徑為 2 2，求P是O 外一BC 的長圖 Z13 8中考變形 7 答圖解： (1)證明：如答圖，連結(jié) OB， AC是O 的直徑， ABC90°，CBAC90°. OAOB，BAC OBA， PBAC，PBAOBA90°，即PB

11、OB.PB是O 的切線；(2)O 的半徑為 2 2，OB2 2，AC4 2，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90°，ABCPBO，BC2.BCAC，即 BC 4 2，BOPO，即 2 2 8 ，82017·聊城如圖 Z139，O 是ABC的外接圓， O點(diǎn)在 BC邊上， BAC 的平分線交 O于點(diǎn) D，連結(jié) BD，CD，過點(diǎn) D 作 BC 的平行線，與 AB 的 延長線相交于點(diǎn) P.(1)求證： PD 是O的切線；(2)求證： PBD DCA；(3) 當(dāng) AB6，AC8 時(shí)，求線段 PB的長圖 Z139中考變形 8 答圖解： (1)證明： 圓心 O在 BC上， BC是

12、O 的直徑， BAC90°，如答圖，連結(jié) OD， AD 平分 BAC， BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90°，即ODBC，PDBC，ODPD，OD 為O 的半徑，PD 是O 的切線；(2)證明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180°，ACDABD180PBDACD，PBDDCA；(3) ABC 為直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD 垂直平分 BC，DB DC，BC為O 的直徑，BDC90在 RtDBC 中，DB2 DC2BC2，即 2DC2BC2100，DCDB 5 2，PBDDCA，PBBD，即 PBDC·BD5 2×5 225 DC AC，即 PB AC 中考預(yù)測(cè)】2017 ·黃岡模擬如圖 Z1310，AB為 O的直徑， CD 與O 相切于點(diǎn) C，且 ODBC，垂足為 F，OD 交O 于點(diǎn) E.證明：(1)DA